15. Расчёт процессов в идеальном газе

15.1. Изохорный процесс

Условие, определяющее изохорный процесс: υ = const или dυ = 0.

Изображение изохорного процесса в рυ – координатах представлено на рис. 15.1 а) и б).

а) б)

Рис. 15.1.Изображение изохорного процесса врυ– координатах:

а) с повышением давления; б) с понижением давления

Связь между параметрами состояния газа в начале и конце изохорного процесса получаем из уравнения состояния (14.1), записав его для точек 1 и 2:

. (15.1)

Разделив левые и правые части (15.1) друг на друга получаем:

. (15.2)

Для рассматриваемого случая общая система уравнений с дополнительным условием принимает следующий вид:

(15.3)

Так как при условии υ = const неизвестная в общем случае удельная теплоёмкость процесса с превращается в известную (из справочника) удельную теплоёмкость при постоянном объёме с_υ, то в системе (15.3) число неизвестных функций становится равным числу независимых уравнений. То есть система (15.3) становится однозначно разрешимой. Решение дифференциальных уравнений производится, как известно, путём их интегрирования.

После интегрирования второго уравнения (15.3) с учётом, что с = с_υ (для наглядности здесь и далее будем считать удельные теплоёмкости с_υ и с_р постоянными величинами), будем иметь:

, (15.4)

где Т₁ и Т₂ – температуры газа в начале и конце процесса соответственно, К.

После интегрирования третьего уравнения (15.3) получаем:

, (15.5)

где υ₁ и υ₂ – удельные объёмы газа в начале и конце процесса соответственно (υ₁ = υ₂), м³/кг.

После интегрирования первого уравнения (15.3) получаем, с учётом (15.5):

. (15.6)

После интегрирования четвёртого уравнения (15.3) получаем:

. (15.7)

Выводы:

1) Из (15.2) следует, что в изохорном процессе отношение давлений равно отношению температур.

2) Из(15.5) следует, что в изохорном процессе работа не совершается (удельная работа равна нулю). (Так как при интегрировании уравнение идеального газа не использовалось, то этот вывод справедлив для всех случаев: идеального газа, реального газа, для вещества в твёрдой или жидкой фазах).

3) Из (15.6) следует, что в изохорном процессе вся теплота процесса идёт на изменение внутренней энергии газа. (Это также справедливо для всех случаев).

4) Из (15.7) следует, что в Ts – координатах изохорный процесс изображается логарифмической кривой рис. 15.2 а) и б).

а) б)

Рис. 15.2.Изображение изохорного процесса вT s-координатах:

а) с подводом теплоты; б) с отводом теплоты

15.2. Изобарный процесс

Условие, определяющее этот процесс: р = const или dp = 0.

В pυ-координатах изображается горизонтальными линями на рис. 15.3.

а) б)

Рис. 15.3.Изобарный процесс 1 – 2 вр υ-координатах:

а) с увеличением удельного объёма (расширение); б) с уменьшением удельного объёма (сжатие)

Соотношение между параметрами состояния в ходе изобарного процесса определяется из уравнения состояния идеального газа. Запишем его для точек 1 и 2 – начала и конца изобарного процесса:

. (15.8)

Разделив левые и правые части (15.1) друг на друга получаем:

. (15.9)

Равенство (15.9) показывает, что в изобарном процессе отношение удельных объёмов равно отношению температур.

Исходная система уравнений (14.6) с дополнительным условием для изобарного процесса имеет вид:

(15.10)

Благодаря последнему в (15.10) условию неизвестная в общем случае истинная удельная теплоёмкость с становится известной (из справочника) удельной теплоёмкостью с_р при постоянном давлении. В результате в системе (15.3) число неизвестных функций становится равным числу независимых уравнений, и система становится однозначно разрешаемой.

В результате интегрирования второго уравнения в (15.10) получаем:

. (15.11)

В результате интегрирования третьего уравнения получаем:

. (15.12)

В результате интегрирования первого уравнения получаем:

. (15.13)

В результате интегрирования четвёртого уравнения получаем:

. (15.14)

Выводы:

1) Из (15.13) с учётом (15.12) и того, что р₁ = р₂, следует:

q = u₂ – u₁ +l = u₂ – u₁ +p₁ · (υ₂ – υ₁) = u₂ – u₁ +p₂ υ₂ – p₁ υ₁ =

= (u₂ +p₂ υ₂) – (u₁ + p₁ υ₁) = i₂ – i₁, (15.15)

где i₁ и i₂ – удельные энтальпии газа в начале и конце изобарного процесса, Дж/кг.

Формула (15.15) показывает, что теплота в изобарном процессе расходуется на изменение удельной энтальпии системы. (В то время как в изохорном – на изменение удельной внутренней энергии).

С учётом (15.11) вместо (15.15) можем записать:

i₂ – i₁ = с_р (Т₂ – Т₁). (15.16)

При известной с_р выражение (15.16) позволяет построить таблицы для удельной энтальпии, как функции состояния.

2) Используя уравнение идеального газа из (15.12) получаем:

l = р₁ · (υ₂ – υ₁) = p₂ υ₂ – p₁ υ₁ = RT₂ – RT₁ = R · (T₂ – T₁). (15.17)

Рассмотрим далее случай, когда (Т₂ – Т₁) = 1, К. Тогда из (15.17) будем иметь:

l = R · 1, Дж/кг. (15.18)

Равенство (15.18) показывает, что газовая постоянная численно равна работе одного килограмма газа в изобарном процессе при увеличении его температуры на один градус.

3) Из (15.14) следует, что изобарный процесс в T s-координатах является логарифмической кривой, рис. 15.4.

а) б)

Рис. 15.4.Изобарный процесс 1 – 2 вTs– координатах:

а) с подводом теплоты; б) с отводом теплоты

На рис. 15.4 для качественного сравнения в том же диапазоне температур пунктирной линией изображена изохора, которая идёт круче изобары.