книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов
.pdf
|
Г Л А В А II |
|
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
§ |
1. Изометричные семейства и некоторые примеры |
в |
Пусть Н„ t0 < t < T , — семейство подпространств |
гильбертовом пространстве Я, удовлетворяющее |
условиям (1.1) гл. I. Пусть Ut, tQ< t < T , — другое семейство (в гильбертовом пространстве Я). Будем
называть эти семейства изометричными, |
если суще |
ствует изометрический оператор X из U в Я такой, |
|
что |
(1.1) |
Ht = XU„ tQ< t < T . |
|
Чтобы не вводить новых обозначений, будем счи тать, что Я и U являются замыканием объединения
всех подпространств |
Н„ |
tQ< t |
< Т, и U„ |
t0 < t |
< Т |
||||||
соответственно; |
тогда |
X — у н и т а р н ы й |
оператор, |
||||||||
отображающий U на Я. |
|
проектирования |
на |
Я,, |
|||||||
Обозначим |
Рj |
оператор |
|||||||||
Q, — оператор проектирования |
на U,, t0< t < T . |
Оче |
|||||||||
видно, при условии (1 .1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Pt = |
XQtX ~\ |
t v < t < T , |
|
(1.2) |
||||||
поскольку |
для |
у н и т а р н о г о |
оператора |
X |
вместе |
||||||
с условием |
(1 .1 ) |
выполняется |
также условие |
Ht = |
|||||||
= XUi (где Я(- = |
Я 0 Я (, |
u t = |
U Q U t), |
и |
потому |
||||||
при h е Н, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х ~ '1 к = и 0 |
QiX~'h = |
X~'h, |
XQtX~lh = |
h, |
|
||||||
а при h JL Н , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ~ ' h l U t, |
QtX~'h = |
0, |
|
XQtX~'h — 0. |
|
|
|||||
40 |
РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. II |
Возьмем произвольные элементы ии . . . , |
um^ U , |
|
порождающие |
«обновляющий» процесс { |
t0 < |
< t < T , для семейства Uh t0 < t < Т (т. е. подпро странства Uк, порождаемые всеми величинами Qtuk,
iQ< t |
< |
Т, |
ортогональны между собой при различных |
|||
к = |
1, |
. . . , |
N, п U = |
® U,.). Положим Fk(/) = || Qtuk |р, |
||
t0< t < T ; |
к — 1, |
/г=1 |
|
соответствующие |
||
N. Очевидно, |
||||||
элементы хк — Хик, к — 1, |
. . . . N, |
порождают в про |
||||
странстве Я обновляющий процесс |
}Jv, tQ< t < T , |
|||||
точно такого же типа, поскольку |
|
|||||
|
|
|
Plxk = |
XQluk, |
t0< t < T , |
|
откуда видно, что подпространства Hk — XUk (поро ждаемые величинами Ptxk, t0< t < T ) ортогональны между собой и
|| Ptxk||2 = |
|| XQ,uk||2 = |
|| QtukIP - Fk(t), |
t0< t |
< T ; k = |
1, . . ., N. |
Таким образом, для изометрических семейств U„ t0< t < T , и Hit t0< t < Т , обновляющие процессы имеют один и тот же тип.
