ЦОС учебник

фазовый спектры для a = 12, N = 16 .

4.9.15.Задан дискретный спектр Фурье

{X (0), X (1), X (2),..., X ( N −1)}

некоторой последовательности

{x (0), x (1), x (2),..., x ( N −1)}

Найти дискретный спектр Фурье

{Y (0),Y (1),Y (2),...,Y ( N −1)}

последовательности

{ y (0), y (1), y (2),..., y ( N −1)} = {x (0), x ( N −1), x ( N − 2),..., x (1)} .

103

4.9.16.Задан дискретный спектр Фурье

{X (0) , X (1) , X (2) ,..., X ( N −1)}

некоторой последовательности

{ x (0) , x (1) , x (2) ,..., x ( N −1)}

Найти дискретный спектр Фурье

{Y (0) ,Y (1) ,Y (2) ,...,Y ( N −1)}

комплексно-сопряженной последовательности

{ y (0), y (1), y (2),..., y ( N −1)} = {x (0), x (1), x (2),..., x ( N −1)} .

4.9.17.Задан дискретный спектр Фурье

{X (0), X (1), X (2),..., X ( N −1)}

некоторой последовательности

{x (0), x (1), x (2),..., x ( N −1)}

Найти дискретный спектр Фурье

{Y (0),Y (1),Y (2),...,Y ( N −1)}

последовательности

{ y (0), y (1), y (2),..., y ( N −1)} = {x ( N −1), x ( N − 2), x ( N − 3),..., x (0)} .

4.9.18.Задан дискретный спектр Фурье

{X (0), X (1), X (2),..., X ( N −1)}

некоторой последовательности

{x (0), x (1), x (2),..., x ( N −1)}

Найти дискретный спектр Фурье

{Y (0),Y (1),Y (2),...,Y ( N −1)}

последовательности

{ y (0), y (1), y (2),..., y ( N −1)} = {x (0), −x (1), x (2), −x (3)...} .

4.9.19. Задан дискретный спектр Фурье

104

{ X (0) , X (1) , X (2) ,..., X ( N −1)}

некоторой последовательности

{ x (0) , x (1) , x (2) ,..., x ( N −1)}

Найти дискретный спектр Фурье

{Y (0) ,Y (1) ,Y (2) ,...,Y ( N −1)}

последовательности

{y (0) , y (1) , y (2) ,..., y ( N −1)} =

={x ( N2 ), x ( N2 + 1), x ( N2 + 2),..., x ( N −1), x(0), x (1), x (2),..., x ( N2 −1)}.

Быстрое преобразование Фурье

4.9.20.Зарисовать граф 16-точечного прямого БПФ.

4.9.21.Зарисовать граф 8-точечного обратного БПФ.

4.9.22.Сравнить количество арифметических операций, необходимых для вычисления циклической свертки двух

последовательностей длины N = 2M :

(1)методом непосредственного вычисления;

(2)с использованием БПФ ( M = 1, 2,3, 4,…).

4.9.23. Сравнить количество арифметических операций, необходимых для вычисления апериодической свертки двух

последовательностей длины N = 2M :

(1)методом непосредственного вычисления;

(2)с использованием БПФ ( M = 1, 2,3, 4,…).

4.9.24. Разработать алгоритм для вычисления обратного ДПФ вещественной последовательности длины N = 2M с использованием процедуры БПФ длины N2 .

105

представляют своеобразную лестницу, поднимаясь по которой, удается все более и более подробно характеризовать случайный процесс. В прикладных задачах часто достаточно знать о случайном процессе меньше, чем дают функции распределения: можно ограничиться числовыми характеристиками случайного процесса.

Среди числовых характеристик случайного процесса наиболее важными являются среднее значение μ f (t ) , дисперсия σ2f (t ) и

корреляционная функция R f (t, τ) :

μ f (t ) = E{ f (t )}, σ2f (t ) = E{( f (t ) − μ f (t ))2 },

R f (t, τ) = E {( f (t ) − μ f (t ))( f (τ) − μ f (τ))} ,

где E – оператор усреднения.

