книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов
.pdf
Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й И М А Т Е М А Т И Ч Е С К А Я С Т А Т И С Т И К А
Ю. А. РОЗАНОВ
ТЕОРИЯ
ОБНОВЛЯЮЩИХ
ПРОЦЕССОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1974
517.8 Р64
УДК 519.21
Теория обновляющих процессов. 10. А. Р о з а нов , Главная редакция физико-математической литературы нзд-во «Наука», 1974.
В книге изучаются закономерности обновления данных о «наблюдаемом» случайном процессе в зада чах линейного оценивания, прогнозирования и филь трации, которые приводят к проблеме факторизации корреляционного оператора. Она рассчитана на специалистов по теории вероятностей и функцио нальному анализу.
©Издательство «Наука», 1974 г.
Розанов Юрий Анатольевич
ТЕОРИЯ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ
М., 1974 г., 128 стр. Редактор М. П. Ершов
Техи. редактор А. П. |
Колесникова |
Корректор В. П. Сорокина |
||||
Сдано в набор 15/Х 1973 г. |
Подписано к печати 8/IV |
1974 г. |
Бумага |
|||
8‘1ХИ>8'/з2, тип. № I. |
Физ. печ. л. 4. |
Услоа. печ. л. 6,72. |
Уч.-нзд. л. 5,75. |
|||
Тираж 6800 экз. |
Т-20364. |
Цена |
книги 39 кол. |
Зак. № 848 |
||
Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Союзполнграфпрома при Государственном комитете Совета Министров
СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От а в т о р а ..................................................................................... |
|
4 |
|
||
Г л а в а |
I. Обновляющие процессы и канонические пред |
|
|||
|
|
ставления ..................................................................... |
|
|
5 |
§ |
1. |
Введение ..................................................................... |
|
. |
5 |
§ |
2. |
Структурные типы и подчиненные процессы . . |
14 |
||
§ 3. Некоторые примеры обновляющих процессов . . |
. |
29 |
|||
Г л а в а |
II. Регулярные процессы............................................ |
|
39 |
|
|
§ 1. Изометричные семейства и некоторые примеры |
. . |
39 |
|||
§ |
2. |
Некоторые модели случайных |
процессов. Понятие |
|
|
|
|
регулярности и проблема факторизации............... |
47 |
|
|
§ 3. Одна теорема о факторизации............................... |
56 |
|
|||
Г л а в а |
III. Регулярные стационарные процессы ........... |
66 |
|
||
§ |
1. |
Структурный тип регулярного |
стационарного про |
|
|
§ |
2. |
цесса ..................................................................................... |
|
|
66 |
Представление Вольда и факторизация спектраль |
|
||||
|
|
ной плотности................................................................ |
|
71 |
79 |
§ 3. Кратность регулярного стационарного процесса |
. . |
||||
§ |
4. |
Условия регулярности ..................................................... |
|
|
83 |
Г л а в а |
IV. Эквивалентные случайные |
процессы ............. |
100 |
|
|
§ |
1. |
Понятие эквивалентности. Вероятностная интер |
100 |
||
§ |
2. |
претация в случае гауссовских распределений |
. . |
||
Эквивалентностьстационарных |
процессов . . . . |
102 |
|||
§ |
3. |
Случайные процессы, эквивалентные винеровскому |
|
||
|
|
п ро ц ессу ..................................................................... |
|
124 |
|
ОТ АВТОРА
В этой небольшой книге излагаются новые во просы общей теории случайных процессов второго порядка, в рамках которой случайный (одномерный) процесс рассматривается как функция со значениями в гильбертовом пространстве случайных величин, имеющих конечный второй момент. Основные про блемы касаются «обновления» данных о случайном процессе с течением времени. Типичной в этом смысле является проблема о полной недетерминированности (бесконечномерного) стационарного в широком смысле процесса. Как оказалось, эти проблемы (и особенно общий вопрос о регулярности случайного процесса) тесно связаны с вопросом о факторизации опера торов в гильбертовом пространстве относительно за данной цепочки расширяющихся подпространств, и в силу этого обстоятельства в книге дается также по дробное доказательство некоторых, сравнительно не давних, результатов в этой области функционального анализа.
Г Л А В А I
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§ 1. Введение
Пусть |(0 = {1г (0К"> t0 < t < |
Г,—многомерный слу |
|||||
чайный процесс с компонентами h(t), i = 1, |
2, . |
. |
in |
|||
(число т может быть равным °о). |
Предположим, |
что |
||||
все значения |
£* (0 имеют нулевые |
средние |
Е |г(0 = 0 |
|||
и конечные |
вторые моменты |
Е| |
(/) |2 < |
оо. |
Обо |
|
значим Н,(£) замкнутую (в среднем квадратичном) линейную оболочку всех значений | г (s), t0< s^ .t, и будем рассматривать Н,{£) как подпространство гиль бертова пространства всех комплекснозначных слу чайных величин г), E |tii2< o o , со скалярным произ ведением
Oil. 'П2) = ЕГ1,Т12
(не делая различия между величинами, совпадаю щими с вероятностью 1).
В линейных задачах теории случайных процессов таких, например, как линейное прогнозирование и фильтрация, соответствующее подпространство Я,(£) представляет собой «совокупность данных», которыми располагает «наблюдатель» к моменту времени t для оценивания той или иной величины г), Е |т |р < о о (за наилучшую оценку принимается проекция этой величины на подпространство Я ,(%)).
