Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
m( p) |
|
b pm b pm 1 b |
|
|||||||||
|
|
|
W ( p) |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
m |
, |
(22) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
d( p) |
|
a0 pn a1 pn 1 an |
|
|||||||||
где выполняется условие m n физической реализуемости системы. |
|
||||||||||||||||||
Подадим на вход системы гармонический сигнал u(t) um cos t , который |
|||||||||||||||||||
с помощью формулы Эйлера e j t cos t jsin t |
можно представить в виде |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e j t e j t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
u(t) u |
m |
|
|
|
|
u (t) u |
2 |
(t) , |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где u (t) u |
m |
e j t / 2 , u |
2 |
(t) u |
m |
e j t / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем отдельно реакции системы y1(t) и y2 (t) на составляющие u1(t) и |
|||||||||||||||||||
u2(t) . Тогда реакция линейной |
|
y(t) |
системы на |
u(t) равна сумме реакций: |
|||||||||||||||
y(t) y1(t) y2 (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При подаче на вход системы (20) сигнала u1(t) на выходе возникает пере- |
|||||||||||||||||||
ходной процесс |
y1(t) , |
который содержит переходную и установившуюся со- |
|||||||||||||||||
ставляющие движения. Если переходное движение со временем затухает, то на выходе системы установятся вынужденные гармонические колебания. Для их определения установившееся решение будем искать в виде y1(t) A1u1(t) , кото-
рое подставим в уравнение (20). С учетом равенств
u(1) |
(t) ( j )u |
m |
e j t / 2 ( j )u |
(t), u(i) (t) ( j )i u (t), |
y(i) (t) ( j )i Au (t) |
из |
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 1 |
|
|
уравнения (20) найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
d( j )Au (t) m( j )u (t) . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что |
A1 m( j )/ d( j ) W ( j ) . |
Функцию W ( j ) |
ком- |
|||||||||
плексного переменного можно представить как в декартовой |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
W ( j ) U ( ) jV ( ) , |
|
|
|
(23) |
|||||
так и в полярной системе координат |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
W ( j ) A( )e j ( ) , |
|
|
|
(24) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| m( j ) | |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
A( ) |W ( j ) | |
|
U 2 ( ) V 2 ( ) , |
|
(25) |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
| d( j ) | |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
52 |
( ) arctg |
V ( ) |
k , k 0,1,2,.. |
(26) |
|
U( )
Спомощью выражения (24) решение y1(t) можно записать в виде
y (t) A( )e j ( )u |
m |
e j t / 2 A( )u |
m |
e j( t ( )) / 2 . |
||
1 |
|
|
|
|
||
Для определения вынужденного решения y2 (t) на |
входной сигнал |
|||||
u2(t) ume j t / 2 воспользуемся |
следующим |
свойством: в |
силу равенств |
|||
j j 1 и ( j)( j) 1 все операции над комплексными выражениями будут сохраняться с точностью до знака при замене j на j . В силу данного свойства решение y2 (t) будет иметь вид
y2 (t) A( )ume j( t ( )) / 2.
Тогда окончательно получим
y(t) y |
(t) y |
2 |
(t) A( )u |
e j( t ( )) e j( t ( )) |
A( )u cos t ( ) . |
||||
|
|||||||||
1 |
|
|
m |
2 |
|
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, на выходе системы устанавливаются вынужденные гар- |
|||||||||
монические |
колебания |
с амплитудой |
ym A( )um , частотой |
и фазовым |
|||||
сдвигом ( ) относительно входного сигнала. При этом |
A( ), |
( ) зависят от |
|||||||
частоты и вида передаточной функции W ( p) и не зависят от амплитуды um
входного сигнала. Отсюда следует методика экспериментального определения характеристик A( ), ( ) :
1.С генератора синусоидальных колебаний на вход исследуемого объекта подаётся гармоническое воздействие заданной частоты и произвольной, но допустимой по величине амплитуды um .
2.После завершения переходного процесса измеряют амплитудные зна-
чения колебаний на выходе ym исследуемого объекта.
3.По осциллографу определяют разность в фазах выходных и входных гармонических колебаний, выражают её в градусах или радианах и получают аргумент ( ) .
4.Вычисляют модуль частотной характеристики по формуле
53
A( ) ym /um .
5. На генераторе изменяют частоту гармонических колебаний и для ново-
го её значения повторяют всю процедуру, начиная с п.1.
Графики функций A( ) и ( ) при изменении 0 называются ам-
плитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и фазовой частотной характе-
ристикой (ФЧХ) соответственно.
График функции W ( j ), построенный на комплексной плоскости при изменении 0 , называется амплитудно-фазовой частотной характери-
стикой (АФЧХ) (рис. 4). Очевидно, что по известным характеристикам A( ) и
( ) можно построить характеристику W ( j ) и наоборот.
5. Свойства АФЧХ.
Рассмотрим свойства АФЧХ физически реализуемых систем с передаточ-
ной функцией (22).
1) При 0 АФЧХ начинается на вещественной оси (рис. 4):
W ( j0) bm / an при an 0 .