Верно и обратное утверждение. Действительно, рассматривая «циклические» подпространства Uк и Нк с эквивалентными структурными типами, можно вы брать порождающие элементы uk^ U k и хк е Нк так, чтобы их структурные типы в точности совпадали:
II QiUkIP = |
II Ptxk||= Д *(t), |
k — l, . . . , |
N. |
|||
Пространства |
U = |
N |
|
|
N |
|
® Uk н H = © Нк унитарно изо- |
||||||
|
|
k=I |
С |
всех |
векторных |
функций |
морфны пространству |
||||||
c{t) = [ск(0)f, |
tQ^ |
t < |
Т, |
с компонентами, удовлетво- |
||
ТN
ряющими условию [ V | Ck(t) I2liFk{t) < ОО, в котором
U k = \
§ IT ИЗОМЕТРИЧНЫЕ СЕМЕПСТВА 41
скалярное произведение |
элементов ct (/) = |
(с|Л (/)} и |
||
C2 {t)= |
{c2k{i)}i определено как |
|
||
|
т |
N |
|
|
|
f |
У clk(t)^ JT )d F k(t), |
(1.3) |
|
|
и fc=! |
|
|
|
причем |
при унитарном |
отображении Я, |
U —> С под |
|
пространствам Я, и Ut соответствует подпростран
ство Ct всех функций c(s), |
t0^ t < T , |
из |
простран |
ства'С, таких, что c(s) = = 0 |
при s > t |
(см. |
§ 1 гл. I, |
стр. 1 0 ).
Представьте теперь, что имеются два семейства
подпространств: Ht, |
t0 < t < T , и Ut, t0< t < T , |
свя |
|
занных друг с другом следующим образом: |
|
||
Я, = |
Ж /„ |
t0< t < T , |
(.1.4) |
где А — некоторый линейный оператор из гильбертова пространства U в гильбертово пространство Я. Или представьте еще, что соотношение типа (1.4) связы
вает (незамкнутые) подпространства Я? и Я?:
Я? = ЛЯ?, |
(1.4') |
замыкания которых есть |
|
Я/ = Я?, Я/ = Я?, |
t0< t < T . |
Спрашивается, для каких операторов А можно утвер
ждать, что соответствующие семейства |
Я, |
и U„ |
|
t0< t < Т, |
будут изометрнчны? |
этот |
вопрос |
Чтобы |
пояснить, какое отношение |
||
имеет к теории обновляющих процессов, рассмотрим несколько примеров.
Пусть ц (t) = {г)(- (/)}','\ t0< t < Г,—какой-либо «стан дартный» процесс, для которого известен тип обнов ляющего процесса или даже определены проекторы Q, на подпространства ЯДц), t.0< t < T .
Пусть |
| (t) = Hi |
t0 < t < T , — другой процесс, |
|
который |
мы |
желаем |
сравнить со стандартным про |
цессом г)(t) = |
(т)г (/)}"*, |
t0< t < T . Введем оператор А: |
|
Ai]i(t) = |
li{t), |
i — l , . . . , m , t0 < t < T , (1.5) |
|
42 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
и линейно продолжим его на линейную оболочку Н° (ri)
всех |
значений гр (t), i = 1, |
. . . . т , t0< |
t < Т (это воз |
|||
можно, |
например, |
если |
указанные |
значения |
r\i(t) |
|
л и н е й н о независимы). |
Если обозначить Н^ц) ли |
|||||
нейную |
оболочку |
значений ^ (s), / = ! , . . . , m, |
t0 < |
|||
< s |
t, |
то, очевидно, |
|
|
|
|
ля?(л) = я?(!)
и |
____ |
|
___ |
Hi(4) = |
H°t (r\), |
= |
to < t < Т. |
Мы видим, что поставленный выше вопрос в отно шении оператора А и Н, = Ht(Q, Ut= H,{rft озна чает следующее: при каких условиях на оператор А
обновляющий |
процесс для £,((.), t0< t < T , имеет тот |
|
же |
тип, что |
и обновляющий процесс для r|(0 , t0< |
< |
t < Т? |
|
|
Отметим здесь, что для процессов одного и того |
|
же типа важной является задача отыскания соот
ветствующего и з о м е т р и ч е с к о г о |
оператора X: |
Н ,{$ = ХН '{л), ta < t < |
Т |
(см. (1.1)), с помощью которого проекторы Pt на подпространства Н ,(£) могут быть определены по формуле (1 .2 ):
P, = XQ,X~\ t0< t < T .
