Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

21

распределенной, поскольку в модели ФЭ учитывается его пространственная протяженность. Если ФЭ, проводящий сигнал, можно моделировать материаль-

ной точкой (как это было принято выше), в которой сосредотачиваются все его параметры, то система с такими ФЭ называется сосредоточенной.

В зависимости от использования текущей информации САУ делятся на обычные (неадаптивные) и адаптивные. В отличие от обычных САУ в адап-

тивных текущая информация используется не только для выработки управ-

ляющего сигнала, но и для изменения алгоритма управления и/или задающего воздействия.

Подытоживая выше сказанное можно провести классификацию САУ по виду ее математической модели (рис. 1) и принципу действия (рис. 2). Наиболее простые системы для расчета и реализации, которые разрабатывались на пер-

вом этапе развития ТАУ, соответствуют левым блокам на рис. 1, рис. 2.

Из предыдущего следует, что замкнутую САУ можно представить в виде одной из обобщенных функциональных схем, представленной на рис. 3, где за-

22

дающее устройство (ЗУ) формирует входной сигнал g , поступающий на уст-

ройство сравнения (УС), на выходе которого формируется ошибка или рассо-

гласование g yос. Известная ошибка и другие сигналы (команда g , воз-

мущение f , отмеченные пунктирной линиями, если их удается измерить) по-

даются в управляющее устройство (УУ), на выходе которого формируется управляющий сигнал u , поступающий в усилитель мощности и затем на управ-

ляющий орган (УО), передающий воздействие на объект управления (ОУ). При этом поведение управляемой величины определяется видом входного воздейст-

вия и свойствами системы.

Рис. 3

В зависимости от характера изменения задающего воздействия g САУ могут быть подразделены на следующие три класса:

1)системы стабилизации;

2)системы программного управления;

3)следящие системы.

В системах стабилизации управляющее воздействие представляет собой заданную постоянную величину: g const (например, система регулирования скорости ДПТ, поддержания заданной температуры жидкости в баке и т.п.).

В системах программного управления известное задающее воздействие может быть функцией времени g(t) gпр(t) (например, для осуществления за-

данного режим нагрева, режим полета ракеты и т.п.) или пространственной ко-

ординатой (например, в системах управления металлообрабатывающих стан-

ков).

В следящих системах задающее воздействие представляет собой заранее неизвестную функцию времени, поэтому предполагается, что измерению дос-

23

тупна ошибка (например, в системе управления радиолокатором по измере-

нию отклонения электронной оси прибора от направления на объект слежения).

В соответствии с представлением системы на рис. 3 рассматривают три основные задачи расчета САУ:

1. Задача идентификации: по известным входным сигналам u, f и вы-

ходному сигналу y определить математическую модель и параметры обобщен-

ного ОУ (ООУ), включающего УМ, УО, ОУ.

2. Задача анализа: при известной математической модели ООУ и при из-

вестных входных воздействиях g, f требуется определить поведение выхода системы y или ошибки замкнутой системы при отсутствии УУ (полагая u ).

3. Задача синтеза: при известной математической модели ООУ, заданном входе g , при ограниченном возмущении f и заданном поведении выхода y

или ошибки найти управляющий сигнал u или алгоритм работы УУ.

Отметим, что в инженерной практике при проектировании САУ на реше-

ние первой задачи уходит две трети времени. При этом следует иметь в виду,

что никакая математическая модель физической системы не является точной.

Она должна адекватно отражать поведение физической системы для заданного режима работы и в то же время быть не слишком сложной для расчета регуля-

тора. Иначе говоря, если с помощью принятой математической модели удается построить регулятор, обеспечивающий требуемый режим работы системы, то данная математическая модель системы является адекватной для выбранного способа расчета и построения регулятора. При этом если регулятор является адаптивным, т.е. настраивается на изменяющиеся параметры ОУ, то очевидно при построении математической модели ОУ могут быть допущены некоторые ее неопределенности.