Обозначим Р, оператор ортогонального проектиро
вания на #,(£) и введем |
пространство |
|
# ( £ ) = |
U |
я <(1). |
t„ < t< T
6 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I
Семейство |
проекционных операторов |
Р„ t0 < t < Т, |
|||
в Н (|), а |
также семейство |
соответствующих подпро |
|||
странств |
Hl (l) = |
PtH(l), |
t0< |
t < |
т, |
|
|||||
растущих с течением |
времени t: |
|
|
||
|
^ Д 1 ) е Я ,(|) |
при |
s< if, |
||
будут главным объектом нашего исследования. Основ ной вопрос, который нас будет интересовать, заклю чается в следующем. Как охарактеризовать эволюцию подпространств Н,{£) с течением времени t?
Чтобы пояснить общий подход к решению этого
вопроса, обратимся |
к одномерному случайному про |
||
цессу £(t), t0< t < |
Т, |
с н е к о р р е л и р о в а н н ы м и |
|
п р и р а щ е н и я м и . |
|
Будем предполагать, что этот |
|
процесс непрерывен слева:' |
|
||
lim |
£(/ — h) = &(/), |
|
|
a-»+o |
|
||
и положим Z7 (0 = Е | |
g (/) |2. Назовем монотонно |
не |
|
убывающую, непрерывную слева функцию F(t), |
t0 < |
||
< t< Т, структурной функцией. Соответствующее под пространство Н (£) состоит из всех величин т), пред ставимых в виде стохастического интеграла
|
т |
Л = |
J с (0 (t), |
|
<0 |
где комплекснозначная |
функция c(t), t0^ t < T , удо |
влетворяет условию |
|
т |
|
J I c(t) \2dF(t) < оо. |
|
Если рассмотреть гильбертово пространство С всех таких функций c(t),t0^ t < T , со скалярным произ
ведением
т
J с, (0 с2 (/) сIF (t),
§ П |
ВВЕДЕНИЕ |
7 |
и в нем подпространства Ct всех функций, обращаю щихся в 0 вне интервала [t0, t), то окажется, что инте ресующие нас подпространства tf,(g) будут унитарно изоморфны соответствующим подпространствам Ct, поскольку # ,(!) состоит из всех величин вида *)
t
г |= j c (s) dUs), t.
t
где J | c(s) 12dF{s) < oo. Грубо говоря, семейство под-
t, |
t0< t < T, устроено точно так же, как |
пространств |
|
и семейство |
подпространств Ct, t0 < t < Т, эволюция |
которых с ростом t представляется достаточно нагляд ной и полностью характеризуется соответствующей функцией F{t).
Рассматривая общий случай, мы будем предпола гать пространство Н (g) с е п а р а б е л ь н ы м, а семей
ство Ht (g), t0< t < Т , |
н е п р е р ы в н ы м |
с л е в а : |
lim |
tf,_ft(g) = tf,(g). |
(1.1) |
h-* +0 |
|
|
Эти условия будут выполнены, например, если исход
ный |
случайный |
процесс |
g (t) = {gf {t)}™, |
t0 < t < T, |
|||||
является непрерывным |
слева: |
|
|
|
|||||
|
lim |
ii{t — h) = |
l l (t), |
i = 1, . . . . |
m. |
||||
|
h-±+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
*) |
Здесь |
и |
далее в интегралах |
вида |
J интегрирование |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
ведется по интервалу [s, /), замкнутому слева |
и открытому |
||||||||
справа. |
При этом |
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
J |
rfg (s) = |
g (0 . J |
dl(u) |
= l ( i ) - l ( s ) |
|
|||
I dF [s) = |
F (<), |
J dF (И) = |
F (t ) - F (s), |
to<s<t<T . |
|||||
u |
S |
8 |
ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ |
|
[ГЛ. 1 |
Вопрос об эволюции подпространств Н, (£), to< К Т, |
|||
для произвольного случайного процесса |
— |
(0)Г> |
|
t0< t < T , |
можно было бы считать решенным, |
если бы |
|
удалось найти некоррелированные между собой про цессы Xj{t), j = 1, М, t0< t . < T , с некоррелиро
ванными приращениями, такие, что отвечающие много мерному процессу X(t) = № (/)}f, t0 < t < T , подпро
странства Ht(X) совпадают с интересующими нас подпространствами # ,(|):
Иt (X) = Нt(g), tQ< t < Т. |
(1.2) |
Действительно, тогда можно было бы представить
подпространства |
#,(£) в виде ортогональной |
суммы |
|||
|
м |
|
t0 < t < T , |
|
|
H ,( l) = @ H t(X,), |
|
||||
|
i—1 |
|
|
|
|
где каждое из ортогональных |
друг |
другу семейств |
|||
H t{Xj), t0< t < T , |
описывается, как указывалось выше, |
||||
с помощью соответствующей |
структурной функции |
||||
Fl {t) = E \ X j {t)f, |
t0 < t < T |
; |
/ = 1, |
.. . М. |
(1.3) |
Случайный процесс X (/) = |
{Xj (^)}'VI с ортогональ |
||||
ными компонентами Xj (t), |
t0 < t < T |
(X/ (s) |
± Xk(t) |
||
для всех s, t при j Ф k), каждая из которых пред ставляет собой процесс с некоррелированными прира щениями, удовлетворяющий условию (1.2), будем назы вать обновляющим процессом для случайного процесса
К*) = Ы 0 Г , t0< t < T .
Отметим, что при нашем предположении (1.1), согласно которому
lim Ht_h(X) = Н/ (X), h->+0
обновляющий процесс является непрерывным слева. Очевидно, обновляющий процесс всегда существует.
Его компоненты Xj (t), tQ< t < Т, можно построить,
например, следующим образом. Выберем какой-либо элемент ,v, е Н (%) и определим процесс с некоррели рованными приращениями Xl (t) = Ptx,, t0< t < T (на