Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

62

1.3 Интегрирующее звено.

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

Отсюда следует, что U ( ) 0, V ( ) 1/ . На рис. 5

приведен график АФЧХ, из которого следует, что при изменении 0 ФЧХ ( ) равна / 2.

2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся форму-

лами

A( ) |W ( j ) | U 2 V 2 1/ ,

Отсюда следует, что ЛАХ L( ) 20lg(1/ ) 20lg , построенная в ло-

гарифмическом масштабе lg , является графиком прямой линии с наклоном

20дБ/дек относительно оси частот (рис. 6), а ЛФХ ( ) / 2.

Рис. 6

Тем самым ЛЧХ интегрирующего звена симметричны ЛЧХ дифференци-

рующего звена относительно оси частот.

1.4 Форсирующее звено первого порядка

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

W ( j ) Tj 1 U ( ) jV ( ) .

64

Из рис. 8 следует, что асимптотическая ЛАХ (отмечена пунктиром) дос-

таточно точно описывает ЛАХ за исключением окрестности сопрягающей час-

тоты 1 , в которой сопрягаются (пересекаются) две асимптоты. Это учитывает-

ся при приближенном ручном построении ЛАХ. Для приближенного построе-

ния ЛФХ следует учитывать, что при 10 1 значение ( ) arctg10 84,29 ,

а при 100 1 значение ( ) arctg100 89,43 .

1.5 Апериодическое звено

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

На рис. 9 приведен график АФЧХ, из которого следует, что при изменении 0

ФЧХ изменяется / 2 ( ) 0 .

2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся формулами

Отсюда следуют выражения для асимптот ЛАХ и ЛФХ:

которые отличаются от ЛАХ и ЛФХ форсирующего звена первого порядка только знаком, т.е. симметричны им относительно оси частот (рис. 10).

65

Рис. 10

1.6 Форсирующее звено второго порядка

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

W ( j ) T 2 ( j )2 2 T ( j ) 1 U ( ) jV ( ).

66

Тогда ЛАХ будет иметь вид:

2

L( ) 20lg 1 2 / 12 4 2 2 / 12 .

Для построения асимптот запишем следующие выражения:

Графики ЛАХ и ЛФХ при 1 1 для различных значений 0 1 приве-

дены на рис. 12. Для 0 при 1 значение ЛАХ L( 1) 20lg(0) , а

ЛФХ имеет скачок фазы со значения 0 до . Физически это означает, что ам-

плитуда гармонических колебаний выходного сигнала на частоте 1 стре-

мится к нулю, т.е. сигнал на выходе системы отсутствует.

Рис. 12

67

1.7 Колебательное звено

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

где 1 1/T – сопрягающая частота. На рис. 13 приведен график АФЧХ, из ко-

торого следует, что при изменении 0 ФЧХ изменяется ( ) 0.

При 0 ФЧХ имеет скачок фазы со значения 0 до , при этом АЧХ имеет бесконечно большое значение.

2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся формулами

68

Отсюда следует выражение для ЛАХ:

2

L( ) 20lg 1 2 / 12 4 2 2 / 12 .

Тем самым ЛАХ и ЛФХ колебательного звена отличаются от ЛАХ и ЛФХ форсирующего звена второго порядка только знаком, т.е. симметричны им относительно оси частот. Графики ЛАХ и ЛФХ при 1 1 для различных значений 0 1 приведены на рис. 14. Для 0 при 1 значение ЛАХ

L( 1) 20lg(0) , а ЛФХ имеет скачок фазы со значения 0 до . Физически это означает, что амплитуда гармонических колебаний выходного сигнала на

частоте 1 стремится к бесконечности. Данное явление называется резо-

нансом.

При 0 колебательное звено называется консервативным, имеющего пару чисто мнимых полюсов p1,2 j1/T .

Рис. 14

Аналогично определяются частотные характеристики для неминимально-

фазовых звеньев, приведенных в таблице 4.2. Для данных звеньев АФЧХ отли-

чаются от АФЧХ их аналогов знаком у реальной или мнимой части. Поэтому

69

АЧХ и ЛАХ неминимально-фазовых звеньев совпадают с соответствующими АЧХ и ЛАХ минимально-фазовых звеньев, при этом отличаются только ФЧХ.

Чтобы не ошибиться в аналитическом представлении ЛФХ, необходимо пред-

варительно построить АФЧХ и определить диапазон изменения фазы ( ) .

В качестве примера рассмотрим особенности неминимально-фазовое зве-

ньев на примере аналогов форсирующего звена первого порядка и апериодиче-

ского звена.

1.8 Неминимально-фазовое форсирующее звено первого порядка

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

W ( j ) Tj 1 U ( ) jV ( ) .

график АФЧХ, из которого следует, что при изменении

0 ФЧХ изменяется / 2 ( ) .

2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся

формулами

A( ) |W ( j ) | U 2 ( ) V 2 ( ) 1 2 / 12 ,

( ) arctg V ( ) k arctg k .

U ( ) 1

Отсюда следует выражение для ЛАХ L( ) 20lg 1 2 / 12 , которое совпадает с ЛАХ звена W ( p) Tp 1. Для того чтобы аналитическое выраже-

ние для ЛФХ соответствовало диапазону изменения фазы АФЧХ рис. 15 сле-

дует воспользоваться формулой

( ) arctg .

1

Графики ЛАХ и ЛФХ при 1 1 приведены на рис. 16.

70

Рис. 16

1.9 Неминимально-фазовое апериодическое звено

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

( ) arctg V ( ) arctg .

U ( ) 1

Отсюда следуют выражения для ЛАХ: