ЦОС учебник
.pdf
где A, k – некоторые константы (k – целое). Часть полюсов в (6.36) имеет модуль меньше единицы, а часть – больше единицы.
Рисунок 6.4 - Расположение полюсов в устойчивой физически реализуемой системе
Представим передаточную функцию в следующей форме:
|
|
Hвосст ( z ) = Hвосст+ |
( z ) Hвосст− |
( z ) , |
(6.37) |
|||
где к |
сомножителю |
Hвосст+ |
( z ) |
отнесем |
часть |
знаменателя |
с |
|
полюсами, |
лежащими внутри |
единичной окружности, а |
к |
|||||
Hвосст− |
( z ) |
– с |
полюсами |
вне единичной |
окружности. |
|||
Распределение нулей и коэффициента A, в принципе, произвольно. Очевидно, что здесь мы снова решаем задачу факторизации (см. п. 1.8.4), но уже в более общей, “ несимметричной” постановке.
Составляющая Hвосст+ ( z ) будет иметь область сходимости z > R− ( R− < 1 ),
то есть соответствовать передаточной функции некоторой устойчивой системы. Эта система физически реализуема, так как ее
импульсная характеристика hвосст+ (n) , соответствующая передаточной функции Hвосст+ ( z ) , является правосторонней последовательностью.
143
Аналогично, сомножитель Hвосст− ( z ) в (6.37) имеет область сходимости
z < R+ ( R+ > 1 ),
и соответствует передаточной функции устойчивой системы, реализуемой в обратном времени (ее импульсная характеристика
hвосст− (n) будет левосторонней последовательностью).
Произведение передаточных функций соответствует каскадному (последовательному) соединению систем. То есть мы имеем здесь “ двухпроходную” процедуру восстановления, заключающуюся в последовательной обработке сигнала в прямом, и затем в обратном времени.
С другой стороны, можно представить передаточную функцию Hвосст ( z ) в виде суммы, используя разложение (6.36) на простые дроби:
M |
C j |
|
|
|
Hвосст ( z ) = ∑ |
|
|
(6.38) |
|
|
− p j |
|
||
j=11 |
z−1 |
|||
(выражение (6.38) записано для случая правильной дроби и простых полюсов, более общей формулой является (3.34)).
В данном случае получаем
Hвосст ( z ) = Hвосст+ ( z ) + Hвосст− ( z ) , (6.39)
где слагаемые формируются по тому же принципу, что и раньше (см. формулу (3.34)). Формула (6.39) задает двухпроходную процедуру параллельной обработки сигнала.
Пример 6.2. В предыдущем параграфе мы получали, что для восстановления сигнала с экспоненциальной автокорреляционная функция из его смеси с независимым белым шумом импульсная характеристика оптимального (винеровского) фильтра имеет вид:
|
|
|
|
|
hвосст (n) = Aα |
|
n |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||
где |
A > 0 , |
|
α |
|
< 1 – величины, |
рассчитываемые через |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики сигнала и шума. Передаточная функция этого фильтра:
144
|
Hвосст ( z ) = |
|
|
A(1 − α2 ) |
|||
|
(1 − α z−1 )(1 − α z ) |
|
|||||
с полюсами |
p = α, |
p |
= |
1 |
. Построим двухпроходный |
||
|
|||||||
|
1 |
2 |
|
α |
|||
последовательный алгоритм обработки. В данном случае передаточная функция легко факторизуется к виду (6.37), где
Hвосст+ ( z ) = |
|
1 |
|
восст− |
( z ) = |
A(1 − α2 ) |
|
|
|
; H |
|
. |
|||
|
|
|
|||||
1 |
− α z−1 |
|
|
1 − α z |
|||
По этим передаточным функциям легко строятся разностные уравнения. На первом шаге обработки (в прямом времени) из искаженного сигнала g (n) получаем промежуточную
последовательность w(n) :
w(n) = α w(n −1) + g (n) .
