Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

132

выходная координата y(t) входит в трубку величиной 2 yуст и не покидает

ее, т.е. выполняется условие | y(t) yуст | yуст для t tp (обычно 0,05);

3 перерегулирование , которое определятся по формуле

yуст

4)время нарастания tн – минимальное время, при котором y(tн) yуст .

5)число колебаний y(t) на интервале времени 0 t tp .

Наилучшим считается процесс с наименьшими значениями указанных по-

казателей качества или принадлежащий заданной закрашенной области рис.2.

Переходные движения, вызванные ступенчатыми входными воздейст-

виями, принято делить на три группы (рис. 3): 1-монотонные, 2-апериодические и 3-колебательные.

У монотонных процессов первая производная y(t) не меняет знак, у апериодических знак производной меняется не более одного раза, а

у колебательных производная y(t) меняет знак периодически.

Установившаяся ошибка устойчивой системы может быть найдена по теореме о конечном значении оригинала

1 W ( p)

где W ( p) W1( p)W2( p)Wос( p) – передаточная функция разомкнутой системы.

а) Для входного сигнала g(t) g01(t), соответственно G( p) g0 / p . Тогда

133

получим изображение ошибки

статическая ошибка не равна нулю, называется статической по отношению к заданному входному воздействию. Система, у которой статистическая ошибка равна нулю, называются астатической.

Таким образом, установившаяся ошибка согласно выражению (3) зависит от коэффициента передачи разомкнутой системы k , т.е. чем больше его значе-

ние, тем меньше установившаяся ошибка.

Астатизм системы обусловлен наличием в разомкнутой системе интегри-

рующих звеньев, т.е. ее передаточная функция может быть представлена в ви-

де:

б) Если входное воздействие является линейно нарастающей функцией времени g(t) g1t , соответственно G( p) g1 / p2 , и степень астатизма v 1

астатизм первого порядка), то

134

где k m(0)/ d1(0) 0, ск – называется скоростной ошибкой.

Для системы с астатизмом второго порядка (v 2 ) в этом случае устано-

вившаяся ошибка, очевидно, равна нулю.

При наличии возмущения f (t) установившаяся ошибка определяется аналогично и равна сумме установившихся ошибок от входа g(t) и возмущения f (t) , найденных отдельно.

2. Косвенные показатели качества.

При расчетах САР прямые показатели качества оцениваются с помощью косвенных показателей, которые делятся на алгебраические, частотные и инте-

гральные показатели.

1. Алгебраические показатели качества позволяют судить о качестве переходного процесса по коэффициентам или корням характеристического уравнения.

Рассмотрим корневые показатели качества, связанные с распределением левых корней на комплексной плоскости (рис. 4). Здесь используют степень устойчивости и колебательности.

а) Степенью устойчивости называется расстояние от мнимой оси до ближайшего левого корня.

Степень устойчивости характеризует быстродействие системы.

Это связано с тем, что быстрота затухания переходного процесса в значительной мере определяется вещественной частью корня, наиболее близко располо-

женного к мнимой оси. При этом справедлива оценка для времени регулирования tp 3 5/ .

Если ближайшим к мнимой оси является вещественный корень, то ему соответствует апериодическая составляющая переходного процесса e tc1 (апе-

риодическая степень устойчивости).

Пример 1. Рассмотрим систему первого порядка

135

y(t) ay(t) k 1(t) ,

для которой найдем решение y(t) . Изображение выхода в преобразованиях Ла-

пласа при нулевом начальном условии y(0) 0 имеет вид

Реакция выхода системы y(t) при a k 10 представлена на рис. 5, из которого следует, что время регулирования определяется из уравнения

tp 0,3с.

Если же ближайшей к мнимой оси окажется пара комплексно-сопряженных корней p1,2 j , то доминирующая составляющая

переходного процесса e t (Asin t Bcos t) является колебательной (колеба-

тельная степень устойчивости).

Для определения степени устойчивости по характеристическому уравне-

нию системы d( p) 0 проведем замену p p . Тогда получим характери-

стическое уравнение d( p, ) 0, коэффициенты которого зависят от неизвест-

ного параметра . С помощью критерия Гурвица можно найти область устой-

чивости по параметру 0 , верхняя граница которого определяет значение степени устойчивости системы, поскольку при корнях уравнения d( p, ) 0,

136

расположенных на мнимой оси, корни уравнения d( p) 0 имеют степень ус-

тойчивости .

в) При наличии комплексно-сопряженных корней используется степень колебательности, которая характеризует быстроту затухания колебаний за ка-

ждый период и определяется величиной tg , где – наименьший угол сектора,

которому принадлежат левые корни на комплексной плоскости (рис. 4).