Рассмотрим несколько примеров, показывающих, что структурный тип может меняться самым неожи данным образом при переходе от семейства подпро
странств |
U„ |
t0< t < T , к семейству |
Ht = AUt, t0 < |
|
< t < T , |
где |
А — о г р а н и ч е н н ы й |
линейный опе |
|
ратор. |
|
|
|
|
Пусть rj (^), |
0 < t < 1, — стандартный |
винеровский |
||
процесс. Как |
известно, |
|
|
|
|
л (О = 2 ■ адр* (0. 0 < / < |
|
1, |
|
где r u = |
J Л (0 фй (/) dt, а фй (it) — sin (k + |
1/2) nt — соб- |
||
|
О |
|
|
|
ственные функции ядра В (s, t) = min (s, t), 0 ^ 5 , / ^ 1.
§ П |
|
|
ИЗОМЕТРНЧНЫЕ |
СЕМЕЙСТВА |
43 |
||||
Пусть |
А — оператор |
проектирования |
|
на |
конечномер |
||||
ное подпространство |
L, |
порожденное |
величинами т]0, |
||||||
г),, |
|
щ (отметим, |
что r\k, |
/г = 0, |
1, |
|
есть орто |
||
гональный базис в пространстве £/ = |
#(£)). Рассмот |
||||||||
рим процесс |
|
П—1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1(0 = |
A r\(t)= 2 |
i№ ( 0 , |
о < / < 1. |
||||
|
|
|
|
4=0 |
|
|
|
|
|
Для любого t > 0 при надлежащем |
выборе точек |
||||||||
0 < 0 |
< |
• • • < t n < t |
матрица {cpfe (tj)} |
будет невырож |
|||||
денной, |
и из |
уравнений |
|
|
|
|
|
||
|
|
Я—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
T\kVk{tj) = l(t,), |
/ = 1 , |
|
|
|
||
|
|
4=0 |
|
|
|
|
|
|
|
находим, что величины т]э.........т),^ являются линей
ными комбинациями значений £(0). |
l(tn) и при |
|||||||
надлежат подпространству #,(£). Очевидно, |
|
|||||||
|
|
|
Hfd) = L, |
0 < / < 1 , |
|
|
||
и процесс X (t) = {Л'*, (/)}" с компонентами Xk (t) = |
114- 1, |
|||||||
k = 1, |
. . . , |
п, |
будет обновляющим для I (t), 0 < |
t < 1. |
||||
Таким |
образом, если исходное семейство U, = |
Ht (y]), |
||||||
0 < / < |
1, |
имело |
кратность |
N = 1 |
(обновляющим |
|||
является сам |
процесс г|(0, 0 < |
i < 1, |
со структурным |
|||||
типом |
dt), |
то |
семейство |
Ht= |
AUh 0 < f < l , |
будет |
||
иметь |
кратность М = п, |
а структурным типом |
(крат |
|||||
ности |
М) |
будет |
мера, |
целиком |
сосредоточенная |
|||
в точке t = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
Как показывает этот пример, даже для ограни |
||||||||
ченного оператора |
А на |
месте точек непрерывности |
||||||
семейства U, (Ul+0= U t) у нового семейства Ht = AUt
могут появиться «скачки» |
(# /+0 ф Ht). |
|||
Вообще, для простейшего стандартного семейства |
||||
Ui = Н, (г)), 0 < |
t < 1, |
где г](t) — винеровский процесс, |
||
можно указать |
такой |
п р о е к т о р |
А, что семей |
|
ство Ht = AUt, |
0 < / < 1 , |
будет иметь |
произвольный |
|
44 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
заранее заданный структурный тип. Именно, если взять процесс вида
l ( t ) = \ i ( s ) d s |
( Г El 4(s) N s < оо |
6 |
' о |
для которого обновляющий процесс имеет заданный структурный тип (о существовании такого процесса | (t), 0 < t < \ , с любым наперед заданным структурным типом говорилось ранее на стр. 11), и взять орто гональный ему стандартный вннеровский процесс
W(i), 0 < t < \ |
(H(\V)±H(D), |
положив |
|
||||
|
11(0 = 1(0 + W(t), |
o < t < \ , |
|
||||
то семейство Ht(ц), |
0 < t < |
1, |
будет и з о м е т р и ч н о |
||||
семейству |
U, = |
H,(W), 0 <Н < |
1 |
