ЦОС учебник

6.7.6. Полезный сигнал с корреляционной функцией Rx (m) = 0,5 m регистрируется измерительной системой с импульсной характеристикой h(n) = δ(n) − 0,5δ(n −1) . Аддитивный белый шум имеет дисперсию 0,5 и независим от полезного сигнала.

Построить квазиоптимальный КИХ-фильтр для области наблюдения D = {1; 0} . Записать уравнение оценивания. Рассчитать среднеквадратичную погрешность.

6.7.7. Дана модель наблюдения сигнала:

y(n) = h(n) * x(n) + v(n) , где h (n) = 2−n+1u(n −1) ,

x(n) – полезный сигнал, белый шум с единичной дисперсией, v(n) – помеха, белый шум с дисперсией 0,5, независимый от сигнала.

среднеквадратичную ошибку оценивания полезного сигнала.

Оптимальное восстановление сигналов

6.7.8. Модель наблюдения:

∞

y(m) = ∑2−k x(m − k ) + v(m) . k =1

Полезный сигнал x(m) - некоррелированный с единичной дисперсией. Аддитивный шум v(m) – белый с дисперсией 3/5,

статистически независимый от полезного сигнала.

Построить двухпроходный алгоритм оптимального восстановления. Рассчитать среднеквадратичную погрешность восстановления.

6.7.9. Дана модель наблюдения

y(n) = x(n) + x(n −1) + v(n) ,

где полезный сигнал x(n) - некоррелированный с единичной

дисперсией, аддитивный шум v(n) – белый с единичной дисперсией, статистически независимый от полезного сигнала.

163

Построить двухпроходный алгоритм оптимального восстановления. Рассчитать среднеквадратичную погрешность восстановления.

6.7.10. Дана модель наблюдения:

y(n) = x(n) + x(n −1) + v(n) ,

независимый от полезного сигнала.

Построить двухпроходный алгоритм оптимального восстановления и определить среднеквадратичную ошибку оценивания сигнала.

6.7.11. Дана модель наблюдения сигнала: y(n) = h(n) * x(n) + v(n) ,

где h(n) = αnu(n), α < 1 – импульсная характеристика искажающей системы, x(n) – полезный сигнал, белый шум с дисперсией 1, v(n) – помеха, белый шум с дисперсией 1/2, независимый от сигнала.

Определить передаточную функцию оптимального восстанавливающего фильтра и ошибку оптимального восстановления

Квазиоптимальное восстановление сигналов (БИХ-фильтр)

6.7.12. Задана модель наблюдения:

∞

y(m) = ∑0.5k x(m − k ) + v(m) . k =0

Полезный сигнал x(m) - некоррелированный с единичной дисперсией. Аддитивный шум v(m) – белый с дисперсией 12/5, статистически независимый от полезного сигнала.

Построить физически реализуемый квазиоптимальный БИХ- фильтр.

6.7.13. Дана модель наблюдения:

y(n) = x(n) + v(n) ,

164

где x(n) – полезный сигнал, последовательность с корреляционной функцией:

Rx (k ) = δ(k ) + 0,5δ(k −1) + 0,5δ(k + 1) ,

v(n) – помеха, белый шум с единичной дисперсией, независимый от сигнала.

Определить передаточную функцию и построить структурную схему квазиоптимального физически реализуемого БИХ-фильтра. Определить среднеквадратичную ошибку оценивания полезного сигнала.

6.7.14. Задана модель наблюдения:

∞

y(m) = ∑2−k x(m − k ) + v(m) . k =1

Полезный сигнал x(m) - некоррелированный с единичной дисперсией. Аддитивный шум v(m) – белый с дисперсией 12/5,

статистически независимый от полезного сигнала.

Построить физически реализуемый квазиоптимальный БИХ- фильтр.

6.7.15. Дана модель наблюдения сигнала: y(n) = x(n) + v(n) ,

где x(n) – полезный сигнал, последовательность с корреляционной функцией:

Rx (k ) = D[δ(k) + 0,5δ(k −1) + 0,5δ(k −1)] ,

v(n) – помеха, белый шум с дисперсией D , независимый от сигнала.

Определить передаточную функцию и построить структурную схему квазиоптимального физически реализуемого БИХ-фильтра. Определить среднеквадратичную ошибку оценивания полезного сигнала.

165

7 ДВУМЕРНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ

7.1 Двумерные последовательности

Обобщим все изложенное выше на случай двумерных сигналов. Двумерный дискретный сигнал (последовательность) может

быть получен из двумерного непрерывного сигнала f ( x1, x2 ) путем

его дискретизации по аргументам. Пусть интервалы между отсчетами сигнала (шаги дискретизации) по каждой координате

непрерывного сигнала в дискретных точках плоскости аргументов, то есть непосредственно отражает процесс дискретизации сигнала. В тех случаях, когда “ привязка” отсчетов к физической шкале непрерывных координат не играет роли, можно воспользоваться

перенесен сюда из теории одномерных сигналов и в данном контексте не вполне корректен. Действительно, для отсчетов на плоскости нет объективно существующего “ следования” ( то есть отношения порядка, описываемого понятиями “ раньше” – “ позже”), а имеется просто их двумерная совокупность или, как говорят, решетка отсчетов.

