Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§ 31

КРАТНОСТЬ

надлежит классу Я 6, если для всех .t e i? ', / / е Г скалярное произведение {I\.v, у} как функция от X

принадлежит пространству L6 (на прямой) и

оо

J е~ш {I\.v,

у} dX =

при

t <

0 *).

(2.13)

—00

Например, если

операторная функция

фА удовле

творяет

условию

(2.12),

то

сопряженная

функция

= ф *

принадлежит классу Я 2, поскольку для любых

х е

у £= R" (где R' =

RM,

R" =

(ФлЛ у} =

{х,

(

прямой)

о о

С »

е~ш {фА.г, y }d X =

j еш {ц>ху, x]dX =

0 при

t < 0.

— о о

— ОО

Отметим, кстати, что если

ft. = Фа • 'Ф!.

— о о < Я < о о ,

где

операторная

функция

фАе Я 2,

то

функция

фА= фЛ будет удовлетворять условию

(2.12).

§ 3. Кратность регулярного стационарного процесса

Рассмотрим			регулярный стационарный процесс
£(/),	— со	< t <	оо, с компонентами {£(0.	—° ° <
< t <	оо,	где	(R — «параметрическое»	гиль

бертово пространство).

Пусть fA— спектральная плот

ность.

Как

мы

знаем,

тип

семейства //,(£), — оо <

< t <

оо,

и,

частности, кратность М обновляющего

По

поводу

определения

классов

Я 6

и их свойств

см., например,

книгу К. Г о ф м а и а,

Банаховы пространства ана

литических функций,

М., ИЛ, 1963,

и обзор

В. И. К р ы л о в а ,

О функциях,

регулярных

полуплоскости,

Матем. сб. 4, 46

(1938),

9—30.

См.

также: И.

И. П р и в а л о в , Граничные свой

ства аналитических функций, М,—Л., Гостехиздат,

1950; Б. Сс ке -

ф а л ь в и - Н а д ь

Ч.

Ф о я ш,

Гармонический

анализ опера

торов

в гильбертовом

пространстве, М., изд-во «Мир», 1970,

80	'	РЕГУЛЯРНЫЕ	СТАЦИОНАРНЫЕ	ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. III
процесса		для \| (t),	— о о < у < о о ,	целиком	опреде

ляются спектральной плотностью Д(см. § 1). Возни кает вопрос, как по спектральной плотности Д найти

кратность М обновляющего процесса.								срл—•
Из условия		факторизации				= ср^ - ср^, где
операторная функция из гильбертова пространства R
в гильбертово пространство RM (см. формулу								(2.11),
вытекает,	что
			М ^	dim f\R .				(3.1)
Действительно,		положив		фя =		ф’ , получим
			=					(3.2)
поскольку	f\X =	0	тогда		и	только	тогда,	когда
[hx, х] — (qp^.v, cpvv} = 0 ,				и если R{ — подпространство
всех элементов		x ^ R , для			которых f\x = ф?.г =			0, то
Заметим, кстати, что из						условия	(3.2) вытекает
следующее	свойство		спектральной плотности Д:
		dim ДД =			const.			(3.3)

Действительно, если взять любые конечномерные

подпространства	R' ^ RM, R" s	R	(выбрав в них
ортонормированные базисы х\, . . . ,			х'п н	х ", . . . , х")
и рассмотреть проекции элементов яДд:, х е				R' , на R",
то окажется, что соответствующее			подпространство
П
элементов вида 2	{ФГД, х"к\ хк ,	х' е R'		(обозначим
/(=1

его <pKR'/R") будет иметь постоянную почти всюду размерность, поскольку она совпадает с рангом ана

литической	матрицы	с	компонентами (аДх), х "},
j — 1.........т \	k = i ,	. . . ,	п,	каждый из	миноров
которой как	функция от		Я,	— о о < Я < о о ,	принад

лежит одному из хорошо известных аналитических

классов Н6 при	надлежащем б >	0 н либо почти
всюду отличен	от 0, либо равен	0 тождественно *),

*) См. сноску на стр. 79.

§ 31

КРАТНОСТЬ

Теперь уже ясно, что размерность

dim i|\R ' = max (dim % R'/R")

постоянна почти всюду для любого конечномерного подпространства R' S RM, а следовательно, постоянна и размерность

dim 1foRM, dim i\\RM=	dim fKR.
Покажем, что	(3.4)
M < dim fKR.	(3.4)

Наше определение кратности М случайного процесса

l(t),

— со < ^ <

оо,

связано

семейством

проекто

ров

Р,

на

подпространства

Я,(£),

— о о < ^ < о о .