Решение задачи идентификации ООУ можно проводить на основе экспе-

риментальных данных путем подбора под них соответствующей математиче-

ской модели. Другой способ предполагает разбиение ООУ на отдельные ФЭ,

24

для которых аналитически строятся математические модели и эксперименталь-

но определяются их параметры.

2. Математические модели функциональных элементов

Будем рассматривать в дальнейшем класс динамических систем с сосре-

доточенными параметрами. При этом, следуя законам механики, электротехни-

ки и теплотехники можно считать, что любую систему по характеру динамиче-

ского процесса (степени свободы, обобщенной координаты) можно разбить на ФЭ, представленные с помощью дифференциальных уравнений не выше второ-

го порядка. Наиболее распространенным на практике является уравнение обще-

го вида

устанавливающее зависимость изменения выходной координаты y , ее скорости

y и ускорения y от входной координаты u и возмущения f . В уравнении (1)

для физически реализуемых систем порядок старшей производной входного

y u и на вход ФЭ подать линейно нарастающий сигнал u t , t 0, то на вы-

ходе должен возникнуть сигнал y 1. Таким образом, при сколь угодно малом значении входа u на выходе формируется сигнал y 1. Это возможно только при бесконечно большом усилении входного сигнала, что физически не реали-

зуемо.

В зависимости от заданного режима работы системы уравнение (1) может быть упрощено. Так, например, если в системе предполагается реализовать ре-

жим работы, при котором y y* y , u u* u , f f * f , где y* , u* , f * –

соответствуют заданному установившемуся режиму, удовлетворяющему урав-

нению

27

построить физически реализуемую модель на основе интегрирующих блоков,

использованных ранее при составлении структурных схем.

Для устранения указанного недостатка уравнение (5) перепишем в виде эквивалентной системы двух уравнений первого порядка с помощью вспомога-

тельной переменной z y :

y z,

называется вектором состояния, область возможных значений которого назы-

вается пространством состояний.

Уравнения (7) или (8) не содержат производных от входных сигналов, по-

этому по ним можно построить структурную схему с помощью интегрирующих блоков (рис. 5) для начальных условий x1(0) y(0) , x2(0) y(0) b1u(0) и при необходимости составить электрическую модель ФЭ, а также получить числен-

ное решение x(t) , t 0 на ЦВМ.

28

Рис. 5

Следует отметить, что для определения аналитического решения y(t) , t 0 уравнения (5) при заданных функциях u(t) , f (t) нет необходимости для перехода к уравнению (8). Для этого можно воспользоваться, например, мето-

дом на основе преобразований Лапласа [2, 11].

С помощью преобразований Лапласа также удается существенно упро-

стить форму записи дифференциального уравнения (5) и использовать это свойство для преобразования структурных схем САУ.

3. Преобразование Лапласа.

или одностороннее преобразование Лапласа U ( p), определяемое выражением

от комплексной переменной p j , определенной при любых p таких, что

Re p c . В этом случае подынтегральное выражение в (9) стремится к 0 при t и, следовательно, интеграл сходится. В выражении (9) нижний предел интегрирования рассматривается для момента времени t 0 0 при сколь угодно малом значении 0. Это необходимо для учета предначального зна-

чения функции u(t) , которое обозначается u( 0). Например, для функции u(t) cost значение u( 0) 1.

29

По изображению U ( p) с помощью обратного преобразования Лапласа

t 0. Такая функция, удовлетворяющая условиям сходимости интеграла (9),

называются оригиналом. В формуле (10) путь интегрирования в комплексной

плоскости p выбирается правее особых точек изображения U ( p), при которых

оно обращается в бесконечность. Учитывая сложность вычисления интеграла

(10) обратное преобразование Лапласа L 1{U ( p)} определяют с помощью таб-

лиц соответствия оригиналов и изображений (Приложение 1).

Таким образом, смысл преобразования Лапласа (9) заключается в том, что функции времени u(t) ставится в соответствие алгебраическое выражение от

переменной p .

Пример 2. Рассмотрим единичную ступенчатую функцию или единичный скачок, которая определяется по формуле

рыв при t 0, поскольку 1( 0) 0 и 1( 0) 1. При этом функция 1(t) является