книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов
.pdfУСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ |
99 |
лярен и должно быть выполнено условие
оо |
|
|
|
|
|
|
|
| М |
М |
1 |
й > |
_ |
|
|
|
в частности, х{Х )ф О |
п. в. |
Если |
|
же взять строго по |
|||
ложительные (постоянные) операторы Р и Q в R та |
|||||||
кие, что Q !> P и Qxn-^-xйф § , |
Рхп-^ 0 для |
некото |
|||||
рой последовательности хпе R, взять скалярную |
|||||||
функцию 0 (Я.) класса |
Н ] [}Н2, |
|
|0(Я) < !1 , |
то |
ока |
||
жется, что операторная функция |
fK= 0(Я)|2Р2 |
регу |
|||||
лярна, /ь = Фя -Ф1, ф л = |
0(Я)Р, |
а |
функция gx: |
|
|||
( | 0 (Я) |2Q2 при | Я | > 1,
хотя и мажорирует fK, не будет регулярной, поскольку
|
|
|
0 |
при | Я| ^ |
1, |
|
|
|
|
| 0 (Я) | x'o при | Я | > |
1. |
||
Уточним, |
что этот контрпример существенно б е с к о |
|||||
н е ч н о м е р н ы й . В качестве Р и Q можно взять сле |
||||||
дующие операторы: Q — положительный невырожден |
||||||
ный оператор, для которого |
QR ф R, a |
P = QjtQ, |
||||
где |
л; — оператор |
проектирования на |
ортогональное |
|||
дополнение к элементу jc0 |
х0ф QR *). |
|
||||
|
Имея |
в виду |
условия регулярности (4.3) — (4.4), |
|||
заметим, |
что для |
определенных выше |
плотностей fл |
|||
и |
I я I > |
1, g I 'l \ R = Q -1(QnQ) R = |
я R ^ g f R = R , |
|||
и это указывает на невозможность подобрать опе
раторную |
функцию ^ е Я ’ П Н2, удовлетворяющую |
|
условиям |
(4.3) одновременно в отношении |
и gK |
(как это было сделано выше при доказательстве нашей теоремы сравнения).
*) См. R. G. D o u g l a s , On |
factoring |
positive operator |
functions, J. Math, Mech. 16(1966), |
119 — 126. |
|
4* |
|
|
Г Л А В А IV
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§ 1. Понятие эквивалентности. Вероятностная интерпретация в случае гауссовских распределений
Пусть K 0 = {K0> |
-V).vefi 11 Л(0 = |
{л (4 x}xeR — два |
||||
случайных |
процесса |
на |
интервале |
t0 < t < |
Т, где па |
|
раметр |
х |
пробегает |
некоторое множество |
R. Имея |
||
в виду |
вопрос о том, |
при каких условиях их обно |
||||
вляющие процессы будут одного и того же типа, рассмотрим отображение
А: {г](/), |
*}-> {!(/), 4> -v etf; ta < i < T . |
(1.1) |
||||
Будем говорить, |
что |
процесс |
КО = |
{К0> |
-'-'};се=/г |
|
эквивалентен |
процессу r\(t) = {r\{t), |
x}XIBR |
на |
интер |
||
вале t0 < t < T , если |
это |
отображение продолжается |
||||
до линейного ограниченного обратимого оператора А
из гильбертова пространства Н (т]) |
в гильбертово |
|||||||
пространство |
Я (|) и, |
кроме |
того, |
если |
разность |
|||
/ — А'А будет |
оператором |
Гильберта — Шмидта (на |
||||||
помним, |
что Н (г|) и Я (%) — замкнутые линейные обо |
|||||||
лочки соответствующих |
значений {г)(0> х} 11 (КО. |
|||||||
j c g K; |
t0< t < Т ). |
|
|
|
|
|
||
Как было предложено ранее (см. § 2 гл. II), при |
||||||||
условии, |
что |
А — о г р а н и ч е н н ы й |
линейный опе |
|||||
ратор, |
вместо |
исходных процессов |
КО и "КО. |
|||||
< t < |
Т, |
можно рассмотреть |
обобщенный |
процесс |
||||
|
|
|
К и) = Аи, |
и е U, |
|
( 1 . 2 ) |
||
« И |
|
|
ПОНЯТИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ |
|
|
|
101 |
|||||
на |
гильбертовом |
пространстве U — Н (г|), |
в |
котором |
||||||||
выделено |
семейство |
подпространств |
Ut = |
Ht (r|), t0 < |
||||||||
< t < T . |
Именно, вопрос |
об однотипности |
обновля |
|||||||||
ющих |
процессов |
для | (t) |
и |
r| (t) (на интервале t0 < |
||||||||
< t |
< |
Т) есть, по существу, вопрос о том, при каких |
||||||||||
условиях |
семейство |