(см. стр. 25). |
При |
||
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!(0 = |
ЛТ1(0, |
0 < / < 1 , |
|
||
где А —- о п е р а т о р |
п р о е к т и р о в а н и я на |
под |
|||||
пространство #(£). |
|
|
|
|
|
||
Вернемся к произвольным семействам подпрост |
|||||||
ранств Uj |
и Ht = AUt, t0 < t < T |
(Л — ограниченный |
|||||
линейный оператор). |
|
|
|
|
|
||
Будем |
называть |
оператор |
А |
обратимым, |
если |
||
существует ограниченный обратный оператор Д~'. Для операторов такого типа вопрос об изометрич-
ности семейств Ut и Ht = |
A Ut, t0< t < |
Т, легко ре |
|||
шается в случае, когда U„ |
t0 < t < |
Т, есть дискретная |
|||
цепочка подпространств, а именно, |
|
||||
|
£ /,= |
|
Ф А * , ' . |
|
(1.6) |
|
|
tk < t |
|
|
|
где tk> k = \ , 2, |
. . . , — конечное |
или |
счетное мно |
||
жество точек интервала [/0, Т), в которых |
|||||
Д/е= Utk + o Q |
^ f Umo(Utk+k Q Utk) Ф 0. |
||||
Структурные типы
dFl (t)> d F 2( t ) > . . . > d f N(t)
§ I] |
|
ИЗОМЕТРИЧНЫЕ |
СЕМЕЙСТВА |
45 |
||||
такого семейства являются |
чисто |
дискретными, со |
||||||
скачками |
в точках |
tk, |
k — l, |
2, . .. |
Напомним, |
что |
||
/7/ (г)=Н<2/»/112, |
tQ< |
t < |
Т, где |
Qt — оператор проек |
||||
тирования |
на |
подпространство |
Ut, |
а ии |
uN— |
|||
полная система «циклических» векторов в гильбер товом пространстве U, для которых порождаемые
элементами QtUj, tQ< t < Т , подпространства Ut o p t o -
д'
гональиы при различных / = 1, . . . , /V и U = ® U 1
/=■ (см. стр. 40). В рассматриваемом случае цикличе
ские векторы и{.........uN могут быт выбраны следую
щим |
образом: |
l j c kuk], j = 1, . . . , N, |
|
iij = |
|
где |
tikj, i — 1, |
— ортонормировамный базис |
в соответствующем -подпространстве Ай= £//й+о 0 Utk
размерности |
Nk (Nk< |
N), |
ukj = 0 |
при |
j > Nk и |
Si I2< o o . |
|
|
|
|
|
h |
семейства |
Ut |
и Ht = |
AUb |
t0 < t < T , |
Очевидно, |
будут изометричными тогда и только тогда, когда Ht,
/0 < t < Т, |
будет чисто |
дискретной |
цепочкой^со скач |
||||||||
ками |
в тех же самых точках tk, k = |
1, 2, . . . , |
причем |
||||||||
|
dim (Я ,*+0© Я ,Й) = |
dim (£/,*+«,©£/,*); |
|
(1.7) |
|||||||
при |
этом |
условии, |
выбрав |
л юб о й |
у н и т а р н ы й |
||||||
о п е р а т о р |
X: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X(Utk+0Q U tk) = |
Hik+o Q H tk, |
k = l, 2, |
. . . , |
||||||||
будем иметь |
Ht — XUt, |
t0< t < T . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть |
А — ограниченный |
о б р а т и м ы й |
оператор |
||||||||
и Ht — AUt, |
tQ< t < T . |
Поскольку |
AUt+0 s |
AUt+h = |
|||||||
— Ht+h при всех h > |
0, имеем AUt+0 s |
(") Ht+h = Ht+Q. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h > 0 |
|
|
Учитывая, что Ut — A~lHt, t0 < t < T , имеем A~lHt+0 £ s Ul+Q, Ht+0^ AUt+0 и в итоге получаем
H1+0 = AUt+0, t0< t < Т. ( 1. 8)
46 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II
|
Равенство |
(1.8) |
показывает, |
что |
семейство |
Нь |
||
tQ< |
t < Т, |
является |
дискретной |
цепочкой |
подпро |
|||
странств и может иметь скачки лишь |
в тех |
же |
точ |
|||||
ках |
tk, что |
н |
семейство £/,, t0< t < T , |
поскольку |
при |
|||
Ut+o — Ui имеем Ht+0 = AUt+0= AU, — Ht. |
что |
без |
||||||
|