Действительно, для пары комплексно-сопряженных корней p1,2 j ,

0, 0 , которым соответствует равенство tg / , составляющую ре-

шения можно представить в виде e t (Asin t Bcos t) с периодом колебаний

Tк 2 / . Тогда через один период амплитуда e t уменьшится до величины

e (t 2 / ) e te 2 / , т.е. чем больше величина / , тем слабее будет за-

тухание колебаний для данной составляющей переходного процесса.

Отметим, что комплексно-сопряженным корням p1,2 j соответ-

ствует полином T 2 p2 2T p 1 при 0 1, для которого справедливы равен-

ства /T , 1 2 /T . Тогда получим / 1/ 2 1, т.е. степень ко-

лебательности зависит от коэффициента демпфирования .

2. Частотные показатели качества позволяют судить о качестве пере-

ходного процесса по частотным характеристикам замкнутой и разомкнутой системы. Основанием для этого служит связь весовой характеристики системы с ее частотной характеристикой, построенной по передаточной функции или

экспериментально.

Действительно, если известна передаточная функция системы (замкнутой или разомкнутой) W ( p) , то согласно обратному преобразованию Лапласа весо-

вую функцию можно найти по формуле

где путь интегрирования в комплексной плоскости p выбирается правее полю-

137

сов изображения W ( p) , при которых оно обращается в бесконечность. Для ус-

тойчивых систем полюса передаточной функции W ( p) лежат в левой полу-

плоскости, поэтому в формуле (6) можно положить 0 и p j . Учитывая,

что при замене переменной p j изменяются пределы интегрирования

p j j j в формуле (6), получим формулу обратного преобразования Фу-

рье:

где АФЧХ W ( j ) называется изображение Фурье весовой функции w(t) для значений t 0. При этом w( t) 0 , т.е. справедливо выражение

1 W ( j ) W ( j ) cos t d .

0

Сучетом равенства W ( j ) P( ) jQ( ) найдем

2

w(t) P( )cos t d . (9)

0

Для определения переходной функции проинтегрируем выражение (9) по времени:

построить переходную характеристику h(t) одним из способов приближенного вычисления интеграла (10), приведенного в [1]. При этом характер переходного процесса зависит от вида частотной характеристики P( ).

а) Для замкнутой системы с передаточной функцией

WЗ( p) W ( p) 1 W ( p)

где W ( p) – передаточная функция разомкнутой системы строится амплитудно-

частотная характеристика AЗ( ) |WЗ( j ) | (рис. 6). Здесь p – резонансная частота, при которой AЗ( ) достигает максимального значения AЗmax ; п –

частота, при которой AЗ( п) 0,707AЗ(0) , оп-

ределяет полосу пропускания системы (0, п) .

Полоса пропускания не должна быть слишком широкой, иначе система будет воспроизводить высокочастотные помехи. Частота среза ср ,

при которой AЗ( ср) 1, косвенно характеризу-

ет время регулирования tp (1 2) 2 / ср, т.е.

чем больше частота среза ср , тем меньше длительность переходного процесса.

Физически это связано с тем, что чем более высокие частоты пропускает систе-

ма, тем менее она инерционна в своих реакциях на входные воздействия.

Другой оценкой качества переходного процесса является показатель ко-

лебательности M AЗmax / AЗ(0) , величина которого характеризует склонность системы к колебаниям. Чем выше значение M , тем менее качественна система при прочих равных условиях.

При проектировании линейных САР принято задаваться значениями

M 1,1 1,7 . При этом значениям M 1,1 1,3 соответствует очень хорошее

139

демпфирование, значениям M 1,3 1,5 – хорошее демпфирование, значениям

M 1,5 1,7 – удовлетворительное демпфирование переходного процесса.

Обеспечение малых значений показатель колебательности 1 M 1,1 тре-

бует применения более сложных и дорогостоящих корректирующих средств и ведет к неоправданному усложнению системы.

Для астатической САР AЗ(0) 1, для статической САР

M AЗmax . Физически это означает, что в установившемся режиме выход сис-

темы равен входному постоянному сигналу.

По известной АФЧХ разомкнутой системы W ( j ) U ( ) jV ( ) можно

Отсюда получим

U 2 ( ) V 2( ) 1 U ( ) 2 V 2 ( ) M 2

Задавая различные значения M по формуле (6) можно построить семей-

ство окружностей со смещенным центром C и ра-

диусом R на комплексной плоскости (рис. 7). Здесь угол является запасом устойчивости по фазе для той системы, у которой АФЧХ W ( j ) касается ок-

ружности M const в точке B . Величину можно определить из треугольника OBO1 с учетом теоремы косинусов

140

R2 A2 C2 2AC cos ,

Вне этих пределов запас по фазе может быть любым, так как в этом случае ко-

нец вектора не может попасть в запретную область.

После построения АФЧХ разомкнутой системы W ( j ) показатель коле-

бательности M определяется по точке касания к одной из окружностей.

На рис. 8 представлена АФЧХ и окружности (6), на которых для удобства вместо значений M указаны значения 20lg M . Здесь значению 20lg M 4 дБ