Будем исходить из того, что

М равно

м и н и м а л ь-

ному

числу циклических подпространств,

замкнутая

линейная

оболочка

которых

совпадает

со

всем

про

странством

Н (|) •—• см.

гл.

I — (напомним,

что

«циклическим»

по

отношению

к проекторам

Pt,

— оо <

t <

оо,

мы называем

подпространство в Я (£),

порождаемое

величинами

вида

Ptx,

— o o < t < o o ,

где х — некоторый элемент из

Я(£)).

Яу(|),

Рассмотрим

циклические

подпространства

j = 1.........М, порождаемые соответствующими

при

ращениями Xj (I) — Xi(s),

— o o < s , / < o o ,

обновляю

щего

процесса

в представлении

Вольда

(2.9)

(поро

ждающим

элементом

является, например,

g / =

J c{s)dX j(s),

— со

где подынтегральная

функция

интегрируема в квад

рате

отлична

от 0

почти

всюду). Выберем такую

функцию

c(s),

— оо < s <

оо,

чтобы

ее

сдвиги

c (s — t),

— оо <

s <

оо,

где

параметр

меняется

в пределах

— о о < ^ < о о ,

порождали

все

простран

ство

(на прямой). Ясно, что тогда величины

l j( t ) = J " c ( s — t)dXi{s),

— o o < t < o o ,

— со

порождают все подпространство Яу(|).

РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. ПТ

Обратимся теперь к группе унитарных операто ров Е,, — оо < / < оо, связанных со стационарным процессом l(t), — со < t < оо, соотношением (2.1), и используем известное представление Стоуна *):

	со
Е, =	J е™ dEx,	(3.5)
где Ёх, — оо < А < оо, — семейство		проекционных
операторов в пространстве Я (g). Очевидно,
l l {t) = E ,ll,	— о о < / < о о ,

откуда следует, что ортогональные подпространства

/7У(g),		/ =	1.........М,	являются циклическими также
и по		отношению		к семейству	проекторов	Ёх,
— оо	<	А <	оо (Я /(g)	порождаются	величинами	£\gy,
— оо	<	А <	со). При этом все «циклические векторы» gy

имеют одни и тот же «лебеговский тип»: функции

F j{А) = (ёЯр|у, gy) имеют положительную почти всюду плотность

со

/ (А) =		J eas с (s) ds	,	— оо < А <			оо,
		•00
и, таким образом, семейство				проекторов		Ех, — оо <
< А < о о ,	в	пространстве	/7(g) имеет			/И-кратиый
«лебеговский тип». Поэтому,				М равно минимальному
числу циклических (по отношению					к семейству Ёх,
— оо < А <	оо)	подпространств, замкнутая					линейная
оболочка	которых совпадает			со всем	пространством
Я (g). Если же обратиться			к функциональной модели

(1.2) рассматриваемого стационарного процесса и соответствующим операторам Е„ — оо < t < оо, умно

жения на функцию еш , — оо < А < оо,					в гильберто
вом пространстве L2(R), то			легко указать N цикли
ческих подпространств (N =				dim fxR) вида
Я * =	V			еш № хк,
	— 00< /	<	оо
*) См., например: Ф.	Ри с е ,	Б,		С е к е ф а л ь в	п-Н а д ь, Лек
ции по функциональному	анализу,			М., ИЛ. 1954.

§ -и УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ 83

замкнутая линейная оболочка которых дает все

пространство Я =		V		e'ltf\!~R-, именно,		можно
	— со < /		<	ео
взять функции f!/2.Vb		k =		1, . .	N, значения которых
образуют б а з и с		в		подпространстве f[l2R ^ R
(см. далее лемму на		стр. 87). Отсюда следует, что
М < dim fl!2R ( =	dim fkR).
Соединяя неравенства (3.1) и (3.4), получаем сле
дующий результат.			условии		регулярности	крат
Т е о р е м а .	При
ность М обновляющего			процесса равна размерности
подпространства	fKR ^		R:
	М =	dim fl!2R			11. в.	(3.6)

§4. Условия регулярности

1.Общий критерий регулярности. Нашим исход ным пунктом будет теорема о факторизации, со

гласно	которой стационарный	процесс	g (/),	— оо <
< t < оо, со спектральной плотностью fk,			—оо<Я <оо
(в гильбертовом пространстве R) является регуляр
ным тогда п только тогда, когда существует				опера
торная	функция фл, — оо <	Я < со,	класса		Я 2
такая,	что
	h =	п - в -		( 4	Л )

