Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

L

n

n

c u

(t)e ptdt

n

c

n

( p) .

(1)

c u (t)

u (t)e ptdt

cU

i

i

i i

i

i

i

i

i 1

0 i 1

i 1

0

i 1

Пример 1.

Найдем изображение для функции e j t

cos t jsin t .

Со-

гласно примеру 2.3 при a j получим

L e j t

1

p j

p

j

.

p j

p2 2

p2 2

p2 2

С другой стороны с учетом свойства линейности имеем

L e j t

L cos t jL sin t ,

и тем самым справедливы формулы

L cos t

p

, L sin t

.

p2 2

p2 2

2. Дифференцирование оригинала. Изображение производной оригинала

u(t) , если оно существует, при предначальном значении

u( 0)

с учетом усло-

вия | u(t) | Mect и c имеет вид:

L u(t) u(t)e ptdt e ptdu(t) u(t)e pt

0 p u(t)e ptdt

0

0

0

( j )t

lim u(t)e

( j )t

lim u(t)e

pU ( p)

t

t 0

0 u( 0)

pU ( p) pU ( p) u( 0).

начальном значении u( 0) с учетом предыдущей формулы получим

L u(t) L

d

pL u(t) u( 0) p pU ( p) u( 0) u( 0)

u(t)

dt

p2U ( p) pu( 0) u( 0).

Очевидно, что для n - ой производной оригинала u(t) при начальных зна-

чениях u(i) ( 0), i

0,n 1 по индукции получим

n 1

L u(n) (t) pnU ( p) pn i 1u(i) ( 0).

(2)

i 0

u(i) ( 0) 0,

В частном

случае

при нулевых начальных

значениях

i

0,n 1 получим простую формулу

L u(n) (t)

pnU ( p).

(3)

Пример 2. Найдем изображение производной для функций 1(t) и 1(t) :

d

1

d

1

L

1(t) p

1( 0) 1 1 0

, L

1(t) p

1( 0) 1 0 1.

p

p

dt

dt

d

p

p

1

L

cos(t)

p

cos( 0) p

1

,

p2

1

p2

1

p2

1

dt

нала q(t) q(0) u( )d ,

которая

является

решением

дифференциального

0

уравнения q(t) u(t)

с предначальным условием q( 0) q(0) . Тогда используя

формулу (2) получим

L q(t) pQ( p) q( 0) U ( p).

Отсюда следует, что

t

q( 0)

1

q(0)

1

Q( p) L q(0) u( )d

U ( p)

U ( p) .

(4)

p

p

p

0

p

В частном

случае при q(0) 0 получим простую формулу

t

1

Q( p) L u( )d

U ( p) .

(5)

p

0

tk 1еate ptdt

tk 1e p tdt ,

L eattk 1

0

0

где

– вспомогательный

оператор

Лапласа.

Здесь условие

p p a

k 1

2

| t

| Me

c t

M

/ 2! ...

,

выполняется,

например, при

1 c t (c t)

c c a

k 1

/(k 1)! 1.

значениях M , c , удовлетворяющих неравенству Mc

t

Воспользуемся формулой (5)

учитывая,

что

tk 1

(k 1) k 2d . Тогда

0

получим

t

(k 1)

tk 1e p tdt (k 1) k 2d e p tdt

tk 2 e p tdt .

0

p

0

0 0

L eattk 1

tk 1e p tdt

(k 1)!

(k 1)!

.

p k

( p a)k

0

34

В частном случае при a 0 отсюда следует формула

L tk 1

(k 1)!

.

pk

4. Запаздывание аргумента оригинала. Если известен оригинал u(t) , то

функция u(t ) , смещенная вправо функция u(t)

по оси абсцисс на величину

, т.е. u(t ) 0 при t ,

также является оригиналом, изображение которого

имеет вид:

L u(t )

pt

p(t )

p(t )

p

u(t )e

dt

u(t )e

dt

e

U(p).

d(t ) u(t )e

0

0

0

5. Свертка оригиналов. Для оригиналов u(t)

и w(t) сверткой является ин-

t

t

теграл y(t) u( )w(t )d

u(t )w( )d , изображение которого с учетом

0

0

условия w(t ) 0

при t

0 имеет вид

L y(t) Y ( p) L

t

t

u( )w(t )d

u( )w(t )d e ptdt

0

0 0

u( )w(t )d e ptdt

u( )

w(t )e p(t )dt d

0 0

0

0

u( )e p d

w(t )e p

(t )d(t )

0

0

p

pt

u( )e

d

dt

w(t )e

U ( p) W ( p).

0

0

Таким образом, для свертки справедливо изображение

(6)

Y ( p) U ( p) W ( p) .

