Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЦОС учебник

.pdf

Скачиваний:

217

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

10.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

а)

б)

в)

г)

Рисунок 3.1 - Примеры различных областей сходимости для z-преобразования: а) конечной последовательности; б) правосторонней последовательности; в) левосторонней последовательности; г) двусторонней бесконечной последовательности

В общем случае, когда f – бесконечная двусторонняя последовательность, ее z-преобразование можно представить как сумму z-преобразований левосторонней и правосторонней последовательностей:

∞	−n =	N	−n +	∞	−n , (3.7)
F ( z ) = ∑ f (n) z	−n =	∑ f (n) z	−n +	∑ f (n) z	−n , (3.7)
n=−∞		n=−∞		n=N +1

где N – произвольное целое число. Первое слагаемое в выражении (3.7) имеет область сходимости вида (3.4), второе слагаемое – область сходимости вида (3.6). Если R− < R+ , то получаем, что полное z-преобразование сходится внутри кольца (Рисунок 3.1г):

R− <	z	< R+	(3.8)
R− <	z	< R+	(3.8)
			43

и, возможно, на его границах. Если R- > R+ , то области сходимости слагаемых в выражении (3.7) не пересекаются, и z-преобразование двусторонней последовательности не существует. Если R- = R+ , то

z-преобразование определено лишь тогда, когда оба слагаемых в выражении (3.7) сходятся на границах своих областей сходимости. Примером такого "экзотического" случая может служить z-

преобразование последовательности sinω0 n , сходящееся только на

πn

единичной окружности (см. таблицу 1.1, строка 14).

Следует заметить, что функция F(z), если ее задать не через ряд, а в явном виде, может иметь смысл не только в области сходимости, но и на всей комплексной плоскости. Область сходимости начинает играть роль лишь тогда, когда мы связываем эту функцию с определенной последовательностью f, то есть пытаемся получить ее, суммируя ряд (3.1). Тогда при указании области сходимости соответствие последовательности и ее z-преобразования является взаимно однозначным. Одно и то же z-преобразование, но с различными областями сходимости, соответствует разным последовательностям (см. таблицу 1.1, строки 5, 6 и 8, 9), поэтому при вычислении z-преобразований и манипуляциях с ними указание областей сходимости является обязательным.

Таблица 1.1. Z-преобразования некоторых последовательностей

№	Последовательность		z-преобразование		Область сходимости
п/п	Последовательность		z-преобразование		z-преобразования
п/п					z-преобразования
	Единичный импульс
1	d( n) = 1 ,	n = 0,	1		Вся z-плоскость
	0,	n ¹ 0
	d( n - n0 ) = 1 ,	n = 0,		z−n0	z ¹ 0 ( при n0 > 0)
2	d( n - n0 ) = 1 ,	n = 0,		z−n0		или
	0,	n ¹ 0			z ¹ ¥ ( при n0 < 0)
					z ¹ ¥ ( при n0 < 0)

	Единичный скачок		1
3	1 ,	n ³ 0,				z	> 1



	u ( n) =	n < 0	1 - z−1
	0,	n < 0

№

Последовательность

z-преобразование

Область сходимости

п/п

z-преобразования

Прямоугольный импульс

1 + z−1

+ z−2 + ... + z−( N −1)

¹ 0

1 - z− N

u (n) - u (n - N ) , N > 0

1 - z−1

an u (n)

1 - a z−1

-an u (-n -1)

1 - a z−1

(

)

a z−1

n an u

(1 - a z−1 ) 2

(n +1) a

u (n)

(1 - a z−1 ) 2

- (n +1) a

(-n -1)

(1 - a z−1 ) 2

an u (n)+b−nu (-n -1) =

1 - ab

n ³ 0,

−1

)(1 - b z )

- a z

b−n

, n < 0,

< 1

1 - 1 - a2

1 -

1 - a

- 0,5a (z + z−1 )

1 + 1 - a

< 1

an cos ( wn + f)u(n)

cos f - a cos (f - w) z−1

- 2a

(cos w) z−1 + a2 z−2

u(n

-1)

³1 , z ¹ 1

- z

−1

sin w0 p

arg z

< w0

, 0 < w < p

= 1,

arg z

¹w

arg z

£ p

u (n)

exp(-az−1 )

z ¹ 0

Как следует из свойств степенных рядов, внутри области сходимости функция F(z) является аналитической. Особые точки функции, в которых она теряет аналитичность, определяют границу области.

Важнейший класс z-преобразований представляют дробно- рациональные функции, то есть отношения полиномов от z или, что

эквивалентно, от z−1 :

	N
F ( z ) =	∑b j z j
	j=0	,	(3.9)
	M	,	(3.9)
	∑c j z j
	j =0

где { b j } ,{ c j } – постоянные коэффициенты.