(определение класса Я 2 н аналогичного класса Я 1, который нам понадобится в дальнейшем, дано на стр. 78). По сравнению с ранее предложенным усло вием (2.11) мы поменяли местами срл и ф^, так что

теперь ср^ — линейный ограниченный оператор из гиль бертова пространства R в Л4-мерное гильбертово

пространство	RM.	Поскольку		всегда	dim R ^ М
(М = dim fkR п. в.),		то можно		считать,	что RM^ R ,
и доопределить	оператор		=	(ф1)” на всем простран
стве R, положив ф\ (R 0			Rm) =	О-
Введем оператор		Vk,	положив

1/л	= Ф ^> * е R-

84	РЕГУЛЯРНЫЕ	СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ		[ГЛ. III
Из	равенства (4.1)	видно,	что
	i n / r v f		-Vе R,

и, таким образом, И( изометрично отображает под пространство fH'2R на подпространство ipIR. Следо

вательно, сопряженный к нему оператор 1/^: VK(ф!.г) = ,v с= R, также является изометриче

ским; при этом

Поскольку	то для сопряженного			опера
тора фл = (ф*)’ получаем,		что фку =	при y<=qp>,
и если__доопределить		оператор	Vx так,	чтобы
VK(R @ %R) = 0, то будем иметь
поскольку	ортогональное	дополнение	R Q ^ \R	к под

пространству q>'kR состоит из «нулей» оператора ф^, сопряженного к ф)(. Очевидно,

Фx R ^ f T * ’ K ii\ k = v, r = ? '2r

(здесь и в дальнейшем fk 1,2 обозначает обратный

оператор к сужению f][2 на подпространстве Ясно, что функция

^ =

(4-2)

удовлетворяет условиям

s f?R . f ; >r\ K = f r R,

а кроме того,

§ 41		УСЛОВИЯ		РЕГУЛЯРНОСТИ					85
поскольку
		=			lU V IK lU i.
При	этом функция т\|)х,			— оо < X < оо,			принадлежит
классу Я 1П Я 2,		потому что для любых х,						у е R ска
лярное произведение [фх,т, у]					как	функция класса Я 2
есть	преобразование		Фурье		некоторой		функции		c(t)
из L 2 (на прямой — оо <				t <	оо),	c(t) =	О при t <		0, а
		1 — iX		еш е~‘ dt,

и следовательно,
[%*> У) = Т=1х				=	еШ° * e~idt е			я ‘ П я 2,
где	с * e~l , t >	0,	обозначает			свертку		указанных
функций.
Докажем теперь следующее предложение *).
Т е о р е м а .		Стационарный процесс					со спектраль

ной плотностью Д является регулярным тогда и только тогда, когда существует операторная функция фх

класса Я 1 такая, что
AR^ffR,		f^% R = ffR		п.в.	(4.3)
и при любом л-е R функция /^ l/2i\|)vr,				— оо <	А, < оо,
принадлежит пространству			L2(R):
	оо
	Л / Г 1Ч ^		Г ^ < ° ° .		(4.4)
*) При доказательстве мы следуем методу, который был
фактически	предложен в	одной нашей работе о стационарных
процессах	с дискретным	временем (Ю. А.		Р о з а н о в , О ли

нейном интерполировании стационарных процессов с дискретным временем, ДАН СССР 116 (1957), 923—926); см. также Yu. A. R о -

z a n o v ,	Some Approximation Problems	in the Theory	of Sta
tionary	Processes, J. of Multivariate	Analysis 2, 2	(1972),
135-144).

86 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. HI

(При этом необходимым является существование опе раторной функции удовлетворяющей условиям (4.3) — (4.4), которая принадлежит не только классу Н \ но одновременно также и классу Н-.)

Мы уже убедились выше, что если стационарный процесс регулярен и, следовательно, его спектральная

плотность fK допускает	факторизацию /х==ср^-ср*
с помощью операторной	функции срл	класса Н2, то
определенная формулой (4.2) функция		принадлежит

обоим классам Н \ Н2 и удовлетворяет всем условиям нашей теоремы. Таким образом, эти условия являются необходимыми. Докажем, что они являются доста точными.

