ЦОС учебник

Дискретная система называется устойчивой, если любому ограниченному входному воздействию соответствует ограниченный отклик, то есть при

где M f , M g – некоторые положительные константы.

Необходимым и достаточным условием устойчивости

дискретной ЛИС-системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики:

Если условие (1.24) не выполняется, то не выполняется и условие устойчивости (1.23). Следовательно, выполнение условия (1.24) является необходимым условием устойчивости системы. Для доказательства достаточности предположим, что условие (1.24) выполняется, и на вход системы поступает ограниченная последовательность, то есть справедливо неравенство (1.22). Тогда, используя свойство коммутативности свертки (1.13), получаем:

13

то есть всегда выполняется соотношение (1.23), выходная последовательность ограничена, и система устойчива.

Теперь, после введения понятий физической реализуемости и устойчивости можно дать простую, но важную классификацию ЛИС-систем по форме импульсной характеристики. У ЛИС-систем с

конечной импульсной характеристикой (КИХ-систем), как следует из самого названия, импульсная характеристика представляет собой

(БИХ-системы) имеют в качестве импульсной характеристики правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю последовательность, то есть h (n) = 0 при n < N1 , или h (n) = 0 при

n > N2 , или h (n) ¹ 0 при n Ï(-¥, ¥) . Такие системы могут быть неустойчивыми. Требование физической реализуемости здесь выполняется только в первом случае при N1 ³ 0 .

Если у КИХ- или БИХ-системы импульсная характеристика равна нулю при n < N1 < 0, , то такая система тоже может быть реализована, если допустить задержку в получении сигнала на выходе. Величина этой задержки должна быть достаточной, чтобы "сдвинуть" импульсную характеристику вправо в область неотрицательных значений аргумента на число отсчетов не меньше (-N1 ) . Строго говоря, при этом реализуется не исходная

система, а другая, эквивалентная последовательному соединению системы и звена задержки. Однако в большинстве практических приложений такая замена вполне допустима.

14

1.4 Разностные уравнения

Как следует из выражений (1.13) и (1.21), для физически реализуемой БИХ-системы значение последовательности на выходе зависит от текущего и всех предыдущих значений входной последовательности. Описание (1.13) не является конструктивным в том смысле, что не позволяет практически построить БИХ-систему: для получения каждого значения выходной последовательности требуется выполнить бесконечное число операций сложения и умножения. Число операций можно сделать конечным, если выразить текущее значение выходной последовательности не только через входные, но и через предыдущие выходные значения, иначе говоря, записать уравнение ЛИС-системы в рекурсивной форме. При этом получаем описание ЛИС-системы в виде линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:

порядок разностного уравнения (ЛИС-системы). БИХ-системы всегда имеют ненулевой порядок и являются рекурсивными: для них каждое следующее значение выходной последовательности

нерекурсивную КИХ-систему, имеющую нулевой порядок. Заметим, что разностное уравнение (1.26) при конечных M , N

описывает более узкий класс физически реализуемых ЛИС-систем, нежели свертка (1.13). Для некоторых форм импульсной характеристики переход от свертки к разностному уравнению осуществить не удается. Впрочем, такие "неприводимые" случаи на практике не встречаются и поэтому ниже не рассматриваются.

Обратный переход от разностного уравнения (1.26) к свертке (1.13) возможен всегда, его осуществление означает выражение выходной последовательности через входную в явной форме, то есть

15

решение разностного уравнения. Методы решения разностных уравнений хорошо разработаны. В простейших случаях продуктивным является последовательное отыскание отсчетов выходного сигнала путем прямой подстановки в уравнение с дальнейшим обобщением результата методом математической индукции.

Пример 1.1. Пусть физически реализуемая ЛИС-система первого порядка описывается разностным уравнением

где a – постоянный коэффициент. Требуется получить описание системы в виде свертки. Найдем вначале импульсную характеристику системы. В соответствии с определением импульсной характеристики (1.11) уравнение (1.27) можно переписать в виде

Рассматриваемая система физически реализуема, поэтому все значения импульсной характеристики при n < 0 равны нулю (см. формулу (1.21)). При n ³ 0 значения импульсной характеристики определяются прямой подстановкой в уравнение (1.28) предыдущих значений с учетом формулы (1.2):

h (0) = ah (-1) + d(0) = a × 0 +1 =1 ; h (1) = ah (0) + d(1) = a ×1 + 0 = a ; h (2) = ah (1) + d(2) = a × a + 0 = a2 ;

. . .

Анализируя этот результат, нетрудно заметить, что импульсная характеристика имеет аналитическое выражение в виде правосторонней экспоненты (1.6):

С учетом свойства коммутативности свертки (1.13), а также выражения (1.4) для единичного скачка получаем окончательный

16

(1.30)

Заметим, что в общем случае при решении разностного уравнения (1.26) прямой подстановкой необходимо задавать начальные условия, число которых зависит от сложности уравнения.

Метод прямой подстановки, будучи громоздким, имеет весьма ограниченное применение. Существуют другие, более мощные аналитические методы решения разностных уравнений, позволяющие сразу получить результат в общем виде. Один из таких методов, основанный на применении z -преобразования, мы рассмотрим ниже.

Описание ЛИС-системы с помощью разностного уравнения имеет важное практическое значение, поскольку непосредственно определяет алгоритм преобразования входной последовательности в выходную. По разностному уравнению легко строится структурная схема ЛИС-системы, состоящая из комбинации типовых элементов, осуществляющих операции суммирования (Рисунок 1.5а), умножения на коэффициент (Рисунок 1.5б) и задержки (сдвига) последовательности (Рисунок 1.5в).

Рисунок 1.5 - Типовые элементы структурных схем ЛИС-систем: а) элемент суммирования; б) элемент умножения; в) элемент задержки

17

На Рисунке 1.6 представлена структурная схема, соответствующая прямой реализации ЛИС-системы по разностному уравнению (1.26).

Рисунок 1.6 - Пример структурной схемы для прямой реализации ЛИС-системы по разностному уравнению

1.5 Практические задания к разделу 1

ЛИС-системы

1.5.1. На вход ЛИС-системы с импульсной характеристикой

Определить выходную последовательность { y (n)} .

Решение Выходная последовательность определяется через свертку (1.13):

Под знаком суммы стоит произведение функций единичного скачка:

18

Откуда следует (см. Рисунок 1.7), что при n < 0 u (k ) u (n - k ) = 0 .

При n ³ 0 :

u(k) u(n-k)

Рисунок 1.7

Этот факт позволяет изменить пределы суммирования в свертке. При этом домножим все выражение на u (n) , чтобы учесть связь со знаком n:

При a ¹ b суммируем геометрическую прогрессию:

19

1.5.4.То же для x (n) = (n + 1) γnu (n) .

1.5.5.То же для x (n) = cos ωn .

1.5.6.То же для структурной схемы – Рисунок 1.10 и x (n) = u (n) .

x (n) = δ(n − 3) .

Указание: представить систему как последовательное соединение двух систем.

x (n) = u (n) − u (n − 2) .

Указание: представить систему как параллельное соединение двух систем.

1.5.9. Задана структурная схема ЛИС-системы (Рисунок 1.13).Определить выходную последовательность, если на вход системы поступает x (n) = u (n) . Какой порядок имеет система?

Устойчива ли она? Нарисовать график входной и выходной последовательностей, а также последовательностей в точках "а" и "б" структурной схемы.

-0,5

Рисунок 1.13

1.5.10. То же для структурной схемы – Рисунок 1.14.

2 z-1

-0,5

Рисунок 1.14

22