На втором шаге обработки (в обратном времени) получаем искомую оценку сигнала:
f |
(n) = α f (n + 1) + w(n) A(1 − α |
2 |
) . |
ˆ |
ˆ |
|
Можно построить и двухпроходный параллельный алгоритм. Для этого, вообще говоря, нужно разложить передаточную функцию Hвосст ( z ) на простые дроби. Но в данном конкретном случае
поступим проще и представим импульсную характеристику фильтра в следующем виде:
hвосст (n) = Aα |
|
n |
|
= A αn u (n) |
+ α−n u (−n) − δ(n) |
, |
||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
= Hвосст+ ( z ) + Hвосст− ( z ) , |
||
Hвосст |
( z ) = A |
|
|
|
|
+ |
−1 |
|||||
|
|
|
|
|
1 − α z |
|||||||
|
1 |
− α z−1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где
145
Hвосст+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Aα z |
−1 |
|
|
|
|||
( z ) = A |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
= |
|
, |
|
|
||||||||
|
− α z−1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 − α z−1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Hвосст− |
( z ) = |
|
|
A |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
− α z |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
В соответствии с полученными соотношениями, при обработке в |
|||||||||||||||||||||
прямом времени формируется последовательность |
ˆ |
+ |
(n) : |
||||||||||||||||||
f |
|
||||||||||||||||||||
ˆ + |
(n) |
ˆ + |
(n −1) + Aα g (n −1) , |
|
|
|
|||||||||||||||
f |
= α f |
|
|
|
|||||||||||||||||
а при обработке в обратном времени |
– |
ˆ |
− |
(n) : |
|
|
|
|
|||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ˆ − |
|
|
|
ˆ |
− |
(n + 1) + g (n) . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
f |
(n) = α f |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Далее для получения результата восстановления эти |
|||||||||||||||||||||
последовательности суммируются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
+ |
|
|
|
|
ˆ |
− |
(n) . |
|
|
|
|
||||
|
|
f |
(n) = f |
|
|
(n) + f |
|
|
|
|
|
||||||||||
6.4 Реализация оптимального фильтра при помощи ДПФ
Оптимальный линейный фильтр физически реализуем и притом чрезвычайно прост в ситуации восстановления белого шума на фоне белого шума, сводящееся, как мы видели, к точечной оценке (6.32). В общем случае сигналы не являются белым шумом, в них наблюдается статистическая связь между отсчетами, и при решении задачи восстановления мы приходим к уравнению Винера-Хопфа. Однако есть и другая возможность построения процедуры оптимального восстановления. Можно произвести над сигналом некоторое обратимое преобразование, которое произвело бы декорреляцию сигнала. К декоррелированному сигналу можно применить процедуру точечной оценки, которая для такой ситуации является оптимальной. Затем после обратного преобразования получим искомую оценку сигнала.
Требуемым декоррелирующим свойством при определенных условиях обладает ДПФ, задаваемое соотношениями (4.24) и (4.30). Рассмотрим более подробно процедуру оптимального восстановления в спектральной области на примере, когда имеется модель наблюдения без динамических искажений, заданная
146
соотношением (6.26).
Поскольку ДПФ предполагает работу с последовательностями конечной длины, наблюдаемый сигнал разбивается на отрезки длиной по N отсчетов. Рассмотрим один из таких отрезков при 0 ≤ n ≤ N −1 . После применения ДПФ к (6.26) получаем уравнение наблюдения для дискретных спектров:
G (m) = F (m) + V (m) , 0 ≤ m ≤ N −1 . |
(6.40) |
Поскольку последовательности в исходной модели наблюдения считаются случайными, их ДПФ тоже являются случайными последовательностями. И для восстановления сигнала нам нужно знать их статистические характеристики.