По поводу |
этого |
уместно заметить |
здесь, |
||||
условия обратимости оператора А, вообще говоря,
равенство |
(1.8) |
может |
не выполняться; более того, |
|||
что кажется несколько неожиданным |
для |
о г р а н и |
||||
ч е н н о г о |
оператора А, |
может оказаться, |
что Д/+0 = |
|||
= lim |
Ut+k — 0, |
тогда |
как П1+0= |
lim |
AUl+h ф О |
|
л-»+ |
о |
|
|
|
л-*+о |
|
(ср. с примером на стр. 42).
Покажем, что выполняется условие (1.7). Дей
ствительно, о б р а т и м ы й |
оператор А прямую сумму |
||||
подпространств Utk+a = Utk -\- Ак переводит |
в |
п р я |
|||
мую |
же сумму Htk + Q= |
Htk + ААк (точнее, |
ни при |
||
каком |
и ^ А к элемент х = |
Аи не принадлежит |
Д /J, |
||
откуда следует, что подпространство |
|
|
|||
|
|
Hik+o e t * t k = |
( I - P t k) лд , |
|
|
(Р, |
означает оператор проектирования на Н,) |
имеет |
|||
ту |
же |
размерность, что и |
подпространство ЛДА, ко |
||
торая совпадает для обратимого оператора А с раз мерностью подпространства
Ak= v t k+, e u i k.
Таким образом, справедливо следующее предло жение.
Пусть |
UI, |
t0< t < T , — дискретная |
цепочка |
под |
пространств в |
гильбертовом пространстве U и А — |
|||
ограниченный |
обратимый оператор из |
U в гильбер |
||
тово пространство Н\ тогда семейства \Jt и Ht = |
AUt, |
|||
t0< t < Т, |
изометричны *). |
|
|
|
*) Существует гипотеза о том, |
что это верно для о б р а |
т и м о г о оператора А н в случае |
произвольного семейства Ut, |
t0< t < T . |
|
§2] |
НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ |
47 |
§ 2. Некоторые модели случайных процессов. Понятие регулярности и проблема факторизации
В дальнейшем нам удобнее будет рассматривать обобщенные случайные процессы. Например, сравни
вая |
«обычный» |
процесс |
£(/) = |
{|гМ}Г> |
t0< t < T , |
|||||
с некоторым стандартным |
процессом |
ц (t) = |
(тр (г1)}"', |
|||||||
t0< t |
< Т , |
можно |
ввести обобщенный |
процесс (|, и), |
||||||
и е £/°, на предгильбертовом пространстве U0= |
Н° (ц)— |
|||||||||
линейной оболочке всех значений |
т]г(0> |
положив |
||||||||
|
|
(£, и) = Аи, |
|
i i ^ U 0, |
|
|
(2.1) |
|||
где |
А — линейный |
оператор |
из £7° |
в #(£), |
опреде |
|||||
ленный формулой (1.5) (а именно, |
Лгр (t) = h (t), i = |
|||||||||
= 1, |
.. -, |
m, tQ< t < T). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Представьте, что «наблюдается» некоторый обоб |
||||||||||
щенный случайный процесс |
(£, и), |
и е |
£7°, |
опреде |
||||||
ленный на некотором подпространстве £7° в гиль
бертовом пространстве |
£7 |
со |
скалярным |
произведе |
||||
нием (и, v), и, v е |
£7, |
в |
котором |
задано |
некоторое |
|||
семейство |
подпространств |
Я?, |
to < |
t < |
Т, |
такое, что |
||
к моменту |
времени |
t «наблюдатель» |
располагает |
|||||
всеми величинами (£, и), и е= £7?. Предположим, что £7° плотно в U ■ U = £7°, и в гильбертовом пространстве задан корреляционный оператор В:
Е (I, u)(l, v) = |
(Bu, v), |
и, s e |
£7°. |
|
|
Обозначим Н, |
з а м ы к а н и е |
подпространства |
всех |
||
величин (£, и), |
и <= £/?. |
Спрашивается, |
при |
каких |
|
условиях на корреляционный оператор В семейства Н„
t0 < t < T , и Ut = U°i, t o < t < T , имеют один и тот же тип, точнее, являются изометричными?
