Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

имеет кратные корни p1,2 0 . Тогда решение x(t) можно записать с помощью формулы (7.9) в виде

x(t) E2 A(t t0 ) x(t0 ) ,

т.е. x1(t) x1(t0) (t t0)x2(t0 ) , x2(t) x2(t0 ) (рис. 6).

Таким образом, система неустойчивая по Ляпунову.

Отметим, что система примера 1 в отличие от системы примера 2 не мо-

жет быть приведена к дифференциальному уравнению 2-го порядка. Это отра-

жается на устойчивости данных систем.

С учетом сказанного выше следует, корневой критерий устойчивости ли-

нейной системы:

Для асимптотической устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы имели отрицательные вещественные части, т.е. располагались в левой комплексной полуплоскости. Если имеется хотя бы один корень с положи-

тельной вещественной частью, то система неустойчивая. Если имеются корни, расположенные на мнимой оси, то устойчивость системы по Ляпу-

нову зависит от структуры матрицы системы, т.е. наличия жордановых блоков для данных корней.

При отсутствии жордановых блоков для корней с нулевой вещественной частью и остальных корней, расположенных в левой полуплоскости, система устойчива по Ляпунову. В этом случае также говорят, что система находится на границе устойчивости. При этом в случае нулевых корней система находится

на границе апериодической устойчивости, в случае чисто мнимых корней – на границе колебательной устойчивости.

102

В дальнейшем для краткости асимптотически устойчивую линейную сис-

тему будем называть просто устойчивой. При этом корни характеристического уравнения системы, имеющие отрицательные вещественные части, т.е. распо-

ложенные в левой комплексной полуплоскости, будем называть левыми, а рас-

положенные в правой комплексной полуплоскости – правыми.

Если исходная система имеет вид

то для исследования устойчивости запишем уравнение системы в отклонении от установившегося режима xуст , который будем считать невозмущенным дви-

жением, удовлетворяющим уравнению

установившегося режима

x A x , x(t0) x0 xуст .

Отсюда следует вывод:

Устойчивость линейной системы не зависит от вида входного воздей-

ствия, а определяется корнями ее характеристического уравнения.

Системе (12) согласно (6.3) соответствует зависимость «вход-выход»

X ( p) W ( p)U*( p)

торой знаменателем является характеристический полином d( p) . Поэтому справедливо следующее правило:

Для анализа устойчивости одномерных систем, представленных с по-

мощью передаточных функций, необходимо приравнять к нулю полином ее знаменателя и определить его корни.

Установим связь устойчивости линейной системы по входу с устойчиво-

стью невозмущенного движения. Для этого рассмотрим систему

где ci – вектор, зависящий от значений u j . Отсюда следует, что если корни pi , i 1,n левые, то при t интеграл в правой части неравенства (15) огра-

ничен и, следовательно, || x(t) || .

Таким образом, из условия устойчивости невозмущенного движения сле-

дует устойчивость системы по входу. Справедливо и обратное утверждение.

4. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.

Возвращаясь к исходной нелинейной системе (8) возникает вопрос об ее устойчивости в зависимости от устойчивости ее линейного приближения – сис-

темы (9). Впервые этот вопрос был поставлен и решен Ляпуновым в 1892 году и сформулирован в виде следующих теорем.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризо-

ванной системы (9) левые, то невозмущенное движение нелинейной системы

(8) асимптотически устойчиво.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеари-

зованной системы (9) имеется правый корень, то невозмущенное движение не-

линейной системы (8) неустойчиво.

Теорема 3. Если характеристическое уравнения линеаризованной систе-

мы (9) имеет левые корни и корни, расположенные на мнимой оси (критиче-

ский случай), то в этом случае нельзя судить об устойчивости нелинейной сис-

темы (8) по линеаризованной системе (9).

Для исследования устойчивости линейных систем с помощью вычисли-

105

ЛЕКЦИЯ 9

Алгебраические критерии устойчивости линейных систем: Стодола, Гурвица. Час-

тотные критерии устойчивости: метод D-разбиения построения области устойчивости,

критерий Михайлова.

В инженерной практике не всегда удобно проверять устойчивость линей-

ной системы по корням характеристического уравнения. Это связано в первую очередь с необходимостью использования ЦВМ, поскольку для алгебраических уравнений выше 3-его порядка требуется использование численных методов.

Кроме того, часто требуется определять область устойчивости системы по па-

раметрам. При этом вычисление корней характеристического уравнения для множества значений параметров является нерациональным. В связи э этим воз-

никает задача определения устойчивости системы без вычисления корней, т.е.

определения условий при которых корни характеристического уравнения ле-

вые. Методы решающие указанную задачу называются критериями устойчиво-

сти. В зависимости от метода решения задачи критериями устойчивости делят-

ся на алгебраические и частотные критерии. Алгебраические критерии позво-

ляют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения системы, а частотные – по виду соответствующих частотных харак-

теристик.

1. Алгебраические критерии устойчивости.

Пусть задано характеристическое уравнение линейной системы

106

множители

( p pi )( p pi 1) p2 ( pi pi 1) p pi pi 1 p2 2 i p i2 i2

имеют полиномы 2-го порядка с положительными коэффициентами, поскольку

i 0 . Тем самым, если раскрыть полином (2) с положительными коэффици-

ентами и привести к виду уравнения (1), то его коэффициенты также будут по-

ложительными. Отсюда следует критерий Стодола.