Заметим также, что, если в одномерном случае существовал единственный способ дискретизации с постоянным шагом, то для двумерного мы имеем бесконечное множество ее вариантов, отличающихся наклоном прямых, “ вдоль” которых берутся отсчеты сигнала. Записанная выше процедура формирования двумерной

166

последовательности соответствует так называемой прямоугольной решетке (см. Рисунок 7.1а). В некоторых системах ввода изображений используется дискретизация по треугольной решетке (см. Рисунок 7.1б), которая, как показывают исследования, обеспечивает определенные преимущества при обработке двумерных сигналов. Ниже мы будем рассматривать только двумерные последовательности, заданные на прямоугольной решетке, поскольку этот случай наиболее распространен на практике.

а)

б)

Рисунок 7.1 - Положение отсчетов двумерной последовательности на плоскости аргументов непрерывного сигнала:

а) прямоугольная решетка; б) треугольная решетка.

167

Графическое изображение единичного импульса представлено на Рисунке 7.2.

Рисунок 7.2 - Двумерный единичный импульс

Двумерный единичный скачок:

Эта последовательность изображена на Рисунке 7.3. Приведенные обозначения двумерных единичных импульса и скачка будем использовать везде далее.

Двумерная экспоненциальная функция первого квадранта:

Изображение этой последовательности для 0 < a , b < 1 дано на Рисунке 7.4.

Двумерная дискретная комплексная экспонента задается

где i – мнимая единица, ω1, ω2 – вещественные константы, имеющие смысл безразмерных пространственных частот (см. п. 1.5).

Рисунок 7.3 - Двумерный единичный скачок

Рисунок 7.4 - Двумерная экспоненциальная функция первого квадранта

Важный класс двумерных последовательностей составляют разделимые (факторизуемые) последовательности, которые можно представить в виде

Для разделимых последовательностей многие задачи анализа и синтеза двумерных сигналов и систем решаются наиболее просто, так как сводятся к решению соответствующих “ одномерных” задач. Все рассмотренные выше двумерные последовательности являются разделимыми. Например,

169

δ(n1, n2 ) = δ(n1 ) δ(n2 ) , u (n1, n2 ) = u (n1 ) u (n2 ) ,

где δ(n1 ) , δ(n2 ) , u (n1 ) , u (n2 ) – одномерные единичные импульсы и

скачки.

Как и в одномерном случае, можно дать классификацию двумерных последовательностей по форме области ненулевых значений отсчетов. Правда, здесь вместо четырех классов последовательностей (конечной длины, бесконечных, право- и левосторонних) мы будем иметь гораздо большее многообразие. Так, только для разделимых последовательностей, опираясь на классификацию одномерных последовательностей, входящих в (7.6), можно указать 16 классов. Столь громоздкая классификация не очень удобна для анализа, поэтому мы ограничимся разделением двумерных последовательностей всего на два класса: на последовательности конечной длины:

где M1, M 2 , N1, N2 – целые константы (M1 ≤ N1, M 2 ≤ N2 ) , и на последовательности бесконечной длины, для которых записанное условие не выполняется. Детализацию второго класса будем вводить по мере необходимости.

7.2 Двумерные дискретные ЛИС-системы

Двумерной дискретной системой будем называть правило L ,

ставящее в соответствие входной двумерной последовательности f выходную двумерную последовательность g. В общем виде это соответствие (преобразование) записывается в виде

Определение двумерных дискретных линейных систем с постоянными параметрами (ЛИС-систем) аналогично определению одномерных: для них должен соблюдаться принцип суперпозиции:

L { af1 (n1, n2 ) + bf2 (n1, n2 )} =

(7.9)

= a L { f1 (n1, n2 )} + b L { f2 (n1, n2 )}

170

для любых f1, f2 и постоянных a, b, и они должны обладать

свойством инвариантности к сдвигу сигнала по каждой координате, то есть

при любых целых m1, m2 . Двумерные системы, для которых выполняется условие (7.10), называются также пространственно-

инвариантными или изопланатичными.

Импульсная характеристика h двумерной дискретной ЛИС-

системы определяется как реакция системы на входное воздействие в форме двумерного единичного импульса:

Импульсная характеристика исчерпывающим образом описывает двумерную ЛИС-систему с точки зрения преобразования сигналов. Выходная последовательность определяется через двумерную дискретную свертку импульсной характеристики и входной последовательности:

Здесь и далее полагаем, что последовательность, входящая в выражения вида (7.12) таковы, что эта сумма сходится при любых

конечных n1, n2 .

Ниже наряду с (7.12) будем использовать краткую символическую запись двумерной свертки:

Двумерная свертка обладает всеми свойствами одномерной свертки: коммутативностью, дистрибутивностью (см. п. 1.2) и, кроме того, рядом дополнительных свойств, вытекающих именно из двумерности рассматриваемых последовательностей. Так, если h и f

– разделимые последовательности, то и выходная последовательность также разделима. Действительно, при выполнении соотношений (7.6) и

из (7.12) получаем:

то есть для разделимых последовательностей двумерная свертка вычисляется через произведение одномерных.

Если импульсная характеристика двумерной ЛИС-системы факторизуема, то для произвольного входного сигнала

=h1 (n1 ) h2 (n2 ) f (n1, n2 )

то есть операция двумерной свертки сводится к последовательному выполнению двух одномерных сверток. Это означает, что преобразование сигнала двумерной ЛИС-системой с разделимой импульсной характеристикой эквивалентно его последовательному преобразованию двумя одномерными системами: с импульсной

172