Конспект лекц ТАУ _1ч _11 л

92

Данную систему уравнений при m n перепишем в матричной форме (1),

Следует обратить внимание на то, что коэффициенты в последней строке матрицы A соответствуют коэффициентам полинома знаменателя передаточ-

ной функции W ( p) и согласно (3) соответствуют коэффициентам ее характери-

стического уравнения.

В случае, когда m n , выход системы y будет зависеть от координаты

xn 1 xn , после подстановки выражения которой получим другие выражения для вектора-строки c и скаляра d :

c bn b0an bn 1 b0an 1 b1 b0a1 , d b0 .

Существуют также другие формы представления системы (1) при выборе иного вектора состояния x [7]. Однако при этом передаточная функция (матри-

ца) остается одной и той же. Действительно, в результате подстановки x M x

в уравнение (1) и умножения слева на обратную матрицу M 1 получим

x M 1AM x M 1Bu, y CM x D.

Передаточная функция данной системы в соответствии с формулой (5) будет иметь вид

W ( p) CM pEn M 1AM 1 M 1B D CM M 1 pEn A M 1 M 1B D

CMM 1 pEn A 1 M M 1B D C pEn A 1 B D W ( p) .

Поэтому говорят, что передаточная функция системы (1) инвариантна к преобразованию подобия вектора состояния x .

Таким образом, исходная линейная система может быть представлена од-

ним из способов (1) или (17). При этом следует отметить, что кратным корням

93

характеристического уравнения d( p) 0 системы (17) или (20) соответствует

один жордановый блок, т.е. ri 1, ni li1 .

4. Блочные системы в переменных состояний

Для описания ФЭ вместо передаточных функций можно использовать представление в виде системы (1):

где xi ni - вектор состояния i - го ФЭ.

1. Последовательное соединение. При последовательном соединении двух

При параллельном соединении k ФЭ блочная матрица является диаго-

нальной с блоками Ai , i 1,k .

3. Соединение с обратной связью. При использовании второго ФЭ в каче-

стве обратной связи имеем u1 u y2 , u2 y1 , y y1. Тогда получим эквива-

лентную систему:

95

ЛЕКЦИЯ 8

Устойчивость САУ. Определение устойчивости по Ляпунову. Устойчивость линей-

ных систем. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению.

1. Устойчивость САУ

Рассматриваются два подхода к определению устойчивости САУ.

1) Пусть заданное или невозмущенное движение системы описывается уравнением

нелинейная вектор-функция, удовлетворяющая условиям существование и единственности решения системы (1).

Предположим, что в момент времени t t0 из-за внешних возмущений изменилось начальное условие, которое приняло значение x0 x0* x0 . При

этом возмущенное движение системы при t t0 отклоняется от невозмущенно-

го движения x*(t) и описывается уравнением

Очевидно, что для нормальной работы системы необходимо, чтобы после

снятия возмущающих воздействий возмущенное движение системы стремилось к невозмущенному движению при t . Данное свойство системы называют

устойчивостью системы или устойчивостью невозмущенного движения.

В частном случае, если x*(t) 0 , система (1) при u*(t) const находится в

состоянии равновесия x*(t) x*(t0 ), которое определяется из уравнения стати-

ки

В силу нелинейности уравнения (2) может существовать множество состояний равновесия. При этом каждое положение равновесия может быть устойчивым,

96

нейтральным и неустойчивым. Примером может служить движение физическо-

го маятника при наличии сил трения, представленного на рис. 1. В зависимости от положения точки С центра масс маятника его положение равновесия являет-

ся устойчивым (а), нейтральным (б), неустойчивым (в).

Рис. 1

2) Другое определение устойчивости связано с реакцией системы на из-

менение управляющего воздействия u* . Пусть в момент времени t t0 управ-

ляющее воздействие приняло значение u(t) u*(t) u(t) , где u(t) – произ-

вольное ограниченное воздействие, удовлетворяющее условию

|| u(t) || u12 (t) um2 (t) umax .

При этом возмущенное движение системы, отклоняющееся от невозмущенного движения x*(t), описывается уравнением

то система (1) называется устойчивой по входу.

Устойчивость по входу связана с понятием устойчивости невозмущенно-

го движения.

97

2. Определение устойчивости по Ляпунову

Рассмотрим первый подход к определению устойчивости невозмущенно-

го движения системы (1), полагая u*(t) известным вектором. Для этого запи-

шем уравнение (2) в отклонениях от невозмущенного движения системы (1)

полагая x(t) x*(t) x(t) . Тогда вычитая из уравнения (2) уравнение (1) полу-

чим

x(t) F(x*(t) x(t), u*(t)) F(x*(t),u*(t)) f ( x(t), t) .

Таким образом, возмущенное движение системы в отклонениях от невоз-

мущенного движения описывается нестационарной системой

где f ( x(t), t) f (0, t) 0. При этом для системы (6) невозмущенным движени-

ем является решение x(t) 0.

Определение 1. Невозмущенное движение x*(t) системы (1) (или x(t) 0

системы (6)) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого сколь угод-

но малого 0 найдется ( ) 0 такое, что при начальных условиях

|| x(t0 ) || || x(t0 ) x*(t0 ) ||

выполняется неравенство || x(t) || || x(t) x*(t) || при t t0 .

В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым по Ляпунову.

Определение 2. Если исходная система (1) (или (6)) устойчива по Ляпуно-

ву и выполняется также условие lim x(t) 0 , то невозмущенное движение

t

x*(t) системы (1) (или x(t) 0 системы (6)) асимптотически устойчиво.

Если исходная система асимптотически устойчива для любых начальных отклонений, то невозмущенное движение устойчиво в целом.

Приведем геометрическую интерпретацию определения устойчивости по Ляпунову для случая n 2. На рис. 2 невозмущенное движение x*(t) является осью трубки с внутренним и внешним радиусами. При этом возмущенное

98

движение x(t) , соответствующее кривой 1, является устойчивым по Ляпунову,

а кривой 2 – асимптотически устойчивым. На рис. 3 приведены соответствую-

щие возмущенные движения x(t) в отклонениях от невозмущенного x(t) 0.

Рис. 2 Рис. 3

Примером устойчивой системы по Ляпунову является математический маятник, приведенный на рис. 4. Здесь начальное угловое поло-

жение маятника | (t0 ) | . Поэтому при свободных колебаниях маятника будет выполняться условие | (t) | , т.е. движе-

ние маятника устойчиво по Ляпунову. Если движению маятника препятствует сопротивление среды, то его колебания будут за-

где i (x) – слагаемые содержащие члены выше первого порядка малости. Тогда уравнение (7) можно переписать в виде:

x Ax (x) , x(t0 ) x0 , (8)

где постоянная матрица A определяется по формуле

(x) 0 , т.е. система является линейной, при этом отклонении вектора x могут быть произвольными.

Для определения устойчивости системы (9) по Ляпунову необходимо

проанализировать поведение нормы вектора || x(t) || , где решение x(t) при

t0 0 в случае различных корней определяется по формуле (7.16) и удовлетво-

ряет неравенству

Здесь комплексному корню pi соответствует комплексный вектор ci , норма ко-

торого равна корню квадратному из суммы квадратов модулей координат век-

на комплексной плоскости, которым соответствует выражение