ЦОС учебник

характеристикой h1 (n1 ) по координате n1 и с импульсной характеристикой h2 (n2 ) по координате n2 .

Развивая аналогию между одномерными и двумерными системами, отметим, что, как и в одномерном случае, двумерные ЛИС-системы могут характеризоваться фундаментальными свойствами физической реализуемости и устойчивости. Двумерная система называется устойчивой, если любому ограниченному входному сигналу соответствует ограниченный выходной сигнал, то есть при

f (n1, n2 ) ≤ M f

выполняется

Необходимым и достаточным условием устойчивости двумерной дискретной ЛИС-системы является абсолютная суммируемость импульсной характеристики:

Доказательство этого факта – такое же, как и в одномерном случае. С понятием физической реализуемости двумерных систем дело обстоит сложнее, этот вопрос требует отдельного рассмотрения.

7.3 Физическая реализуемость двумерных систем

Вспомним, что мы называли физически реализуемой такую одномерную систему, у которой выходной сигнал не зависел от входного сигнала в опережающие моменты времени, то есть от его "будущих" значений. Однако, как уже отмечалось, в двумерной последовательности аргументы являются не временными, а пространственными, для ее отсчетов не определено отношение порядка типа "прошлое" – " будущее", и поэтому, строго говоря, понятие физической реализуемости системы не имеет смысла. Тем не менее на практике обычно приходится искусственно вводить указанное отношение для двумерного сигнала, задавая некоторое

173

Условие (7.18) является необходимым и достаточным для физической реализуемости двумерной ЛИС-системы при строчной развертке сигнала, его графическая иллюстрация дана на Рисунке

7.6а.

Рисунок 7.5 - Области “ прошлого” и ” будущего” при строчной развертке

Часто к двумерной системе предъявляется более жесткое требование физической реализуемости при любом порядке возрастания аргументов n1, n2 выходного сигнала, то есть и при строчной развертке, и при ее транспонированном варианте – развертке по столбцам. В этом случае приходим к следующему необходимому и достаточному условию реализуемости:

175

Двумерная ЛИС-система, для которой выполняется это условие, называется каузальной, иллюстрация для ее импульсной характеристики дана на Рисунке 7.6б.

в) г)

Рисунок 7.6 - Области потенциально ненулевых значений импульсных характеристик двумерных ЛИС-систем (отмечены крестиками): а) – система, физически реализуемая при строчной развертке; б) каузальная система; в) каузальная система; г) полукаузальные системы.

Наряду с каузальными системами иногда приходится рассматривать и полукаузальные ЛИС-системы, для которых

(см. Рисунок 7.6в, г). Для таких двумерных систем считается, что вся строка (или столбец) матрицы отсчетов сигнала соответствует одному и тому же моменту времени. Соответственно, есть “ прошлые” и ” будущие” строки (столбцы), но отсчеты внутри каждой строки (столбца) поступают на обработку одновременно (параллельно).

И, наконец, существуют некаузальные двумерные ЛИС-системы, то есть такие, для которых не налагается никаких ограничений на

176

область ненулевых значений импульсной характеристики. Их одномерными аналогами являются физически нереализуемые ЛИС- системы.

Заметим, что, если импульсная характеристика двумерной системы является факторизуемой (см. (7.4)), то прослеживается простая связь между физической реализуемостью составляющих ее одномерных систем и каузальностью. Если одномерные ЛИС- системы с импульсными характеристиками h1 и h2 обе физически

реализуемы, то двумерная система является каузальной, если физически реализуема лишь одна из одномерных систем, то двумерная система полукаузальна, если обе одномерные физически нереализуемы, то двумерная некаузальна.

В заключение параграфа отметим, что, как и в одномерном случае, можно выделить двумерные ЛИС-системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой (КИХ- и БИХ-системы). У двумерной КИХ-системы импульсная характеристика – двумерная последовательность конечной длины. Такая система либо является каузальной, либо может быть приведена к каузальной системе введением задержки по строкам и столбцам при получении выходного отсчета. Как следует из (7.17), двумерная КИХ-система всегда устойчива.

Двумерная БИХ-система, как и ее одномерный аналог, в общем случае может быть и физически нереализуемой (некаузальной), и неустойчивой.

7.4 Двумерные разностные уравнения

Двумерные системы, обладающие свойством физической реализуемости при заданной развертке сигнала, во многих случаях можно описать, указав способ рекурсивного вычисления отсчетов выходной последовательности. Для двумерной ЛИС-системы такое описание дается в форме двумерного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:

конечные множества индексов, по которым производится суммирование отсчетов входной (f) и выходной (g) последовательностей.