Далее все количественные соотношения и формулы получим для нашего сквозного примера из п.6.2 и п.6.3: будем считать, что экспоненциально коррелированный сигнал наблюдается на фоне белого шума, то есть
B f (k ) = σ2f ρ |
|
k |
|
, |
(6.41) |
||
|
|
||||||
B |
(k ) = σ2 |
δ(k ) . |
(6.42) |
||||
v |
v |
|
|
|
|
|
|
Определим корреляционную функцию ДПФ полезного сигнала. По определению, для нестационарной комплексной случайной последовательности ( 0 ≤ k, l ≤ N −1 )
BF (k,l ) = E{F (k ) F (l )} , |
(6.43) |
где * – знак комплексного сопряжения. Подставив в (6.43) сначала (4.24), а затем (6.41), после выполнения ряда преобразований получаем:
|
N −1 |
|
N −1 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
f ( p)W pk |
|
f (r )W |
|
|
= |
(k,l ) = E |
∑ |
∑ |
−rl |
|||||
F |
|
N |
|
N |
|
|
||
|
|
|
r=0 |
|
|
|
||
|
p=0 |
|
|
|
|
|
||
N −1 N −1 |
N −1 N −1 |
|
|
|
|
= ∑ ∑B f (r − p )WN( pk −rl ) |
= ∑ ∑σ2f ρ |
|
r− p |
|
WN( pk −rl ) = |
|
|
||||
p=0 r=0 |
p=0 r=0 |
||||
(6.44)
147
|
|
|
|
|
ρ |
−1 k |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= σ2 |
N δ(k − l ) |
− |
|
WN |
− |
|
+ |
|
|
|||||
|
− ρ−1W k |
1 − ρ−1W −l |
|
|||||||||||
f |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
× (1 − ρ). |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ σ f |
|
+ |
|
|
||||||||||
(1 − ρ−1WNk )(1 − ρWN−l ) |
(1 − ρ−1WN−l )(1 − ρWNk ) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первое слагаемое в (6.44) отлично от нуля только при |
k = l , то |
|||||||||||||
есть тогда, когда АКФ превращается в дисперсию. По сравнению с этой дисперсией при N >> 1 вторым слагаемым можно пренебречь, то есть
|
|
|
|
ρ−1W k |
|
1 |
|
|
|
B |
(k,l ) ≈ σ2 |
N δ(k − l ) |
− |
N |
− |
|
|
|
(6.45) |
1 − ρ−1W k |
1 − ρ−1W |
|
|||||||
F |
f |
|
|
|
−l |
|
|||
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
– единичный импульс с коэффициентом. То есть ДПФ сигнала является дискретным "почти" белым шумом. Положив в (6.45) k = l = m определим его дисперсию в каждой точке:
σ2 |
(m) = B |
(m, m) = σ2 |
|
− |
ρ−1W k |
− |
1 |
|
|
= |
N |
N |
|
|
|
||||||
1 − ρ−1W m |
1 − ρ−1W |
|
||||||||
F |
F |
f |
|
|
|
−m |
|
|||
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
= σ2f N |
ρ−2 |
−1 |
= σ2f N |
1 − ρ2 |
|
|
. (6.46) |
|
|
(WNm + WN−m ) |
|
|
|||||
1 + ρ−2 − ρ−1 |
1 + ρ2 − 2ρcos |
2π |
m |
|||||
|
||||||||
N
Видно, что дисперсия каждой спектральной компоненты F (m)
зависит от ее номера m, длины последовательности N и корреляционных свойств сигнала ρ.
Аналогичным путем можно вычислить и дисперсии ДПФ шума. Однако в нашем случае нет необходимости повторять весь ход преобразований. С учетом (6.42) можно, положив в (6.44) ρ = 0 и заменив индексы сигнала на индексы шума, сразу получить:
BV (k,l ) = N σv2 δ(k − l ) ,
– белый шум во временной области переходит в белый же шум в спектральной области. В отличие от дисперсии (6.40), дисперсия спектральных компонент шума не зависит от m:
148
σ2 |
(m) = σ2 |
= N σ2 . |
(6.47) |
V |
V |
v |
|
Таким образом, для модели наблюдения в спектральной области задача сводится к оценке белого шума с дисперсией (6.46) на фоне белого шума с дисперсией (6.47). Восстановление заключается в точечной оценке, то есть в умножении каждого спектрального отсчета на коэффициент λm :
|
(m) = λmG (m) , 0 |
≤ m ≤ N −1 , |
(6.48) |
F |
где
σ2 (m)
λm = σ2 (F ) + σ2
F m V
d 2 (1 − ρ2 )
= d 2 (1 − ρ2 )+ (1 + ρ2 )− 2ρ cos 2π m . (6.49)
N
|
(m) переводится во |
Далее полученная по (6.48) оценка F |
временную область при помощи обратного ДПФ (4.30). Схема всей процедуры восстановления показана на Рисунке 6.5. Такая процедура восстановления является асимптотически оптимальной при N → ∞ .