2) При АФЧХ заканчивается на вещественной оси (рис. 4):
b0 /a0 при m n,
W ( j )
0 при m n.
3) Если an 0, то при 0 АФЧХ имеет значение |
W ( j0) j и |
||
(0) / 2 (рис. 5). Действительно в этом случае |
d( p) pd( p) и при b |
0 |
|
|
|
m |
|
54
получим
W ( j0) |
m( j0) |
|
|
|
bm |
|
j |
|
bm |
j . |
|
|||||
j0 d( j0) |
j0 a |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
0 a |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
||
4) Если an 0, |
an 1 0, то при 0 |
АФЧХ имеет значение W ( j0) |
||||||||||||||
и (0) (рис. 6). Действительно в этом случае |
d( p) p |
2 |
и при b 0 |
|||||||||||||
d( p) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( j0) |
m( j0) |
|
bm |
|
. |
|
|
||||||||
|
( j0) |
2 |
|
0 a |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
d( j0) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
||||
Таким образом, если уравнение d( p) 0 имеет |
нулевых корней, то на- |
|||||||||||||||||||||||||||||
чальное значение фазы (0) / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5) Если d( p) ( p |
2 |
|
*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
АФЧХ имеет разрыв второ- |
||||||||||
|
|
|
)d( p) , то при |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
го рода (рис. 7). Действительно в этом случае получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
W ( j ) |
|
|
|
|
|
|
m( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m( j ) |
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
*2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
*2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d( j0) |
|
|
|
|
|
d( j ) |
||||||||||||||||||
Тогда при * будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m( j *) |
|
|
|
= |
m( j *) |
|
|
|
при *; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
) |
|
|
|
* |
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 d |
( j |
|
|
|
d |
( j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W ( j *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m( j *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
m( j *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=- |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
) |
|
|
|
* |
) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 d( j |
|
|
|
d( j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
55
Таким образом, при * значение фазы скачком меняется на .
6. Логарифмические частотные характеристики и их свойства.
В инженерной практике широкое применение получили логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), отличающиеся от предыдущих частотных характеристик масштабами представления.
Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) оп-
ределяется по формуле
L( ) 20lg A( ) . |
(27) |
|
|
Единицей измерения по оси ординат является децибел (дБ), заимствован-
ный из акустики, единицей деления является 20 дБ. Логарифмическая фазовая частотная характеристика (ЛФХ) ( ) по оси ординат строится в равномер-
ном натуральном масштабе с единицей деления / 4 . Общий для ЛАХ и ЛФХ параметр – частота откладывается в логарифмическом масштабе lg( / *) , ха-
рактеризующем изменение частоты относительно базовой частоты * . Единица десятикратного изменения частоты называется декадой. Значение * определя-
ет начало координат в логарифмическом масштабе и может назначаться произ-
вольно. В системных исследованиях обычно * 1 рад/с, в экспериментальных условиях удобно начало координат связать с началом частотного диапазона ге-
нератора синусоидальных колебаний.
56
Таким образом, ЛАХ (27) является полностью логарифмической как по оси ординат, так и по оси абсцисс, а ЛФХ является полулогарифмической. При построении ЛЧХ по экспериментальным данным их преимущества никак не проявляются. Более того, необходимы дополнительные вычисления по формуле
(27) и вычисление координат по оси абсцисс по формуле
lg |
|
lg |
f |
, |
|
* |
f * |
||||
|
|
|
где 2 f , f – частота в герцах (Гц). Однако, только в логарифмических масштабах возможно однозначное восстановление фазовой характеристики для минимально-фазовых систем по логарифмической амплитудной характеристи-
ке. Это исключает необходимость измерения ( ) , что существенно упрощает эксперимент.
Рассмотрим свойства ЛАХ и ЛФХ для произвольной передаточной функ-
ции (22). Для этого найдем корни полинома числителя (нули) и корни полинома знаменателя (полюса) передаточной функции и согласно теореме Безу полино-
мы числителя и знаменателя передаточной функции (22) представим в виде произведения простейших множителей:
k i p 1 i2 p2 2 i i p 1
W p |
m( p) |
|
i 1 |
i 1 |
. |
(28) |
d( p) |
|
|
||||
|
|
pv (Ti p 1) (Ti2 p2 2 iTi p 1) |
|
|
||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
|
Здесь множители i p 1 соответствуют вещественным корням, а множители
2 |
p |
2 |
|
p 1 |
|
1 комплексно-сопряженным корням уравнения |
|||||
i |
|
2 i i |
при 0 i |
||||||||
m( p) 0. Множители (T p 1) |
и (T 2 p2 |
2 T p 1) |
при 0 |
i |
1 соответствуют |
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
i |
i i |
|
|
|
вещественным и комплексно-сопряженным корням уравнения d( p) 0 соот-
ветственно. Множители pv соответствуют нулевым корням знаменателя при v 0 и числителя при v 0. Коэффициенты i и i называются коэффициен-
тами демпфирования.