подпространств |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ht($) = |
AHt(r\), |
tQ< t < T , |
|
|
(1.3) |
||||
будет изометрично семейству |
|
t0 < t < T : |
||||||||||
|
|
|
H,(Z) = |
XHt(rd, |
tQ< t < T , |
|
|
|
(1.4) |
|||
для |
некоторого |
и з о м е т р и ч е с к о г о |
оператора X. |
|||||||||
Было |
доказано |
(см. |
теорему |
§ 3 |
гл. |
II), |
что если |
|||||
корреляционный |
оператор |
В — А*А является |
обрати |
|||||||||
мым |
и, кроме того, |
разность |
/ — В является |
опера |
||||||||
тором |
Гильберта — Шмидта, то рассматриваемые се |
|||||||||||
мейства |
Ht(l) и |
Н/{ц), t0< t < T , |
будут изометрич- |
|||||||||
ными, |
а следовательно, обновляющие процессы для |
|||||||||||
исходных случайных |
процессов l{t) |
и i](0, |
t0< t < T , |
|||||||||
будут одного и того же типа. Таким образом, экви
валентные процессы %(t) и |
т)(/), |
t0 < t < T , |
имеют |
|
обновляющие процессы одного и того же типа. |
||||
Отметим, что |
поскольку |
А = |
ХВ112, где |
X — уни |
тарный оператор, |
и |
|
|
|
/ — (Л-')*(Л-') = / — Х В Х -' =
|
|
|
= X (/ — В) X ~l = X (/ - А'А) Х~' > |
||
то в |
случае, |
когда |
разность |
/ — А*А является опера |
|
тором Гильберта — Шмидта, |
оператором такого же |
||||
типа |
будет |
и разность / — (Л_1)*Л _ |. Таким |
обра |
||
зом, |
определение |
эквивалентности g {t) ~ ц (/) |
явля |
||
ется симметричным. Легко видеть, что оно также транзитивно и, конечно, рефлексивно.
Введенное выше условие эквивалентности хорошо
известно |
для г а у с с о в с к и х |
случайных процессов |
|
l(t) и ц {t), t0< t < T , когда |
оно |
означает эквива |
|
лентность |
(взаимную абсолютную |
непрерывность) их |
|
102 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
распределений вероятностей Pi и Р^ в том или ином функциональном пространстве *).
В связи с этим стоит сказать, что рассматривае мый нами вопрос о структуре обновляющих процес сов касается лишь тех свойств случайных процессов, которые целиком определяются их вторыми момен тами (корреляционной функцией), так что можно было бы, не ограничивая общности, считать эти про цессы гауссовскими.
Итак, имеет место следующее предложение.
Т е о р е м а . Эквивалентные случайные процессы имеют обновляющие процессы, одного и того же типа.
§2, Эквивалентность стационарных процессов
1.Постановка вопроса. Операторы Гильберта—
Шмидта в функциональном пространстве
Пусть £(() = {|(0 . -v}veR — стационарный процесс с ком
понентами {£((), .v}, ,i g R (R — параметрическое гиль бертово пространство), который мы рассмотрим на некотором интервале i0< ( < Т.
Обозначим fK его спектральную плотность. На помним, что /у — положительная операторная функция в гильбертовом пространстве R такая, что при всех
х, у ^ R
со
Е{£(0, |
|
|
J е'К'-'Ч/**, y)d%. |
||
|
|
|
|
оо |
|
Наряду |
со |
спектральной |
плотностью |
мы будем |
|
использовать |
и другую |
характеристику |
стационар |
||
*) Это условие эквивалентности гауссовских распределений |
|||||
было предложено Фелдманом |
(J. F e l d m a n , Equivalence and |
||||
perpendicularity |
of Gaussian processes, Pacif. J. Math. 8(1958), |
||||
699—708). |
Подробное изложение разных вопросов, связанных |
||||
с эквивалентностью гауссовских распределений, |
имеется в мо |
||||
нографии |
10. |
А. |
Р о з а н о в а, Гауссовские бесконечномерные |
||
распределения, |
Труды МИАН |
108, (1968). |
|
||
§ 21 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 103
ного процесса |
£(/)— его корреляционную функцию |
|
со |
B i( t ) = |
f eillfx dX, — оо<^<оо, |
являющуюся (слабым) преобразованием Фурье (слабо) интегрируемой операторной функции fK, — °о < Я< оо.
