В соответствии с (4.8), момент равнодействующей внешних сил относительно произвольной оси равен приращению момента секундного количества движения жидкости Gcur на участке струйки 1-2 относительно той же оси.

Вращение жидкости по инерции. Если момент внешних сил относительно данной оси равен нулю (Mz = 0), то момент секундного количества движения сохраняет постоянное значение и жидкость вращается по инерции

Wu2 r2 = Wul r1 = Wu r = const; Wu = const/r.

Вращение жидкости по инерции подчиняется закону потенциального вихря и имеет место в идеальной центробежной форсунке.

4.5. Уравнение Бернулли

Выделим мысленно в идеальной жидкой среде элементарный объем и сформулируем для него закон сохранения энергии.

Рис. 4.5. Элементарный объем

62

Движение элемента жидкости совершается под воздействием внешних (поверхностных) и массовых сил. В процессе движения элемента жидкости изменяется его кинетическая и потенциальная энергия, а силы совершают работу. В общем случае при наличии теплообмена с окружающей средой закон сохранения энергии гласит: изменение всех видов энергии (кинетической и внутренней) выделенного элемента жидкости за некоторый промежуток времени dt равно количеству теплоты, сообщенного элементу, сложенному с работой, которую произвели за то же время приложенные к элементу внешние силы. Внешними силами являются поверхностные силы, действующие нормально к поверхности струйки, и массовые силы – силы тяжести. Рассмотрим частный случай установившегося движения идеальной несжимаемой жидкости без теплообмена с окружающей средой. Выведем уравнение сохранения энергия, называемое в этом случае уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Выделим в движущейся жидкости элементарную струйку, ограниченную сечениями 1 и 2, имеющими площадь dS1, dS2. К массе жидкости m1–2 элементарной струйки применим закон сохранения энергии. За бесконечно малый промежуток времена dt выделенный объем жидкости под воздействием внешних сил переместится из положения 1–2 в положение 1'–2'. Расстояния 1–l' и 2–2' есть бесконечно малые величины. Так как движение установившееся, то есть параметры жидкости в любой точке с течением времени не изменяются, то в заштрихованной части 1'–2, общей для обоих положений массы m1−2 , изменение скорости и энергии равно нулю. Поэтому при вы-

числении изменения энергии массы m1–2 (например, кинетической) энергия заштрихованного объема 1'–2, входящая в энергию массы m1-2, в первоначальный и конечный моменты времени сократится.

Таким образом, изменение кинетической энергии за время dt всей массы жидкости m1–2 равно разности кинетических энергий объема 2–2' вытекающей и объема 1–l' втекающей жидкости. То же относится и к изменению других видов энергии (потенциальной и

63

энергии сил давления). При установившемся движении изменение этих видов энергии для всей массы m1–2 равно разности энергии объемов 2–2' и 1–1'. Важно отметить, что в случае неустановившегося движения кинетическая энергия заштрихованного объема 1–2 в начальный и конечный моменты времени неодинакова и в уравнении не сокращается. Так как параметры жидкости в пределах бесконечно малых объемов 1–1' и 2–2' постоянны, то индекс 1–1' заменим на 1, a 2–2' – на 2, то есть

dm1−1′ = dm1 ; dm2−2′ = dm2 ; c1−1′ = c1 ; c2−2′

На основании условия неразрывности течения массовый расход жидкости через любое поперечное сечение элементарной струйки остается постоянным, отсюда dm1 = dm2

При движении элемента жидкости вдоль оси элементарной струйки масса его остается постоянной, но параметры (давление, скорость) изменяются. В результате изменяются как кинетическая и потенциальная энергия, так и энергия сил давления. Подсчитаем приращение кинетической энергии рассматриваемой массы жидкости за время dt:

Изменение кинетической энергии движущейся массы жидкости происходит под действием работы внешних сил, ибо внутренняя энергия несжимаемой жидкости практически не изменяется. Внешними силами в данном случае являются поверхностные – силы давления и массовые – силы тяжести. Подсчитаем работу сил давления и сил тяжести. Работа сил давления, приложенных к боковой поверхности струйки жидкости, равна нулю, так как эти силы перпендикулярны линиям тока, вдоль которых происходит перемещение частиц. Поэтому следует определить лишь работу сил давления, приложенных к торцам элемента. Работа dL1 сил давления p1 в сечении 1–1 будет положительна, так как направление силы совпадает с направлением перемещения, и выразится как произ-

64

ведение силы dF1 = p1dS на путь dl1 = c1dt, проходимый частицами жидкости за dt, то есть

dL1 = dF1dl = p1dS1c1dt .

Работа сил противодавления в сечении 2–2 отрицательна, так как направление сил противоположно направлению перемещения, и определится выражением dL2 = p2dS2c2dt . Итак, силы давления

по всей поверхности элементарной струйки производят работу

Eäàâ = dL1 − dL2 = ( p1dS1c1 − p2dS2c2 )dt = ( p1 − p2 )dGv ,

где dGv – объемный расход жидкости, м3/с.

Определим работу массовых сил, т.е. сил тяжести. Поскольку при установившемся движении работа сил тяжести заштрихованного объема не изменяется, то работа сил тяжести всей элементарной струйки за время dt будет равна работе силы тяжести жидкости объема 1–1' при перемещении ее из положения 1–1' в положение 2–2'. Иначе говоря,

Eò ÿæ = dm(z1 − z2 )g ,

где z1 и z2 – расстояния центров тяжести объемов 1–1' и 2–2' от некоторой горизонтальной плоскости сравнения, или иначе – ординаты центров тяжести этих объемов. Таким образом, уравнение энергии для элементарной струйки идеальной жидкости приобретает вид

При теплообмене между струйкой и окружающей средой, в результате которого жидкость нагревается или охлаждается, в уравнение (4.10) справа надо ввести внешнюю теплоту ±ΔQпар, а слева - изменение внутренней энергии жидкости ±ΔU = dm C T, где С - теплоемкость жидкости, а T - изменение температуры жидкости. После подстановки Eк, Едавл и Етяж в (4.10) получим

65

Сгруппируем члены, относящиеся к сечению 1-1, в левой части, а относящиеся к сечению 2-2 - в правой части уравнения

Это и есть уравнение Бернулли, записанное для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Если неограниченно сближать между собой сечения 1-1 и 2-2, то получим уравнение Бернулли в дифференциальной форме

Так как сечения 1–1 и 2–2 были взяты произвольно, то уравнение Бернулли можно записать в виде

Формула (4.15) является теоремой трех высот.

Рассмотрим физический, а точнее, энергетический смысл уравнения Бернулли. Условимся называть удельной энергию, отнесённую к единице массы жидкости, т.е. Eуд = E/m. Нетрудно убедиться, что члены уравнения Бернулли являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно: z – удельная потенциальная энергия положения, геометрический напор; p/ρg – удельная потенциальная энергия давления, пьезометрический напор; z + p/ρg − удельная потенциальная энергия, гидростатический напор; c2/2g – удельная кинетическая энергия,

66