Особыми точками дробно-рациональной функции, которые могут ограничить область сходимости z-преобразования, являются полюсы, то есть те значения z, при которых она обращается в бесконечность. Очевидно, полюсы – это корни полинома в знаменателе F(z). Введем в рассмотрение и нули дробно- рациональной функции – корни полинома в числителе. Разлагая полиномы на множители, можно привести формулу (3.9) к виду

	N	(1−q j z	−1 )
F ( z ) =	b0 ∏	(1−q j z	−1 )
	j =1			,	(3.10)
	M	(1− p j z	−1 )	,	(3.10)
	c0 ∏	(1− p j z	−1 )
	j=1

где { q j } – нули, { p j } – полюсы.

При получении (3.10) предполагается, что коэффициенты b0, и

с0 не равны нулю. В более общем случае, когда b0 ,b1 ,...,bN1 и c0 , c1 ,..., cM1 все равны нулю ( N1 < N , M1 < M ) , выражение (3.10)

принимает вид:

						N −N	(1 − q j z	−1 )
	bN1+1	z(	M1−N1 )			∏1	(1 − q j z	−1 )
F ( z ) =	bN1+1					j=1			,
F ( z ) =						M −M	(1 − p j z−1 )		,
	cM1+1					M −M
	cM1+1					∏ 1
						j=1
здесь кроме нулей {q j }			и		полюсов { p j } имеется еще
(M1 − N1 ) -кратный нуль (если				M1 > N1 ) или				( N1 − M1 ) -кратный

полюс (если N1 > M1 ) в начале координат.

Как следует из формулы (3.10), дробно-рациональное z- преобразование с точностью до константы описывается расположением нулей и полюсов в z-плоскости. Диаграмма нулей и полюсов в сопоставлении с областью сходимости z-преобразования наглядно отражает основные качественные характеристики последовательности. Отметим, что область сходимости дробно- рационального z-преобразования никогда не включает границы, то

есть соответствует строгим неравенствам (3.4), (3.6) или (3.8).

Пример 3.1.

Вычислим

z-преобразование

правосторонней

экспоненты

f (n) = an u (n) .

В соответствии

формулой

(3.1),

имеем

∞

F ( z ) = ∑ an u (n) z−n = ∑(az−1 )

n=−∞

n=0

Этот ряд (геометрическая прогрессия) сходится,

если

a z−1

< 1 или

. При этом

F ( z ) =

1 − az−1

Данное

дробно-рациональное

z-преобразование

имеет

единственный полюс в точке

z = a

и единственный нуль в начале

координат. Соответствующая ему диаграмма нулей и полюсов для вещественного положительного a приведена на Рисунке 3.2 (на этом и следующих рисунках полюсы обозначаются крестиком, а нули – кружочком).

Рисунок 3.2 - Диаграмма нулей и полюсов для z-преобразования правосторонней экспоненты

Еще раз обратимся к выражению (3.1). Если комплексную

переменную представить через модуль и фазу:	z = r eiω , то
∞
F ( z ) = F (reiω ) = ∑ f (n) r −n e−iωn .		(3.11)
n=−∞
При r = 1 выражение (3.1) совпадает	с (2.5), то	есть z-

преобразование превращается в спектр последовательности. Таким

образом, спектр последовательности – это		ее z-преобразование,
вычисленное на единичной окружности (Рисунок 3.3):
F (eiω ) = F ( z )	z=eiω .	(3.12)

Разумеется, выражение (3.12) имеет смысл только тогда, когда единичная окружность принадлежит области сходимости z- преобразования, то есть когда R− < 1 , и R+ > 1 , (см. формулы (3.4), (3.6), (3.8)). Если область сходимости не включает единичную окружность, то спектр последовательности не определен, однако z- преобразование существует. Следовательно, z-преобразование является более общим средством описания последовательностей, чем спектр Фурье. Класс последовательностей, описываемых при помощи z-преобразования, включает не только затухающие в обе

стороны последовательности, для которых сходится ряд (2.5), но и многие другие, не являющиеся ограниченными при устремлении аргумента к плюс или минус бесконечности.

Рисунок 3.3 - Иллюстрация к интерпретации спектра последовательности

3.2 Основные свойства z-преобразования

Для работы с z-преобразованиями и, в частности, для вычисления z-преобразований последовательностей, не вошедших в приведенную выше таблицу, могут оказаться полезными следующие их свойства.

Свойство 1. Z-преобразование последовательности f существует, и ряд (3.1) сходится в кольце

R− <

< R+ ,

(3.13)

где R− – неотрицательная,

а R+

–

положительная

константы

(R− < R+ ) , если

= R

f (n)

lim

n→∞

−

= R

f (−n)

(3.14)

lim

n→∞

где lim означает верхний предел последовательности.
n→∞
Напомним,	что	верхним	пределом	действительной
последовательности a(n) называется число A такое, что:
1) существует		подпоследовательность		данной
последовательности, стремящаяся к A;
2) каково бы	ни	было e > 0 , найдется		такое N, что
a (n) < A + e при	n ³ N .

Всякая последовательность имеет единственный (конечный или бесконечный) верхний предел. Верхний предел совпадает с пределом в обычном смысле, если последний существует.