6. Начальное и конечное значение оригинала. По известному изображению

U ( p) требуется определить начальное u( 0)

и конечное значение u( ) ориги-

m( p) b

pm b

pm 1

... b p b ,

m n ;

m

m 1

1

0

n

d( p) pn an 1 pn 1 ... a1 p a0 ( p pi ) .

i 1

Здесь корни pi

уравнения d( p) 0 называются полюсами, а корни уравнения

m( p) 0 называются нулями изображения U ( p).

В случае различных полюсов pi

(i

) изображение U ( p) можно пред-

1,n

ставить в виде:

U ( p)

c1

c2

...

cn

,

(11)

p p1

p p2

p pn

где коэффициенты разложения ci

определяются по формуле

ci U ( p)( p pi ) p pi

, i

,

(12)

1,n

что следует из выражения (22).

Тогда оригинал u(t) с помощью обратного преобразования Лапласа для

разложения (11) с учетом выражения L 1 1/( p p ) epit

будет иметь вид

i

n

u(t) cie pit ,

(13)

U ( p) Ui ( p),

(14)

i 1

где каждое слагаемое также представляется в виде суммы

Ui ( p)

ci1

ci2

cin

...

i

.

p pi

p p 2

p p

ni

i

i

Здесь сначала определяется коэффициент cin

по формуле

i

U ( p) U ( p)

cin

m( p)

,

i

p p

ni

d( p)

i

у которой после сокращения полином d( p)

имеет полюс p меньшей кратно-

i

сти, равной ni 1. Тогда можно определить коэффициент ci,n 1 по формуле

i

c

ni

1

.

U ( p)( p p )

i,ni 1

i

p p

i

зования Лапласа с учетом выражения

L 1 1/( p p )k

epittk 1 /(k 1)! (при

i

0! 1) будет иметь вид

ni

c tk 1

u(t) e pit

ik

.

(15)

(k 1)!

k 1

i 1

сам pi i j i ,

pi 1

p

i

i j i соответствуют комплексно-сопряженные

коэффициенты ci ,

ci 1

ci

или ci j , ci 1,j

ci j , поэтому в результате преобразо-

сумму простейших дробей:

U ( p)

p

p

c1

c2

,

p2 2

( p j )( p j )

p j

p j

38

u(t) L 1 U ( p) c e j t c

e j t

e j t e j t

cos t .

1

2

2

Свойство 1. Из формулы (13) следует,

что если все полюсы

pi ,

i

имеют отрицательные

вещественные

части

Re pi i 0 ,

то

1,n

lim u(t) 0 . Это справедливо также для выражения (15), поскольку в этом

t

случае при любой степени k 1

существует lim epittk 1

0 . Такие решения

t

u(t) называются асимптотически устойчивыми.

Свойство 2. Если хотя бы один полюс pi

имеют положительную ве-

щественную часть Re pi i 0, то lim u(t) и такие решения u(t) назы-

t

ваются неустойчивыми.

1.1. Передаточные функции в символьном виде

С учетом символа дифференцирования s d / dt ,

s2 d 2 / dt2 , рассмот-

ренное ранее, уравнение (2.5) можно переписать в виде

s2 a1s a0

y b1s b0 u d0 f ,

из которого следует выражение для выходной координаты

(16)

y Wyu (s)u Wy f (s) f ,

где передаточные функции Wyu (s)

и Wy f (s)

в символьном виде с учетом обо-

значений d(s) s2 a s a , m(s) b s b ,

l(s) d

0

определяются по форму-

1

0

1

0

Wyu

(s)

m(s)

,

Wy f

(s)

l(s)

.

d(s)

d(s)

Y( p)

b1p b0

U( p)

d0

F( p)

p2 a p a

p2 a p a

1

0

1

0

(17)

y( 0) p y( 0) a1y( 0) b1u( 0)

.

p2 a p a

1

0

В отличие от уравнения (16)

выражение (17)

является алгебраическим,

Y ( p) Wyu ( p)U ( p) Wy f ( p)F( p) ,

(18)

где передаточные функции Wyu ( p)

и Wy f ( p) в изображениях Лапласа с учетом

обозначений d( p) p2 a p a ,

m( p) b p b , l( p) d

0

определяются по

1

0

1

0

формулам

Wyu

( p)

m( p)

,

Wy f

( p)

l( p)

.

d( p)

d( p)

дальше будем рассматривать только один входной сигнал u , полагая

f 0 и

обозначая W ( p) Wyu ( p) . Тогда из выражения (3) получим формулу

(19)

Y ( p) W ( p)U ( p) ,