Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

81

Для решения задачи необходимо привести структурную схему к виду обобщенной структурной схемы рис. 5. Для этого узел 1 перенесем вперед че-

рез передаточную функцию W3 . Тогда получим структурную эквивалентную схему рис. 12, для которой с помощью формул (1), (4) последовательно найдем:

Рис. 12

Здесь в результате упрощения выражения полученной эквивалентной пе-

редаточной функции она приводится к виду W ( p) m( p)/ d( p) . При этом вы-

ход системы имеет вид

m( p)

Y ( p) W ( p)G( p) d( p) G( p) ,

Отсюда следует, уравнение в изображениях Лапласа d( p)Y ( p) m( p)G( p) ,

которому с учетом обратного преобразования Лапласа соответствует диффе-

ренциальное уравнение

Следует отметить, что из уравнения (11) при g(t) 0 в общем случае не

следует уравнение свободных движений выхода y(t) , зависящих от начальных условий y(0), y(1) (0), …, y(n 1) (0) , поскольку в полином d( p) входит полином

82

знаменателя передаточной функции W0 ( p) .

Поэтому для анализа динамики свободных движений системы, вызван-

ных начальными условиями, при отсутствии входных сигналов необходимо оп-

ределить соответствующее дифференциальное уравнение. Для этого, например,

в уравнениях (6) следует положить g 0 , f 0 . Тогда получим уравнения

1 Wраз y 0 .

Полагая Wраз( p) m( p)/ d( p) , получим уравнение в изображениях Лапласа

При этом свободное движение y(t) определяется корнями характеристическо-

го уравнения D( p) 0 . Действительно, уравнению (12) в изображении Лапласа соответствует дифференциальное уравнение

Тогда переходя к преобразованию Лапласа в уравнении (13) с учетом началь-

ных условий y(0), y(1) (0),…, y(n 1) (0) получим выражение Y ( p) M ( p)/ D( p) ,

где M ( p) – полином, зависящий от начальных условий. Тем самым, независи-

мо от начальных условий оригинал y(t) L 1{Y ( p)} определяется полиномом

D( p) или корнями уравнения D( p) 0 .

В системе MATLAB предусмотрена возможность программно “набирать” схему САУ путем предварительного ввода моделей простых звеньев и после-

дующего соединения этих звеньев в единую структуру.

Пример 3. Для структурной схемы рис. 11 при заданных передаточных функциях можно найти передаточную функцию W для выхода y от входа g с

помощью следующих команд [2]:

Wa=append(W0,W1,W2,1,W3); in=[1]; out=[5];

84

номерные блоки. При определении эквивалентных передаточных матриц ис-

пользуются матричные операции и их свойства. Например, для обобщенной структурной схемы вида рис. 5, где g, y – вектора размерности l , f s -

вектор, матрицы W1 , W2 , Wос , W f соответствующих размеров, также получим уравнения (6). Исключая промежуточный вектор размерности l , найдем вы-

ражение для вектора выхода

где El – l l - единичная матрица, имеющая отличные от нуля только диаго-

нальные элементы, равные единице. Отсюда получим выражение

ем, от корней которого зависит свободное движение y(t) .

Для задания в системе MATLAB передаточных матриц можно использо-

вать команду, формирующую массив одномерных передаточных функций. На-

пример, при заданных элементах передаточной матрицы

85

можно воспользоваться командой W=[W11 W12;W21 W22]

Для определения корней характеристического уравнения D( p) 0 (19)

используется команда tzero(eye(l)+W)

Вопросы для самопроверки

1.В чем отличие эквивалентных передаточных функций для последовательного и параллельного соединения передаточных функций?

2.Чем отличаются передаточные функции замкнутой системы при отрицатель-

ной и положительной обратной связи?

3. В чем смысл эквивалентных преобразований структурных схем?

4.Как определяется характеристическое уравнение одномерной системы?

5.Какую роль играют корни характеристическое уравнение системы?

6. В чем отличие передаточной матрицы от передаточной функции?

7. Всегда ли можно использовать эквивалентные преобразования для много-

мерных систем?

8. Как определяется характеристическое уравнение многомерной системы?

86

ЛЕКЦИЯ 7

Представление системы в переменных состояния. Способы построения решения. Переход от сигналов вход-выход к переменным состояния. Блочные системы в переменных состояний

1. Представление системы в переменных состояния

Представление ФЭ с помощью передаточных функций позволяет строить структурные схемы и на их основе получать желаемые передаточные функции системы. Недостатком такого подхода является требование нулевых начальных условий для переменных ФЭ. В связи с этим в инженерной практике использу-

ется также подход представления системы в переменных состояния, т.е. в виде совокупности исходных дифференциальных уравнений ФЭ, приведенных к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

цы A, B , C , D соответствующих размеров. Решение x(t) , t t0 дифференци-

ального уравнения (1) однозначно зависит от начального условия x(t0 ) и входа u(t) . В связи с этим вектор x(t) называют вектором состояния системы (1),

удовлетворяющего общему определению состояния системы.

Определение. Состояние системы в любой момент времени t0 – это ми-

нимальное количество информации, которое вместе со всеми входными пере-

менными однозначно определяет поведение системы при всех t t0 .

2. Способы построения решения

Для определения реакции системы (1) на входное воздействие u(t) ука-

жем способы построения решения x(t) . 2.1. Метод преобразования Лапласа

Проведем преобразование Лапласа левой и правой части уравнения (1) с

учетом начального условия x(0) x0 в нулевой момент времени. С учетом

L{x(t)} X ( p) , L{x(t)} pX ( p) x(0) , L{u(t)} U ( p) , для уравнения (1) полу-

ских дополнений, элементы aij ( p) которой определяются как произведение на определитель матрицы, полученной из матрицы pEn A , вычеркива-

С помощью обратного преобразования Лапласа по выражению (3) нахо-

дится оригинал x(t) . При u(t) 0 свободное движение системы зависит от кор-

ней характеристического уравнения

Из выражения (2) согласно теореме о свертке следует выражение для оригинала

даментальная матрица), причем первое слагаемое определяет свободной дви-

жение, а второе слагаемое вынужденное движение системы (1).

2.2. Метод разложения в бесконечный ряд

Из выражения (6) следует, что решение x(t) зависит от матрицы (t) ,

которую можно искать независимо от входного сигнала u(t) . Поэтому в урав-

нении (1) положим u(t) 0. Найдем решение однородного уравнения

т.е. переходную матрицу можно считать матричной экспонентой.

Тем самым выражение (10) определяет способ вычисления матрицы (t) .

Путем подстановки нетрудно убедиться, что решение (9) удовлетворяет уравнению (7):

Поскольку выполняется равенство:

x(t) ( t)x(t0) (t t0 ) (t0 )x(0) (t)x(0) ,

то, очевидно, что для произвольных начальных условий x(0) выполняется

свойство 2

t

(t t0 )x(t0 ) (t )Bu( )d .

t0

2.3. Метод преобразования подобия

Из теории матриц известно, что если характеристическое уравнение

90

гональной. Тогда с учетом свойств диагональных матриц матричную экспонен-

ту eJ t можно представить в виде: eJ t diag{epi t}.

Для данного случая с помощью представления матриц

n1T

M [m1 m2 ], M 1

nnT

формулу (14) можно переписать в виде

где ci Qi x(0).

2) В общем случае, когда lij 1, решение x(t) представляется в виде ана-

логичном (16), содержащем слагаемые с множителями epit , epitt , …,