На границах кольца, то есть при z = R− и z = R+ z-

преобразование может как сходиться, так и расходиться. Примем этот результат без доказательства, ограничившись его простотой интерпретацией. Пределы (3.14) означают, что абсолютные значения элементов последовательности могут, например, иметь экспоненциальную асимптотику:

f (n)		~ A Rn	при	n → ∞ ,

f (n)		1 −
		~ A Rn	при	n → −∞ ,

	2 +

где A1, A2

– некоторые положительные числа.

f (n)

Если

R+ > R− >1 ,

то

последовательность

является

расходящейся, то есть

f (n)

= 0 ,

f (n)

= ¥ .

lim

n→−∞

f (n)

Если

R− < R+ <1 ,

то она сходится к

нулю

lim

= ¥ ,

lim

f (n)

= 0 .

n→−∞

R− <1

При

имеем

затухающую

обе

стороны

f (n)

= 0 ,

последовательность

lim

для

которой выполняется

n→±∞

условие абсолютной суммируемости (2.8).

Свойство 2. Z-преобразование линейно, то есть если f1 (n) ¾¾z ® F1 ( z ) , f2 (n) ¾¾Z ® F2 ( z ) ,

то для любых постоянных a, b:

Z	( z ) + bF2	( z ) .	(3.15)
af1 (n) + bf2 (n) ¾¾®aF1

Справедливость соотношения (3.15) вытекает из самого определения z-преобразования (3.1). Областью сходимости суммы (3.15) является пересечение областей сходимости слагаемых. Исключение составляют ситуации, когда, например, при линейной комбинации дробно-рациональных z-преобразований появившиеся нули компенсируют некоторые полюсы. В этом случае область сходимости может расшириться (такой эффект имел место при переходе от z-преобразования единичного скачка к z- преобразованию прямоугольного импульса, см. Таблицу 1.1, строки

3 и 4).
Свойство 3.	Сдвиг	последовательности	соответствует

умножению ее z-преобразования на целую степень z, а именно, если

f2 (n) = f1 (n - n0 ) ,				(3.16)
то
F	( z ) = z	−n0 F	( z ) .	(3.17)
2		1

Для доказательства достаточно подставить последовательность (3.16) в формулу (3.1) и заменить переменную при суммировании:

F2 ( z )	∞		∞
F2 ( z )	= ∑ f1 (n - n0 ) z−n = ∑ f1 (m) z−m−n0 =
	n=−∞		m=−∞
	∞	(m) z−m =z−n0 F1 ( z ).
	= z−n0 ∑ f1	(m) z−m =z−n0 F1 ( z ).
	m=−∞
При сдвиге последовательности область сходимости z-
преобразования	не изменяется		за исключением, возможно, точек
z = 0 и z = ∞ .
Свойство 4.	Умножение		последовательности на аргумент

соответствует дифференцированию ее z-преобразования, а точнее, если

f2 (n) = nf1 (n) ,

(3.18)

то

F2 ( z ) = -z

dF1 ( z )

(3.19)

Докажем это, для чего запишем сумму (3.1) относительно

последовательности

f1 и продифференцируем:

dF1 ( z )

∞

f (n) z−n .

∑

dz n=−∞

Внутри

области

сходимости

степенной

ряд

можно

дифференцировать почленно, поэтому

dF1 ( z )

∞

f (n)(-n) z−n−1

=- z−1

∞

(n) z−n =

∑

n=−∞

∞

n=−∞

= -z−1

(n) z−n = -z−1 F

( z ),

∑

n=−∞

что эквивалентно соотношению (3.19). При умножении последовательности на аргумент область сходимости z- преобразования не меняется за исключением, возможно, точек

границ области, на которых функция

F1 ( z ) теряет аналитичность.

Свойство 5. Умножение

последовательности на экспоненту

изменяет

масштаб

аргумента

z-преобразовании. Если

R− <

< R+ и

f1 (n) ¾¾® F1 ( z )

с областью сходимости

(n)

= an f

(n) ,

(3.20)

то

F2 ( z ) = F1 ( z / a)

(3.21)

с областью сходимости

R− <

R+

. Для доказательства этого

свойства подставим последовательность (3.20) в формулу (3.1):

F ( z ) =

∞

an f (n) z−n =

∞

(n)( z / a )−n = F ( z / a) ,

∑

n=−∞

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
29.03.2016311.28 Кб1028Хистори.docx
#
28.03.20161.77 Mб190Холодная М.А. Психология интеллекта.doc
#
20.04.2019113.66 Кб6хуйня.doc
#
25.08.20191.33 Mб4Цапкова Саша.doc
#
07.06.201565.02 Кб14цое,гол.doc
#
16.03.201510.89 Mб217ЦОС учебник.pdf
#
16.03.20158.96 Mб231Часть 1.doc
#
25.11.20191.42 Mб25Часть1.doc
#
25.11.20191.05 Mб39Часть1.doc
#
25.11.20191.21 Mб66Часть1.doc
#
16.03.201516.21 Mб29часть2.doc