Очевидно, значения корреляционной функции зависят не только от степени взаимосвязи, но и от абсолютных значений процесса. Эта зависимость устраняется введением нормировки:

– эту величину называют коэффициентом корреляции между сечениями процесса и она показывает меру их линейной зависимости.

Для определения меры статистической зависимости между двумя случайными процессами f и g рассматривают взаимную корреляционную функцию:

107

R fg (t, τ) = E { ( f (t ) − μ f (t ))( g (τ) − μg (τ)) } .

Если описание случайного процесса не выходит за рамки введенных статистических моментов, говорят, что оно выполнено в рамках корреляционной теории или на уровне статистики второго порядка.

Случайный процесс f (t ) называется стационарным в узком

смысле (строго), если аналитическое выражение плотности вероятности не зависит от выбора точки начала отсчета времени. Из приведенного определения стационарного процесса следует, что одномерная плотность вероятностей не зависит от времени, а для числовых характеристик стационарного процесса справедливы

Случайные процессы, удовлетворяющие условиям (5.6), (5.7)

называют стационарными в широком смысле (по А.Я. Хинчину).

Случайные процессы, стационарные в узком смысле (строго), являются стационарными в широком смысле, но не наоборот.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика может быть получена из одной достаточно длинной его реализации путем усреднения во времени: среднее во времени равно среднему по ансамблю. На практике, как правило, мы не располагаем множеством реализаций случайного процесса, но имеем возможность наблюдать его в течение большого промежутка времени T или на большем пространственном интервале. В этом случае выражения для оценок

108

математического ожидания и корреляционной функции выглядят следующим образом:

Rf T ∫0 ( f (t ) - m f )( f (t + t) - m f )dt . (5.11)

5.1Случайные последовательности и их характеристикиT

Произвольная случайная последовательность f (n) может быть

описана посредством указания тех или иных ее статистических характеристик. В дальнейшем ограничимся рассмотрением статистик второго порядка. Для среднего и дисперсии выражения будут иметь вид:

Корреляционная функция последовательности f и взаимная корреляционная функция последовательностей f и g определяются следующим образом:

Коэффициент корреляции для случайных последовательностей задается:

при этом во многих практических приложениях важную роль играет коэффициент корреляции между соседними отсчетами r f = E{ r f (n, n +1)} .

Условия стационарности случайной последовательности аналогичны условиям для случайных процессов:

109

Везде далее мы ограничимся рассмотрением именно стационарных последовательностей.

Используя свойство эргодичности применительно к случайной последовательности можно получить оценки ее числовых характеристик. Действительно, пусть число элементов последовательности 1 ≤ n ≤ N , тогда дискретные аналоги выражений

f (n) корреляционная функция R f (m) представляет собой одномерную детерминированную последовательность. Введем преобразование Фурье последовательности R f (m) , которое называется спектральной плотностью мощности (энергетическим спектром) последовательности f (n) :

преобразование Фурье:

110

частоты;

-энергетический спектр всегда неотрицателен: F f (eiω ) ³ 0 ;

-энергетический и взаимный энергетический спектры обладают свойствами симметрии:

F f (eiω ) = F f (e−iω ) , F fg (eiω ) = Fgf (e−iω ).

Часто по аналогии энергетическим спектром называют и z- преобразование корреляционной функции.

Рассмотрим примеры.

Пример 5.1. Белый шум (последовательность независимых случайных величин). Его корреляционная функция имеет вид

R f (n) = s2f d(n) .

Из (5.20) следует

F f (eiω ) = s2f , − π ≤ ω ≤ π ,

то есть спектральная плотность белого шума постоянна на всех частотах (см. Рисунок 5.1)

Φ(EIω)

Пример 5.2. Последовательность с биэкспоненциальной корреляционной функцией

111

имеет энергетический спектр следующего вида (см. Рисунок 5.2):

где r – коэффициент корреляции между соседними отсчетами последовательности.

ρ= 0.1

ρ= 0.5

ρ= 0.9

Рисунок 5.2 - Спектральная плотность мощности случайной последовательности с биэкспоненциальной корреляционной функцией

112