Напомним, что регулярность имеет место тогда и только тогда, когда выполняется условие (1.9):

Я _ » =		П [ V		ea 7 ftf] = 0.
		t	Ls <	t	J
Рассмотрим	в пространстве
Н =		V	eth* f f R		= L2(R)
	— со <	5 <	со
ортогональное	дополнение

д= H Q I - I0

кподпространству Я 0— V etlsf^2R. Очевидно, все

подпространства е ш А		(состоящие из функций			вида
еш х(Х), — оо <	X < оо,	где ,v (X),	— оо <	X < оо,	е Д )
ортогональны	определенному		выше	подпростран

ству Н-оо, поскольку еш Д ортогональны соответствую щим подпространствам

Н , = V e ^ f { nR = e ^ H 0. t

Ясно, что если

V ё^Д=Я,

4(.5)

—оо< t < 00

то Я_сс = 0.

§ -1]	УСЛОВИЯ	РЕГУЛЯРНОСТИ	87
Определим	пространство-функцию		Л (Я,), — оо <
< Я < ° о , для	л ю б о г о	подпространства A s L 2(R),

выбрав в /1 полную систему функций {а,(А),а2(А), •••) = 5 и положив А (А) = Л3 (Я), где Л5 (А) есть замкнутая ли нейная оболочка в гильбертовом пространстве R всех значений аДА), а2(А), . .. Поскольку для любой функ ции а (А) е= Л найдется последовательность линейных комбинаций вида Ц а д (А ), сходящаяся в А2(Д)ка(А),

	к
то некоторая	подпоследовательность 2 скак (А) схо-
дится к а (А)	к
дится к а (А)	п. в., так что а (А )е Л 5 (А) при почти

всех А, и поэтому для любой другой полной системы

S' = {а[ (A), а2 (А), . . . )		в А ^ L2(R) имеем
As' (А) =			As (А) п. в.
В этом смысле	рассматриваемая п. в. пространство-
функция Л (А),	— оо <		А < оо, определяется	равен
ством Л (А) = Л3	(А) о д н о з н а ч и о.
Л е м м а. Подпространство
L =	V		~e™A<=L2{R)	(4.6)
	— оо <	t <	СО

состоит из всех функций х (А), — оо < А < оо, е В				(R),
значения которых удовлетворяют условию
г(А )еЛ (А ) п. в.				(4.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о . По		определению	подпро
странства L ^ L 2(R)	всякая	функция „г(A)g	L	есть
предел функций вида	У^еМкак {А), где а4(А )еЛ , и,

очевидно, значения ,v(A) удовлетворяют условию (4.7). Далее заметим, что для любой функции а ( А ) е Л

и скалярной измеримой		функции с (А)		\|	J\|c(A)[2X
				' — со
XII а (А) \|\|2 dX < ооj произведение х (А) =				с (А) а (А) есть
функция из подпространства L,			поскольку функция
с (А) может быть	сколь угодно		точно	аппроксимиро
вана в среднем	(с весом	g (А) =	\|\| а (А) \|\|2)		линейными

88 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III

комбинациями		вида	S ctelUii	и для некоторой после-
			к
довательности		вида	У^еЛ1,1ска(Х) в L2(R)		имеем
			к
J	х ( Х ) - ^ е Шкска(Х) dX =
	к
			c(S)	,скеш..	g (X) dX -> 0.
			— СО	k
Аналогично, для любых функций п, (X), . . . ,						аг(А )е А
и векторной измеримой функции с(А) = [с, (X),						..., сг(А)],
удовлетворяющей условию				с (A) g (X) с (A.)* dX < со

(где g{X) — положительная матричная функция с ком понентами gpq (А) = [ар(A), aq{А)), р, q = 1, . . ., г),

функция .V(А) = ^ ср(А) ар(А) принадлежит подпро- 1

странству L, поскольку векторная функция с (А) может быть сколь угодно точно аппроксимирована в среднем (с весом g (А)) линейными комбинациями вида

'EielKtkck (с векторными коэффициентами ск =

— \ck\, • • •> сАг)), и для некоторой последовательности

функций 2	е Ш ,:2сьй р (А ) в
к	р=1

Р=1

= \ \ с ( Х ) - ^ е ш ьЧСк g{^)

L2{R) имеем

d l =

( А ) - У - з 1' 'Ск dX->0.


Возьмем	теперь произвольную функцию х(Х) <= L2(R),
удовлетворяющую условию		(4.7),	и полную систему
функций я, (А), а2(Х), ... е ф		значения которых поро
ждают подпространство A {X )^ R			при п. в. А. Проек
ция (в	гильбертовом пространстве R) величины

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 149 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб14Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб41Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб3Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf