Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

112

жителя:

arg[( j pi )( j pi )] / 2 / 2 2 /2 .

0

Для вещественного корня ( i 0 , 0 ) получим приращение аргумента

arg[ j pi ] / 2.

0

Рассмотрим случай правых корней pi (рис. 3б). Очевидно, что прираще-

ния аргумента для правых корней будет отличаться только знаком.

Таким образом, левые корни характеристического уравнения (1) дают по-

ложительное, а правые отрицательное приращение аргумента.

На основе проведенного анализа с учетом формулы (7) можно сформули-

ровать следующее свойство.

Свойство. Если характеристическое уравнение (1) имеет m правых и n m

левых корней, то приращение аргумента для годографа Михайлова (5) будет равно:

делить из графика его приращение аргумента, равное k / 2 , то из равенства k / 2 (n 2m) / 2 найдем количество правых корней по формуле

тельно, система устойчива. При этом годограф Михайлова вращается строго против часовой стрелки.

При определении устойчивости системы по приращению аргумента годо-

графа D( j ) необходимо исключать случаи расположения корней на мнимой оси (на границе устойчивости). В этих случаях годограф Михайлова имеет ха-

рактерный вид.

1. Если имеется пара чисто мнимых корней p1,2 j i , то согласно фор-

113

муле (6) при i значение | D( j ) | 0, т.е. годограф Михайлова проходит через начало координат.

2. Если имеется нулевой вещественный корень p1 0, то при 0 зна-

чение | D( j ) | 0, т.е. годограф Михайлова начинается из начала координат.

Отметим, что для устойчивости системы в силу критерия Стодола все ко-

эффициенты характеристического уравнения должны быть положительными,

т.е. в уравнении (1) значение an 0 и годограф Михайлова при 0 должен начинаться на вещественной положительной полуоси.

С учетом указанных свойств теперь можно дать общую геометрическую интерпретацию частотного критерия устойчивости Михайлова:

Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1) не-

обходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова начинался на вещест-

венной положительной полуоси, строго вращался против часовой стрелки,

последовательно обходя n квадрантов (не проходя через начало координат),

и уходил в бесконечность в n -ом квадранте, где n – порядок характеристи-

ческого уравнения.

Для построения годографа Михайлова необходимо:

1)представить D( j ) X ( ) jY ( ) ;

2)найти точки пересечения с вещественной осью, полагая Y ( ) 0 и оп-

ределяя соответствующие положительные значения 1 , 2 , … в порядке воз-

растания;

3) найти точки пересечения с мнимой осью, полагая X ( ) 0 и опреде-

ляя соответствующие положительные значения 1 , 2 , … в порядке возраста-

ния;

4) определить квадрант, в котором годограф уходит в бесконечность по значениям X ( ) , Y ( ).

По полученным точкам пересечения с осями координат в порядке возрас-

тания частоты можно построить годограф Михайлова.

114

Из геометрической интерпретацию критерия Михайлова следует, что для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы пересечение осей

X ( ) , Y ( ) осуществлялось в последовательности 1 1 2 2 ... и го-

дограф Михайлова уходил в бесконечность в n -ом квадранте.

При нарушении хотя бы одного свойства в формулировках критерия ус-

тойчивости свидетельствует о неустойчивости системы.

Построение годографа Михайлова можно проводить в системе MATLAB

с помощью функции nyquist для полинома D( p) .

Пример 4. Для примера 3 построить годографы Михайлова при значени-

ях k 0, k 5, k 11, k 15 и сделать выводы об устойчивости системы.

Для решения задачи воспользуемся Script-файлом:

T1=1;T2=0.1;

k=0;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v));hold on k=5;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v)); k=11;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v)); k=15;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,10}); plot(squeeze(u),squeeze(v));grid

На рис. 4 представлены отредактированные графики годографов Михай-

лова: годограф 1 (k 0) начинается из начала координат и соответствует апе-

риодической границе устойчивости системы; годограф 2 (k 5) последователь-

но обходит три квадранта, что свидетельствует об устойчивости системы; годо-

граф 3 (k 11) проходит через начало координат, тем самым система находится на границе колебательной устойчивости; годограф 4 (k 15) соответствует не-

устойчивой системе.

С помощью команд

k=5;[u,v,w]=nyquist((tf([T1*T2 T1+T2 1 k],[1])),{1e-8,5}); figure(2);plot(w,squeeze(u),w,squeeze(v));grid

проводится построение вещественной X ( ) и мнимой Y ( ) характеристики

для устойчивой системы при k 5 (рис. 5), для которой выполняется условие

чередования корней: 1 1 2 .

116

ЛЕКЦИЯ 10

Частотный критерий устойчивости Найквиста. Логарифмический аналог критерия Найквиста. Запасы устойчивости. Устойчивость систем с запаздыванием. Интервальный критерий Найквиста.

1. Частотный критерий устойчивости Найквиста.

В отличие от критерия Михайлова частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ра-

зомкнутой системы, которая может быть построена аналитически или экспери-

ментально.

Рассмотрим структурную схему замкнутой системы, представленную на рис. 1, которую можно представить в виде рис. 2. Тем самым, замкнутую одно-

мерную систему всегда можно представить в виде рис. 3, где передаточная функция разомкнутой системы W ( p) W1( p)W2 ( p) охвачена отрицательной единичной обратной связью. Далее будем рассматривать такую систему с пере-

даточной функцией W ( p) m( p)/ d( p) , у которой порядок числителя m не превышает порядка знаменателя n , что соответствует условию физической реализуемости.

Для структурной схемы рис. 3 справедливо выражение изображения вы-

хода

Y ( p) W ( p) G( p) , 1 W ( p)

из которого следует уравнение свободного движения системы при G( p) 0:

1 W ( p) Y ( p) 0 .

117

Характеристическое уравнение замкнутой системы определяется из уравнения

1 W ( p) 0 .

рядка, D( p) d( p) m( p) 0 – характеристическое уравнение замкнутой сис-

темы n -го порядка.

1. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы d( p) 0 имеет m правых и n m левых корней, а характеристическое

вать начало координат в положительном направлении m / 2 раз.

Данное условие устойчивости можно переформулировать для АФЧХ ра-

зомкнутой системы W ( j ). На рис. 4 представлен годограф F( j ), вектор

118

которого вращается относительно начала координат. На рис. 5 соответственно представлен годограф W ( j ) F( j ) 1, вектор которого вращается относи-

тельно начала координат, а вектор F( j ) вращается относительно точки

( 1, j0) .

Тем самым, можно сформулировать критерий Найквиста:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W ( j ) при изменении 0 охватывал точку ( 1, j0) в положительном направлении m / 2 раз, где m – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы.

Из рис. 5 следует, что АФЧХ W ( j ) один раз охватывает точку ( 1, j0) в

отрицательном направлении, т.е. 1 m / 2 . Тем самым замкнутая система неус-

тойчива при любом m .

2. Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы d( p) 0 имеет корни, расположенные на мнимой оси. Это означает,

что полином d( p) , согласно теореме Безу, будет содержать множители вида p , p2 *2 , которые приводят к скачкообразному изменению фазы АФЧХ W ( j )

(см. лекция 3). Другими словами передаточная функция W ( p) содержит интег-

рирующие и консервативные звенья. Для использования критерия устойчиво-

сти в полиноме d( p) заменим указанные множители приближенными множи-

телями p , p2 p *2 , где 0 – сколь угодно малое значение. Иначе говоря, корни, расположенные на мнимой оси сдвинули в левую полуплоскость на бесконечно малое значение и тем самым пришли к предыдущему случаю.

При этом АФЧХ приближенной передаточной функции W ( j ) начинается на вещественной оси, изменение фазы происходит непрерывно с бесконечно большим значением модуля |W ( j ) | в окрестности точек 0 и * . К по-

строенной АФЧХ W ( j ) можно применить критерий Найквиста, полагая

0.

120

W ( j ) касается вещественной полуоси ( , 1) , то это эквивалентно тому, что она совершает два полуперехода с обратными знаками, в сумме равных нулю.

Рис. 8

Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так:

Для устойчивости замкнутой системы с единичной отрицательной об-

ратной связью необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы

W ( j ) при изменении 0 имела в сумме с учетом знаков m / 2 пере-

ходов вещественной полуоси ( , 1) , где m – число правых корней харак-

теристического уравнения разомкнутой системы.

На рис. 6, рис. 7 АФЧХ имеет один отрицательный переход.

На рис. 8 АФЧХ разомкнутой системы имеет отрицательный и положи-

тельный переход, сумма которых равна нулю. Тем самым условие устойчиво-

сти замкнутой системы 0 m / 2 выполняется при m 0.