Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

71

L( ) 20lg 1 2 / 12 .

Тем самым ЛАХ и ЛФХ неминимально-фазового апериодического звена отли-

чаются от неминимально-фазового форсирующего звена первого порядка толь-

ко знаком, т.е. симметричны им относительно оси частот (при 1 1, рис. 18).

Рис. 18

Построение частотных характеристик для неминимально-фазового фор-

сирующего звена второго порядка и колебательного звена провести самостоя-

тельно.

1.10 Звено чистого запаздывания

Наряду с рассмотренными типовыми звеньями в передаточную функцию системы также может входить трансцендентное звено чистого запаздывания с передаточной функцией W ( p) e p , где – время запаздывания. При подаче сигнала u(t) на вход такого звена, на выходе, спустя время , формируется сиг-

нал u(t ) . Это следует из теоремы преобразования Лапласа о запаздывании аргумента оригинала. Действительно,

L{u(t )} u(t )e ptdt u(t )e p(t )e p dt

72

Построим частотные характеристики для звена чистого запаздывания.

1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и

выделим вещественную и мнимую часть:

W ( j ) e j cos( ) jsin( ) U ( ) jV ( ) .

Отсюда следует, что U ( ) cos( ) , V ( ) sin( ) .

На рис. 19 приведен график АФЧХ, из которого следует, что при изменении 0 ФЧХ изменяется ( ) 0.

2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся форму-

лами

A( ) |W ( j ) | cos2( ) sin2( ) 1,

( ) arctg V ( ) arctg sin( ) arctg tg( ) .

U ( ) cos( )

Отсюда следует выражение для ЛАХ:

L( ) 20lg1 0.

Таким образом, звено чистого запаздывания не изменяет амплитуду входного сигнала, а вызывает только запаздывание его по фазе.

2. Методика построения ЛАХ и ЛФХ

На основе свойства ЛАХ (3.20) по известным ЛАХ типовых звеньев мож-

но построить асимптотическую ЛАХ для произвольной передаточной функции приведенной к виду (3.14). Алгоритм построения состоит в следующем:

определяется значение 20lg k и отмечается на оси ординат;

определяются сопрягающие частоты i 1/Ti , i 1/ i и вычисляются значения lg i , которые откладываются на оси частот;

строится асимптотическая ЛАХ:

через точку 20lg k проводится слева направо прямая с наклоном 20v

дБ/дек до первой слева сопрягающей частоты, где v – число интегрирующих звеньев в передаточной функции (если v 0, то прямая проводится параллель-

но оси частот; если вместо интегрирующих звеньев присутствуют диффе-

74

2.Какой физический смысл имеет безинерционное звено?

3.В чем отличие ЛЧХ дифференцирующего от интегрирующего звена?

4.В чем отличие ЛЧХ форсирующего звена первого порядка от апериодиче-

ского звена?

5.В чем отличие ЛЧХ форсирующего звена второго порядка от колебательно-

го звена?

6.Какой наклон ЛАХ и значение ЛФХ имеет передаточная функция, содержа-

щая два интегрирующих звена?

7.Чем отличаются неминимально-фазовые звенья от минимально-фазовых?

8.Как изменяется сигнал на выходе звена чистого запаздывания?

9.Какое начальное и конечное значение имеет ЛФХ для минимально-фазовых звеньев?

10.От чего зависит наклон ЛАХ в области низких и высоких частот?

75

ЛЕКЦИЯ 6

Структурные схемы САУ и их эквивалентное преобразование. Многомерные систе-

мы.

1. Структурные схемы САУ и их эквивалентное преобразование

Функциональная схема САУ состоит из соединений ФЭ, выделенных от-

дельными блоками, точки обозначают ветвление сигнала, перечеркнутый кру-

жок со стрелками означает суммирование сигнала, если сектор закрашен, то это означает вычитание сигнала. Если ФЭ заменить их передаточными функциями,

то получится структурная схема системы.

Установим правила преобразования структурных схем для основных ви-

дов соединений ФЭ. Для простоты обозначений на структурных схемах вместо изображений Лапласа сигналов будем указывать обозначения их оригиналов, в

передаточных функциях опускать оператор p .

1. Последовательное соединение передаточных функций ФЭ представле-

но на рис. 1, которому соответствует эквивалентная передаточная функция W .

Рис. 1 Рис. 2

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

y1 W1u , y2 W2 y1, …, y Wn yn 1.

Исключая последовательно промежуточные переменные y1, …, yn 1 получим выражение

y Wn...W2W1u Wu .

Таким образом, для последовательно соединенных передаточных функ-

ций эквивалентная передаточная функция определяется по формуле

76

и структурную схему можно представить с помощью эквивалентного блока со-

гласно рис. 2.

2. Параллельное соединение передаточных функций ФЭ представлено на рис. 3, которому соответствует эквивалентная передаточная функция W .

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

y1 W1u , y2 W2u , …, y Wnu ,

y y1 y2 ... yn .

Исключая промежуточные переменные y1, …, yn получим выражение

y W1 W2 ... Wn u Wu .

Таким образом, для параллельно соединенных передаточных функций эк-

вивалентная передаточная функция определяется по формуле

3. Соединение с отрицательной обратной связью передаточных функций ФЭ представлено на рис. 4, которому соответствует эквивалентная передаточ-

ная функция W .

В соответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

g Wосy, (3) y W .

Исключая промежуточную переменную получим выражение

y W g Wосy ,

78

Всоответствии со структурной схемой имеем следующие зависимости:

g Wосy,

(6)

y W2 W1 W f f .

Найдем сначала зависимость выхода y от входных сигналов, исключая из уравнений (6) промежуточную переменную . В результате получим уравнение

y W2 W1 g Wосy W f f ,

из которого следует выражение

с передаточными функциями по каналу "вход-выход"

где Wраз( p) W1( p)W2( p)Wос( p) .

Найдем теперь зависимость ошибки от входных сигналов, исключая из уравнений (6) промежуточную переменную y . После аналогичных преобразо-

ваний получим выражение

с передаточными функциями по каналу "вход-ошибка"

Для облегчения запоминания формул (7)-(10) можно пользоваться сле-

79

дующим правилом: в числителе искомой передаточной функции указывается произведение передаточных функций по пути прохождения выбранного вход-

ного сигнала с учетом знаков сумматоров, через которые проходит сигнал, до заданного выходного сигнала; в знаменателе передаточной функции указывает-

ся выражение 1 Wраз( p) (для отрицательной обратной связи).

Общее правило определения передаточных функций для произвольных структурных схем основано на формуле Мейсона [4, стр. 74]. Однако для про-

стых структурных схем рекомендуется использовать их эквивалентные преоб-

разования с помощью следующих операций.

1. Перенос узла через блок по ходу движения сигнала (рис. 6).

Рис. 6

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: z u и z W 1Wu u . 2. Перенос узла через блок против хода движения сигнала (рис. 7).

Рис. 7

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: z y Wu и z Wu . 3. Перенос сумматора через блок по ходу движения сигнала (рис. 8).

Рис. 8

Здесь для левой и правой схемы выполняются равенства: y W (u z) и

yWu Wz W (u z) .

4.Перенос сумматора через блок против движения сигнала (рис. 9).