Рисунок 6.5 - Схема процедуры восстановления сигнала с использованием ДПФ
149
6.5Восстановление сигнала физически-реализуемым БИХ фильтром
Рассмотренные выше способы реализации оптимального фильтра позволяют на практике воспользоваться результатами теории оптимального восстановления сигналов. Однако в некоторых случаях эти способы все же оказываются неприменимы. Например, при обработке сигналов в темпе процессов измерений не всегда имеется возможность обрабатывать его в “ обратном” времени. Использование ДПФ при больших N оказывается для некоторых применений чрезмерно сложным, несмотря на наличие быстрых алгоритмов преобразования. В этой связи наряду с оптимальными фильтрами получили распространение субоптимальные
(квазиоптимальные) процедуры восстановления, имеющие более простую реализацию.
Ниже рассмотрим восстановление сигнала БИХ-фильтром с импульсной характеристикой, удовлетворяющей условию:
hвосст (n) = 0 при n < N1 . |
(6.50) |
Если отсчеты этой импульсной характеристики выбраны исходя из минимизации ошибки восстановления (6.7), то такой фильтр называется физически реализуемым оптимальным фильтром или, в
случае независимости сигнала и шума в модели наблюдения, физически реализуемым фильтром Винера. Очевидно, что он будет работать несколько хуже, чем оптимальная восстанавливающая система, так как на часть отсчетов hвосст (n) наложено сформулированное выше ограничение.
В зависимости от значения постоянной N1 в условии (6.50) здесь возможны варианты, показанные на Рисунке 6.6.
В первом случае осуществляется восстановление без задержки, оценка строится на основании наблюдаемого сигнала в текущий и предыдущие моменты времени. Во втором случае (Рисунок 6.6б) восстановление производится только по “ прошлым” значениям наблюдаемого (искаженного) сигнала, то есть имеет место предсказание (экстраполяция) сигнала. В третьем случае (Рисунок 6.6в) фильтр является уже физически нереализуемым, здесь восстановление производится с учетом некоторого числа “ будущих” отсчетов сигнала. Такой фильтр может быть сведен к физически
150
реализуемому, если допустить задержку в получении выходного сигнала. Здесь мы имеем процедуру восстановления с задержкой (интерполяции).
а)
б)
в)
Рисунок 6.6 - Различные варианты ИХ квазиоптимального восстанавливающего БИХ-фильтра
Ниже мы ограничимся рассмотрением только первого случая. Итак, построим физически реализуемый БИХ-фильтр,
осуществляющий оптимальное (квазиоптимальное) восстановление сигнала без задержки. Для него с учетом (6.50) система уравнений (6.12) может быть переписана в более конкретном виде:
|
∞ |
(k ) Bg (m - k ) =B fg (-m) |
m ³ 0, |
|
∑hвосст |
||
k =0 |
|
(6.51) |
|
|
|
|
m < 0. |
hвосст (m) = 0 |
|||
|
|
|
151 |
Рассмотрим сначала простой (но далекий от практики) случай, когда искаженный сигнал g (n) является белым шумом с единичной
дисперсией: |
Bg (m) = d(m) , |
|
|
||
|
|
|
(6.52) |
||
то |
есть |
представляет |
собой |
последовательность |
из |
некоррелированных отсчетов. Тогда, подставив (6.52) в (6.51), сразу получаем:
hвосст (m) = B fg (-m) |
m ³ 0, |
(6.53) |
0 |
m < 0. |
|
Соответственно, передаточная функция искомого фильтра: |
|
|
∞ |
|
|
Hвосст ( z ) = ∑B fg (-m) z−m . |
(6.54) |
|
m=0
Здесь необходимо сделать небольшое отступление и ввести понятие
(и обозначение) "реализуемой части последовательности" (или ее z-
преобразования). Для произвольной последовательности
{ f (n)}∞n=−∞ :
|
|
|
f (n) |
= f (n) u (n) , |
|
|
(6.55) |
|||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
F ( z ) |
= |
∞ |
f (n) z−n = |
∞ |
f (n) z−n . |
|
(6.56) |
|||
∑ |
∑ |
|
||||||||
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
||
|
|
|
n=−∞ |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
Если известно |
z-преобразование |
F ( z ) |
, то F ( z ) |
можно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
найти двумя способами:
Первый способ универсален, но всегда удобен в практическом применении. В соответствии с ним нужно взять обратное z– преобразование, полученную последовательность умножить на функцию единичного скачка (выполнить операцию (6.55)), и затем снова взять z – преобразование (выполнить (6.56)).
Второй способ специфичен для дробно-рациональных z– преобразований. Если F ( z ) – такое z-преобразование, сходящееся в кольце
152