15.3. Изотермический процесс

Условие, определяющее этот процесс: Т = const или dT = 0.

Примечание:

Как уже отмечалось, из эксперимента известно, что у идеальных газов удельная внутренняя энергия зависит от температуры u = u(T). То же относится к удельной энтальпии, так как:

i = u (T) +p υ = u (T) + RT.

Из этого следует, что изотермический процесс одновременно является процессом при постоянных удельных внутренней энергии и энтальпии идеального газа.

Соотношение между параметрами состояния в изотермическом процессе определяется из уравнения состояния идеального газа. Запишем его для точек 1 и 2 – начала и конца изотермического процесса:

. (15.19)

Разделив обе части (15.19) друг на друга получаем:

. (15.20)

Из (15.20) следует, что при изотермическом процессе давление и удельный объём обратно пропорциональны друг другу. То есть в рυ – координатах графиком изотермического процесса – изотермой является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами, рис. 15.5.

а) б)

Рис. 15.5.Изотермический процесс 1 – 2 врυ– координатах:

а) расширение газа; б) сжатие газа

Для определённости будем считать, что в ходе изотермического процесса Т = сonst = Т₁. Тогда для любой промежуточной точки процесса 1 – 2 можем записать уравнение состояния идеального газа:

p υ = R T₁ или . (15.21)

Выражение (15.21), вытекающее из условия Т = const, является уравнением изотермического процесса, которое можно добавить к исходной системе уравнений (14.6). В итоге система уравнений для изотермического процесса имеет вид:

(15.22)

В результате интегрирования первого уравнения в (15.22) получаем:

илиq = l. (15.23)

В результате интегрирования третьего уравнения, с учётом последнего, получаем:

. (15.24)

В результате интегрирования четвёртого уравнения получаем:

. (15.25)

Выводы:

1) Из (15.23) следует, что в изотермическом процессе:

• вся теплота, подводимая к газу, полностью превращается в работу расширения;

• при сжатии газа, от него отводится теплота в количестве, равном работе, затраченной на сжатие.

2) Из (15.23) и (15.24), с учётом (15.20), получаются следующие расчётные формулы:

. (15.26)

3) Из (15.25), с учётом (15.26), следует:

.

В Ts – координатах изотермический процесс изображается горизонтальной линией, рис. 15.6.

а) б)

Рис. 15.6.Изотермический процесс 1 – 2 вTs– координатах:

а) с подводом теплоты (расширение газа); б) с отводом теплоты (сжатие газа)

15.4. Адиабатный процесс

Условие, которым определяется адиабатный процесс: q = 0.

Процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой называется адиабатным.

Условие отсутствия подвода и отвода теплоты к системе называется условием адиабатности процесса.

На практике к адиабатным процессам приближаются такие процессы, в которых теплообменом между рассматриваемой системой и окружающей средой можно пренебречь.

Пренебречь теплообменом системы с окружающей средой можно в двух основных случаях: во-первых, если создать вокруг системы эффективную теплоизоляцию; во-вторых, если термодинамический процесс протекает достаточно быстро, в результате чего система за время процесса не успевает не получить из окружающей среды, ни передать ей сколько-нибудь значительное количество теплоты по сравнению с работой, совершаемой в данном процессе.

Исходная система уравнений (14.6) для адиабатного процесса с дополнительным условием имеет вид:

(15.27)

Первое и третье уравнения и последнее условие, с учётом свойства идеального газа (10.16), позволяют записать:

du + dl = c_υ dT + p dυ = 0. (15.28)

Подставляя в (15.28) давление р, выраженное из уравнения состояния идеального газа, получаем:

. (15.29)

Преобразуем (15.29) к виду:

(15.30)

После интегрирования (15.30) получаем:

(15.31)

Воспользовавшись уравнением Майера (10.18) преобразуем отношение к виду:

(15.32)

где называется показателем адиабаты (безразмерная величина).

С учетом (15.32) преобразуем (15.31) к виду:

. (15.33)

Очевидно, что из (15.33) следует:

. (15.34)

Преобразуем (15.34) следующим образом, учитывая уравнение идеального газа:

,

или

. (15.35)

Выражение (15.35) возводим в степень . В результате получаем:

. (15.36)

Выразим Т из уравнения состояния идеального газа и подставим в (15.34):

или

(15.37)

Выражения (15.34), (15.36) и (15.37) показывают, как параметры состояния идеального газа (газовой смеси) связаны между собой во время адиабатного процесса. (Вспомним, что для изотермического процесса аналогичная связь имеет вид: р υ = const). В частности, выражение (15.37) справедливо как для начального, так и конечного состояния системы в точках 1 и 2:

и ,

отсюда следует, что

. (15.38)

Аналогичным образом из (15.34) и (15.36) получаем:

или , (15.34)

или . (15.40)

Уравнение (15.37) называется уравнением адиабаты, которое говорит о том, что в ходе адиабатного процесса произведение давления на удельный объём в степени k остаётся постоянным.

Из уравнения адиабаты (15.37) следует, что в р υ-координатах адиабатный процесс отображается степенной функцией вида :

а) б)

Рис. 15.7.Адиабатный процесс 1 – 2 врυ– координатах:

а) расширение газа; б) сжатие газа

На рис. 15.7 пунктирной линией изображена изотерма (равнобокая гипербола). Очевидно, что график адиабаты круче графика изотермы.

В результате интегрирования (15.28) получаем:

,

или, с учётом (15.32):

. (15.41)

Формулу (15.41), используя уравнение идеального газа, можно преобразовать к виду:

, (15.42)

или

. (15.43)

Выводы:

1) Из (15.41) следует, что в адиабатном процессе работа совершается только за счёт уменьшения внутренней энергии.

2) Из последнего условия q = 0 следует, что dq = 0, а значит . Это означает, чтоs = const, т.е. в адиабатном процессе энтропия не изменяется.

Рис. 15.8.Адиабатный процесс вTs-координатах