Множества Q f и Qg должны выбираться так, чтобы при

заданном способе развертки двумерных сигналов используемые в (7.21) отсчеты входной последовательности не были “ будущими” по отношению к текущему моменту (точке (n1, n2 ) на плоскости аргументов), а отсчеты выходной последовательности были строго

определяет порядок разностного уравнения (7.22) (каузальной ЛИС- системы) по каждой из координат. Для БИХ-систем хотя бы одна из величин M1 и M 2 положительна, такие системы являются рекурсивными: в них каждый следующий отсчет выходной

нерекурсивную КИХ-систему порядка (0,0). Для нее, очевидно, имеет место совпадение разностного уравнения со сверткой (7.21) при конечной импульсной характеристике

178

Как средство описания ЛИС-системы разностное уравнение имеет очевидное преимущество перед сверткой: в нем каждый отсчет выходной последовательности может вычисляться за конечное число операций сложения и умножения. В то же время следует иметь в виду, что представление в виде разностного уравнения удается применить далеко не к каждой двумерной ЛИС-системе. Во- первых, еще раз напомним, что такое представление имеет практический смысл, только если ЛИС-система физически реализуема, и, следовательно, ее импульсная характеристика удовлетворяет рассмотренным ограничениям. Во-вторых, импульсная характеристика даже физически реализуемой системы может быть такова, что в разностном уравнении (7.21) потребуется использовать бесконечные множества Q f , Qg (для каузальной

системы уравнение (7.22) будет иметь бесконечный порядок). На вопросах переходов от импульсной характеристики двумерной ЛИС-системы к разностному уравнению (в случае, когда это возможно) и обратно мы остановимся ниже.

Разностное уравнение (7.21) непосредственно определяет алгоритм преобразования двумерного сигнала дискретной физически реализуемой ЛИС-системой. Для иллюстрации такого преобразования часто используется условная схема вычисления отсчетов выходной последовательности, общий вид которой представлен на Рисунке 7.7. Для осуществления рекурсивных вычислений по разностному уравнению необходимо задать довольно много начальных условий. Так, в случае каузальной ЛИС- системы, описываемой разностным уравнением (7.22), для получения отсчетов выходной последовательности в первом квадранте (при n1 ³ 0 и n2 ³ 0 ) требуется указать значения

g (n1, n2 ) при

- M1 £ n1 < 0 и n2 ³ -M 2 , n1 ³ 0 и - M 2 £ n2 < 0 ,

179

а также рассматривать входной сигнал f (n1, n2 ) не только в первом квадранте, но и при

- N1 £ n1 < 0 и n2 ³ -N2 , n1 ³ 0 и - N2 £ n2 < 0 .

Ниже при использовании разностных уравнений мы будем считать, что входные и выходные сигналы заданы на всей плоскости аргументов, поэтому указывать начальные условия нам не потребуется.

Рисунок 7.7 - Схемы вычисления отсчетов двумерной выходной последовательности по разностному уравнению (7.21)

7.5Описание двумерных дискретных сигналов и систем в частотной области

Пусть на вход двумерной ЛИС-системы подается двумерная дискретная экспонента (7.5). При условии сходимости суммы (7.12) для данного входного сигнала на выходе системы имеем выходную двумерную последовательность

m1=−∞ m2 =−∞

180

совпадающую с входной с точностью до множителя, зависящего от пространственных частот ω1 , ω2 . Этот множитель

называется частотной характеристикой двумерной дискретной ЛИС-системы. Частотная характеристика задает коэффициент передачи ЛИС системы при входном сигнале – двумерной комплексной экспоненте для каждого значения параметров ω1 и

ω2 . Выражение (7.23) задает прямое преобразование Фурье

двумерной последовательности, которое также называется двумерным (пространственным) спектром. Частотная характеристика двумерной ЛИС-системы есть пространственный спектр ее импульсной характеристики.

По формуле (7.23) можно установить и правило обратного перехода, то есть выразить импульсную характеристику двумерной системы через частотную:

данное соотношение определяет обратное преобразование Фурье двумерной последовательности h.

Преобразования Фурье по аналогии с (7.23) можно записать для произвольного двумерного дискретного сигнала f:

Выражение (7.25) определяет пространственный спектр двумерной последовательности, а выражение (7.26) – представление двумерной последовательности через пространственный спектр.

Представления двумерных дискретных сигналов и ЛИС-систем в частотной области (то есть с помощью преобразования Фурье)

181

широко применяются при их анализе и синтезе, поскольку во многих случаях проще и удобнее соответствующих представлений в области пространственных аргументов.

Перечислим некоторые важнейшие свойства спектров последовательностей (их более простые "одномерные" аналоги изложены в п. 1.5.2).

Свойство 1. Достаточным условием существования спектра двумерной последовательности f является ее абсолютная суммируемость:

Из сопоставления условий (7.17) и (7.27) следует, что для существования частотной характеристики двумерной ЛИС-системы достаточно, чтобы система была устойчивой.

Свойство 2. Двумерное преобразование Фурье линейно. Это означает, что для любых последовательностей f1 , f2 и постоянных a, b из соотношения

f (n1, n2 )= a f1 (n1, n2 ) + b f2 (n1, n2 ) ,

следует

F (eiω1 , eiω2 )= a F1 (eiω1 , eiω2 )+ b F2 (eiω1 , eiω2 ) .

Свойство 3. Если двумерная последовательность разделима, то есть для нее выполняется соотношение (7.6), то ее спектр также является разделимым:

при любых целых k1 , k2 .

182