2.4. Расчет надёжности при различных способах структурного резервирования

2.4.1. Определение показателей надежности при постоянном общем резервировании

Будем полагать, что отказы элементов системы являются независимыми событиями и что изменение нагрузки не влияет на надежность.

Определение показателей надежности при постоянном общем резервировании (см. рис. 2.5). Пусть P₀(t), P₁(t), ... , P_m(t) - вероятности безотказной работы, Q₀(t), Q₁(t), ... , Q_m(t) - вероятности отказа основного и m резервных элементов, P_C(t) и Q_C(t) - вероятности безотказной работы и отказа системы, образовавшейся в результате общего резервирования основного элемента всеми резервными.

По условию отказ наступает в тот момент, когда выходит из строя последняя из работающих подсистем. Следовательно, отказ системы является произведением (m + 1) независимых событий, поэтому

Q_C(t) = Q₀(t) × Q₁(t) × ... × Q_m(t).

Так как Р_C(t ) = 1 - Q_C(t) и Р_i(t) = 1 – Q_i(t) ,

то P_C(t) = 1 - .

Для равнонадёжных элементов

Q_C(t) = [Q₀(t)]^m+1, P_C(t) = 1 – [1 – P₀(t)]^m+1. (2.7)

При показательном законе надёжности в этом случае

(2.8)

где - интенсивность отказов любой из m+1 систем.

При l₀t « 1

Q_C(t) ≈ (l₀t)^m+1; P_C(t) ≈ 1 - (l₀t)^m+1. (2.9)

Найдем выражение для средней наработки до отказа.

Очевидно,

.

Обозначим , тогдаи

. (2.10)

Вычислим плотность вероятности и интенсивность отказов системы:

(2.11)

(2.12)

Таким образом, при показательном законе распределения наработки до отказа равнонадёжных основного и резервных объектов в случае постоянного общего резервирования наработка до отказа системы как случайная величина характеризуется функцией распределения и законом надежности в виде (2.8), (2,9), плотностью вероятности в виде (2.11) и показателями надежности Т_С и l_c(t) в виде (2.10) и (2.12).

2.4.2. Определение показателей надежности при постоянном раздельном резервировании

Определение показателей надежности при постоянном раздельном резервировании (см. рис. 2.7). Пусть P_i(t), Q_i(t) - вероятности соответственно безотказной работы и отказа элементов i-го типа. Тогда вероятность того, что отказ резервированной системы произойдёт из-за отказов элементов i-го типа, равна

Используя формулу (2.5), получим

При показательном законе надёжности

(2.13)

Эта формула при большом N неудобна, для расчётов более подходит приближенная зависимость

(2.14)

где - средневзвешенное значение интенсивности отказов всех элементов, из которых состоит сложная система.

2.4.3. Сравнительная оценка раздельного и общего постоянного резервирования

Сравнительная оценка раздельного и общего постоянного резервирования. Ограничимся сравнением двух простейших схем (рис.2.8) [7].

Пусть t₁, t^/₁, t₂, t^/₂ случайные времена работы соответствующих элементов до отказа. Сравним два способа резервирования и покажем, что надежность общего резервирования будет не больше надежности раздельного резервирования.

Рис. 2.8

Время работы до отказа схемы раздельного резервирования выражается в виде:

Т_РАЗД=min{max(t₁,t^/₁);max(t₂t^/₂) } .

Для схемы общего резервирования

Т_ОБЩ = max { min(t₁ ,t₂ ); min(t^/₁ t^/₂) }.

Предположим, что величины t₂, t^/₂ неизвестны. Тогда можно сделать следующее заключение: