_2010.doc (Курилова М.Н.)

Лабораторная работа основы алгебры логики

1. Основные понятия алгебры логики

Алгебра логики – раздел математической логики, изучающей строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

Под высказыванием (суждением) понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Высказывание – основной элемент логики.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. Простым высказыванием (суждением) ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые заглавными (прописными) латинскими буквами. Истинному значению ставятся в соответствие значение логической переменной 1, ложному – 0. Т. е. пишут «А=1» и говорят: «А истинно». Если высказывание ложное, то пишут «А = 0» и говорят: «А ложно». Например, А = {Аристотель – основоположник логики}. В = {На яблонях растут бананы}.

Высказывание, состоящее из простых высказываний, называется составным (сложным). Простые высказывания объединяются в сложные с помощью логических связок (операций). Другими словами, над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания. Алгебра логики позволяет определить истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.

Логическая операция – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Некоторые логические операции

Логическая связка (операция)	На естественном языке	В программи ровании	другие обозначения	Примечания
Инверсия	«Неверно, что…; …. не …	NOT	 ; ^ ; НЕ	инверсия, отрицание
Конъюнкция	… и …	AND	 ; &; И ; 	логическое умножение
Дизъюнкция	… или …	OR	 ; | ; ИЛИ ; +	логическое сложение
Исключающее ИЛИ	либо, …либо…	ХОR		строгая дизъюнкция, исключающее ИЛИ.
Импликация	Если…,то..;…влечет…; следование	IMP	 ; 	логическое следование
Эквиваленция	…тогда, и только тогда, когда….	EQV	;  ;  ; ;	двойная импликация

Инверсия, конъюнкция, дизъюнкция являются базовыми логическими операциями, все остальные могут быть представлены с помощью этих операций.

Для получения логического вывода составляют таблицу истинности, в которой перечисляют все комбинации значений (значение – это «истина» или «ложь») простых высказываний и, реализуя логическую связь, получают результат, анализируя который определяют все истинные значения сложного высказывания.

Таблицы истинности некоторых логических операций

Инверсия Конъюнкция Дизъюнкция Исключающее ИЛИ Импликация Эквиваленция

А	А		А	В	АВ		А	В	АВ		А	В	А В		А	В	АВ		А	В	АВ
0	1		0	0	0		0	0	0		0	0	0		0	0	1		0	0	1
1	0		0	1	0		0	1	1		0	1	1		0	1	1		0	1	0
			1	0	0		1	0	1		1	0	1		1	0	0		1	0	0
			1	1	1		1	1	1		1	1	0		1	1	1		1	1	1

Кроме базовых операций здесь представлены часто используемые операции исключающее ИЛИ, импликация и эквиваленция.