Пусть ц (/) = (г) (t), x)V(=R— другой стационарный процесс со спектральной плотностью gx и корреля
ционной функцией B,j(t) в параметрическом гильбер товом пространстве R. Спрашивается, при каких условиях на спектральные плотности fx и gx (или
на |
корреляционные |
функции B${t) и Bn(t)) процессы |
|
l(t) |
и |
т)(/) будут |
эквивалентными на интервале |
i0 < |
t < |
Г? |
|
Имея в виду изометрию
T,(/)W ' « g f
(см. § 1 гл. III), рассмотрим в гильбертовом про странстве L2(R) подпространства Н (f). и Н (g), ка ждое из которых есть замыкание соответствующих линейных подпространств всех функций вида }Ц2х (Я)
и g]l2x(X), где
х(Я) = 2 |
eMkXk, |
— оо < Я< оо; |
(2.1) |
||
именно, |
|
|
|
|
|
H (f)= |
V |
H(g) = |
V |
e ^ g f R . |
(2.2) |
t „ < t < T |
|
t „ < t < T |
|
||
Эквивалентность процессов £ (/) и |
r|(£) на интервале |
||||
t0< t < T |
означает, |
что отображение |
|
||
|
Л: |
g\[2x (Я) —>Щ 2х (Я) |
(2.3) |
||
есть |
линейный |
ограниченный |
обратимый оператор |
из |
гильбертова |
пространства |
Н (g) в гильбертово |
104 |
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ |
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ |
[ГЛ. IV |
|
пространство Н (f), а |
разность |
/ — А'А — оператор |
||
Гильберта — Шмидта *)• |
или иных |
условиях |
||
|
Прежде чем говорить о тех |
|||
эквивалентности, покажем, что всякий оператор Гиль берта— Шмидта в функциональном пространстве L2 (R) в некотором смысле есть «ядро» — факт, хорошо известный в конечномерном случае d im /?< o o .
Обратимся к гильбертову пространству S 2{R) всех операторов Гильберта — Шмидта в гильбертовом про
странстве |
R, определив скалярное произведение <р, |
||
i ji e S j |
(R) |
как |
|
{qp, ф} = |
S рф’ф= У, {феА, фе*} = |
|
|
|
|
к |
|
|
|
= 2{ф е*. е/}{фе/г, еу}, |
(2.4) |
|
|
k, I |
|
где еи е2, . . . — ортонормированиый базис в R. Хо рошо известно, что стоящие в правой части равен ства (2.4) суммы не зависят от выбора ортонормированного базиса в R и что пространство 52(R) яв ляется полным относительно «следовой нормы»:
I ф|2 = Sp Ф*Ф= 2 II <рек |р = 2 | {фбь e j р.
кк. I
Рассмотрим пространство всех измеримых опера
торных функций ф (Л, ц), |
— оо < X, ц < |
оо, в |
гиль- |
*) Отметим, что излагаемые ниже методы |
и результаты |
||
легко распространяются на операторные функции |
и |
«мед |
|
ленного роста»: |
|
|
|
ОО |
СО |
|
|
J 1яП2л1f\WdX < °°' |
J |Я|-2П||^|ИЯ<С0 |
|
|
при каком-либо п > 0, что соответствует случаю обобщенных стационарных процессов и процессов со стационарными при ращениями. В,место исходных функций х (Я) типа (2.1) нужно
лишь взять функции
Т
х (X) = J еШ с (0 dt,
^0
являющиеся преобразованием Фурье достаточно гладких функ ций с (/), — оо < / < оо, обращающихся в 0 вне интервала (/о, Т).
§ 21 |
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ |
105 |
бертовом пространстве R, удовлетворяющих условию
оооо
Ф(Я, ц) е 52{R) и [ [ |ф(Я, ц)|2dK ф. < оо, (2.5)
—ОО —00
определив в нем скалярное произведение формулой
оооо
(ф, ф ) = | J {ф(Я, ц), ф(Я, ]i)}dhd\i. (2.6)
— оо — оо
Это будет полное гильбертово пространство; обозна
чим его L2(R yiR ). |
|
|
L2 {R X R) |
||
|
Примером операторной функции ф(Я, ц) е |
||||
может служить функция |
|
|
|||
|
ф(Я, ц) = х0 (Я) X г/оМ> — оо < Л, р. < оо, |
||||
определенная соотношениями |
|
|
|||
|
ф(Я, ц)х = х0(Я) • {z/оЫ , х}, |
xe=R , |
(2.7) |
||
где |
А'о(Я), |
у0(Ъ) L2(R). Действительно, |
|
||
| Ф (Я, ц) \2= |
|| * 0(Л) |f S i |
{Vo(И), ек) f = |
II лс0(Л.) If ■II VoM IP |
||
|
|
k |
|
|
|
И |
|
|
|
|
|
оо |
оо |
|
оо |
оо |
|
J |
[ | ф (Я, ц) |2 dX dy, = |
J IUoWIP dx' J II г/oWlf ф . |
|||
— со |
— оо |
♦ |
— оо |
— оо |
|
Если a'j (Я), х2(1), . .. — некоторая ортонормированная система в функциональном пространстве L2(R), то система операторных функций
Фа/(Л, ц) = * а(Я) X-V/(,u), k , } = 1,2,..., (2.8)
будет ортонормированной в пространстве L2(R.~X, R),. поскольку'
{ф#/(*■»■.Н;)> Фр<7.(^ И)} =
={Xi (Я), Хр (Я,)} s {X , (ц), ек) ■ {xq (ц), ек) =
=[xl (Я), хв (Я)} • (хДц), л-„ (ц)}
106 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV
И
СО |
|
(ф//> Фр(?) |
| {ф|/ (А.,- ц), Фpq (Я, ц)} dk dii = |
= [ |
{.v; (Я,), хр(Я)} dX • J {х/ (ц), xq(ц)} dn = 0 |
— со |
— со |
при / ф р или / Ф q.