Если ввести оператор А, удовлетворяющий условию
А*А = В |
(2.2) |
(например, можно взять А = В 1!- — положительный квадратный корень из положительного оператора В), то будем иметь
Е (|, и)(£,' v) = (Ви, v) = (Аи, Av), к , в е £7°,
43 |
РЕГУЛЯРНЫЕПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. II |
откуда видно, ' что изометричными являются |
семей |
|
ства |
Ht(Q и AU°t, t o < t < T , и поставленный |
выше |
вопрос можно переформулировать следующим обра
зом: при каких условиях на оператор |
А будут изо |
|
метр ичными семейства |
|
|
Hi = МА и Ut = U°t, to < t |
< Т |
(2.3) |
(ср. (1.4) и далее)?
Вообще, рассматривая вопрос о типе семейства
подпространств |
Я ((£), t0 < t < T , |
возникающих |
при |
||||
«наблюдении» |
обычного |
случайного процесса |
£(/), |
||||
t-Q< t < T , |
или сравнивая |
Я, (£), |
tQ< t < T , с некото |
||||
рым другим «стандартным» семейством U,, t0 < t |
< Г, |
||||||
в том или ином |
гильбертовом пространстве |
U, |
как |
||||
правило, |
можно |
перейти |
к описанной выше |
схеме |
|||
обобщенного процесса (£, и), и е Я0, гильбертовом пространстве Я с заданным семейством подпространств
U°t, t o < t < T , |
таких, что |
Я, (£) совпадает |
с замы |
||||||
канием |
подпространства всех |
величин |
(£, и), |
и е Я?, |
|||||
a Ut = |
U°t, |
t0 < t < |
Т. |
редукцию |
для |
б е с к о |
|||
Проведем |
эту |
простую |
|||||||
н е ч н о м е р н о г о |
процесса, |
заданного таким обра |
|||||||
зом, |
что |
его |
компоненты, |
обозначаемые |
{!(/).*}, |
||||
t0 < t |
< |
Т, |
отмечены «индексом» , t e R, |
где R — сепа |
|||||
рабельное. гильбертово пространство со скалярным
произведением |
{.v, г/}, |
х, у е |
R. Будем предполагать |
|||||||
при |
этом, |
что корреляционная функция В (t, s), |
tQ< |
|||||||
< t, |
s < T, |
такого процесса, |
определяемая |
из |
соот |
|||||
ношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е {£ (t), х} (g (s), у} = |
{В (t, s) х, у}, |
х, yezR, |
(2.4) |
|||||||
является слабо |
|
непрерывной |
операторной |
|
функцией |
|||||
в R. |
|
линейное |
пространство |
U0 всех |
функций |
|||||
Введем |
||||||||||
со значениями в R, являющихся линейными комби |
||||||||||
нациями вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
* |
= |
6 |
- |
t0< |
t < т , |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||