57
Таким образом, передаточную функцию (28) можно представить в виде произведения типовых передаточных функций:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
W ( p) Wi ( p) , |
|
|
|
|
(29) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
где типовые передаточные функции Wi ( p) приведены в таблице 1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Таблица 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
№ |
Название типового звена |
|
|
Передаточная |
Нули /полюса |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Безинерционное звено |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Дифференцирующее звено |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p1 0 |
|
|
|
|
|
|||
3. |
Интегрирующее звено |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Форсирующее звено первого |
|
|
|
|
|
Tp 1 |
p1 1/T |
|
|
|
||||||||
|
порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Апериодическое звено |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
p1 1/T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Tp 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Форсирующее звено второго |
|
|
T |
2 |
p |
2 |
2 Tp 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
p1,2 /T j |
1 2 /T |
||||||||||||||||
|
порядка |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Колебательное звено |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1,2 /T j |
1 |
2 |
/T |
||||||
|
|
|
T 2 p2 2 Tp 1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Название типовых звеньев следует из вида их переходных характеристик
[1], поведение которых зависит от нулей и полюсов передаточной функции:
дифференцирующее и интегрирующее звено осуществляют дифференцирова-
ние и интегрирование входного сигнала соответственно; выход апериодическо-
го звена имеет монотонно нарастающий процесс, не превышающий установив-
шегося значения; выход колебательного звена имеет затухающие колебания от-
носительно установившегося значения (см. лекция 11).
Представленные в таблице 1 звенья с положительными коэффициентами,
у которых нули или полюса имеют отрицательные вещественные части, назы-
ваются минимально-фазовыми. В таблице 2 приведены неминимально-фазовые
звенья с отрицательными коэффициентами, у которых нули или полюса имеют положительные вещественные части.
58
Таблица 2.
№ |
Название типового звена |
|
Передаточная |
|
|
|
Нули /полюса |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Неминимально-фазовое форси- |
|
|
|
|
Tp 1 |
|
|
|
|
|
p1 1/T |
|
|
|
||||||||
|
рующее звено первого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Неминимально-фазовое аперио- |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
p1 1/T |
|
|
|
||||
|
дическое звено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tp 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Неминимально-фазовое форси- |
|
T |
2 |
p |
2 |
2 Tp 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
p1,2 /T j |
1 2 /T |
||||||||||||||||||||
|
рующее звено второго порядка |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4. |
Неминимально-фазовое колеба- |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1,2 /T j |
1 |
2 |
/T |
|||||||||
|
тельное звено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
T |
2 p2 2 Tp 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Подставим в (29) p j и получим частотную передаточную функцию |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
W ( j ) Wi ( j ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(30) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
С учетом выражения (24) можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
j |
|
i ( ) |
|
|
|
|
|
||
|
W ( j ) A( )e j ( ) Ai ( )e j i ( ) |
Ai ( ) e i 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда следуют формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A( ) Ai ( ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) i ( ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(32) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к логарифмической амплитудной частотной характеристике по-
лучим выражение
|
N |
N |
L( ) 20lg A( ) 20lg Ai ( ) 20lgAi ( ) . |
||
|
i 1 |
i 1 |
Тем самым справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
L( ) Li ( ) , |
(33) |
|
i 1 |
|
|
|
|
т.е. ЛАХ произвольной передаточной функции равна сумме ЛАХ типовых
59
звеньев.
Таким образом, для построения ЛАХ передаточной функции необходимо знать ЛАХ типовых передаточных функций, приведенных в таблицах 1,2.
Вопросы для самопроверки
1.При каких условиях строятся временные характеристики?
2.В чем отличие переходной и весовой характеристик?
3.Как связаны переходная и весовая характеристики?
4.С помощью какой характеристики можно построить реакцию системы на произвольное входное воздействие?
5.Какой физический смысл имеют АЧХ и ФЧХ системы при подаче на ее вход гармонического сигнала?
6.Какие передаточные функции называются типовыми?
7.В чем отличие АЧХ и ЛАХ, ФЧХ и ЛФХ?
8.Каким свойством обладает ЛАХ передаточной функции?
60
ЛЕКЦИЯ 5
Частотные характеристики типовых передаточных функций. Методика построения ЛАХ и ЛФХ.
1. Частотные характеристики типовых передаточных функций
Рассмотрим свойства частотных характеристик типовых звеньев, приве-
денных в таблице 4.1. Для каждого звена проведем построение АФЧХ и соот-
ветствующих ЛАХ и ЛФХ.
1.1 Безынерционное (усилительное) звено
1) Для построения АФЧХ в передаточную функцию подставим p j и
выделим вещественную и мнимую часть:
W ( j ) k U ( ) jV ( ) .
Отсюда следует, что U ( ) k , V ( ) 0 . На рис. 1 приведен график АФЧХ в
виде точки на вещественной оси. При этом из графика видно, что при изменении 0 ФЧХ равна нулю.
2) Для построения ЛАХ и ЛФХ воспользуемся
формулами
A( ) |W ( j ) | 
U 2 V 2 k ,
( ) arctg V ( ) arctg 0 0. U ( ) k
Отсюда следует, что ЛАХ L( ) 20lg k , построенная в логарифмическом масштабе lg имеют вид рис. 2, а ЛФХ ( ) 0 .
Рис. 2