Очевидно, что возможны случаи, когда некоторые коэффициенты урав-

нения (2) отрицательные, а коэффициенты уравнения (1) положительные, т.е.

критерий Стодола является только необходимым. Однако, если в уравнении (1)

хотя бы один коэффициент ai 0 , то система неустойчива. Это условие являет-

ся достаточным для неустойчивости системы.

1.2. Критерий Гурвица. Для устойчивости системы с характеристиче-

ским уравнением (1) необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица

p(T1 p 1)(T2 p 1)

Требуется определить условие устойчивости замкнутой системы по коэффициенту усиления k .

Для решения задачи составим характеристическое уравнение замкнутой системы, полагая 1 W ( p) 0 . Отсюда получим

D( p) p(T1 p 1)(T2 p 1) k 0

или

Критерий Гурвица удобно использовать для систем невысокого порядка

(n 6 ), поскольку с ростом порядка увеличивается объем аналитических вы-

числений. Если требуется определить область устойчивости по одному пара-

метру, то для систем высокого порядка можно воспользоваться символьными вычислениями пакета MATLAB.

Пример 2. Требуется определить область устойчивости системы

по коэффициенту k с помощью символьных вычислений.

Для решения задачи воспользуемся следующим Script-файлом:

108

syms p k % символьные переменные n=3; A=[0 1 0;0 0 1;-k -1 -2];

d=poly(A,'p')% определение характеристического уравнения

%вектор коэффициентов характеристического уравнения aa=coeffs(d,p);n1=n+1;for i=1:n1; a(i)=aa(n1-i+1);end

%второй главный диагональный минор матрицы Грвица delta2=[a(2) a(4);a(1) a(3)]

vpa(det(delta2),6)% выражение минора матрицы Гурвица

В результате выполнения данной программы на печать выводятся выра-

жение характеристического уравнения, второй главный диагональный минор матрицы Гурвица и его выражение:

d =

p^3+2*p^2+p+k

delta2 =

[ 2, k] [ 1, 1]

detG =

2.-1.*k

Таким образом, условие устойчивости по коэффициенту k определяется неравенством 0 k 2 .

2. Частотные критерии устойчивости

При значении порядка системы n 6 использование критерия Гурвица связано с решением сложных неравенств. В этом случае для определения об-

ласти устойчивости более эффективным является частотный метод D - разбие-

ния Неймарка, который в отличие от алгебраического метода является числен-

ным методом.

2.1. Метод D-разбиения построения области устойчивости

Сущность метода D – разбиения, предложенного Ю.И.Неймарком, по од-

ному параметру заключается в следующем. Пусть характеристическое уравне-

ние системы имеет вид:

где k неизвестный параметр, по которому требуется определить область устой-

109

чивости системы. Из уравнения (4) запишем выражение для параметра k в опе-

раторной форме:

k( p) d( p) . m( p)

При подстановки p j для значений определяется условие на комплексный параметр k( j ), при котором замкнутая система имеет корни на мнимой оси. Построенная кривая D - разбиения k( j ) X ( ) jY ( ) при

разбивает комплексную плоскость на области с различным содер-

жанием устойчивых корней. При переходе из одной смежной области в другую через кривую D - разбиения один вещественный или пара комплексных сопря-

женных корней переходит через мнимую ось. Область, содержащая наибольшее число левых корней называется претендентом на устойчивую область. Для ус-

тановления правила, определяющего область претендент, рассмотрим пример при n 1.

Полагая D( p,k) p k 0, получим k p и, следовательно, k( j ) j ,

X ( ) 0 , Y ( ) . Тем самым кривая D - разбиения k( j ) проходит по мнимой оси и разделяет комплексную плоскость на две области. Из характери-

стического уравнения следует, что система устойчива при k 0, т.е. при

X ( ) 0 . Если нанести штриховку на кривой D - разбиения k( j ) слева при изменении от до , то область устойчивости будет на стороне штрихов-

ки. Тем самым в данной области наибольшее число устойчивых корней (один единственный корень). При переходе из правой полуплоскости (со стороны штриховки) в левую полуплоскость один корень становится неустойчивым и наоборот. Данные свойства также справедливы для n 2.

В общем случае для системы n -го порядка, если суммарное число пере-

ходов корней при переходах из области с наименьшим числом в область с наи-

большим числом левых корней равно n , то область претендент будет областью устойчивости.

Если число таких переходов меньше n , то найденную область претендент

110

необходимо проверить на устойчивость для любого фиксированного вещест-

венного значения параметра k из данной области с помощью какого-нибудь критерия устойчивости. Здесь можно воспользоваться, например, критерием Гурвица с использованием численных методов вычисления главных диагональ-

ных миноров.

Построение области устойчивости по параметру k методом D - разбиения можно проводить в системе MATLAB с помощью функции nyquist для опе-

раторного выражения параметра k( p) .

Пример 3. Для примера 1 требуется построить кривую D-разбиения при значении параметров T1 1с, T2 0,1с.

Для решения задачи воспользуемся командой

T1=1; T2=0.1; nyquist(-tf([T1*T2 T1+T2 1 0],[1]))

На рис. 2 представлен отредактированный график кривой D-разбиения,

разделяющей комплексную плоскость на три области. При этом область 1 явля-

ется областью претендентом на устойчивость со значением параметра k , удов-

летворяющего неравенству 0 k 11, что совпадает с условием устойчивости по критерию Гурвица (3).

Рис. 2

Метод D-разбиения также применяется для определения областей устой-

чивости по двум параметрам [1].