Более того, используя тот факт, что всякий опе ратор Гильберта — Шмидта есть предел по следовой норме «конечномерных» операторов *), можно пока
зать, что если |
оргонормнрованная система функций |
|||
.v, (Я), х2(Я), . .. |
п о л н а |
в L2(R), |
то соответствующая |
|
система |
операторных |
функций |
q>k j(Я, ц) = хк (Я) X |
|
X Xj (ц), |
/г, / = |
1,2, . . . , |
будет |
п о л н о й ортонормн- |
рованной |
системой в |
пространстве L2{R y s R) (это |
||
предложение нам не понадобится, и его доказатель ство мы опускаем).
Те о р е м а . Всякий оператор Гильберта — Шмидта
вфункциональном пространстве L2 (R) задается не
которым ядром ср(Я, ц) e |
i 2(/(X |
R)- |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
F — некоторый опе |
|
ратор Гильберта — Шмидта (в |
некотором |
подпрост |
|
ранстве / / s L 2(/?)). Это |
значит, что |
|
|
S l ( / ?.v4,.r/)P < c o |
(2.9) |
||
k. i |
|
|
|
для полной ортонориированной системы функций xk =
= xk{X), |
k = l , 2 ......... |
в пространстве |
H ^ L 2(R). |
|
Возьмем |
ортонормированную |
систему |
операторных |
|
функций |
|
|
|
|
фkj (Я, ц) = xk(Я) X |
х, (ц), |
k, } = 1,2, . . . . |
||
и положим |
|
|
|
|
|
Ф (Я, р) = |
2]йАуфА/(Я) ц), |
|
|
*) См., например, книгу Н. Д а н ф о р д а и Дж. Ш в а р ц а , Линейные операторы. Спектральная теория, М., нзд-во «Мир»,
J966.
§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ Ю7
где коэффициентами служат
b kj = ( F x k, х ,), 2 i bkj р < оо.
к, i
Ясно, что ф(А, ц) есть элемент (полного) функцио
нального |
пространства L2{R X R )' |
При |
всех |
к, j и р |
||
фkj (А, и) -'р (ц) == хк (^) ‘ {Х/ (мО> Хр (М1)} ^ |
н |
|||||
и |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
хк (А) |
при |
j = |
р, |
|
[ |
Фй/ (А, ,ч) Хр (l-1) dil = |
|||||
О |
при |
'1Фр. |
||||
— оо |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
Легко видеть, что операторная функция ф(А, ц) обладает следующим свойством: для всякой функ
ции х (А) = |
2 |
о.рХр(А) |
( 2 | |
ар |2 < °о) из пространства |
||
Н <= L2 (R) |
р |
|
\ р |
|
/ |
|
СО |
|
|
|
|
||
|
|
|
У] Cfe.v-p (А), |
|||
|
J |
ф (х, р) X (р) dp = |
||||
|
—оо |
|
|
k |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
с* = 2 |
Ярйрй, 2 |
1с* Р < |
2 |
I «р Р • 2 |
1ьк,12 < оо. |
|
р |
|
fe |
|
Р |
к, |
j |
Можно сказать, что оператор Ф, определенный в про
странстве |
L2(R) |
равенством |
|
|
|
|
|
фх (я,) = 2 |
скхк (A) |
(х (А) = 2 |
а/Х, (А)), |
||||
задается |
ядром |
ф(А, |
p ) ^ L 2(R X R ), |
и этот |
опера |
||
тор Ф совпадает с исходным оператором F, поскольку |
|||||||
Fx (А) = 2 |
ai ■ Fxi М = |
2 ai 2 |
(Fxl’ |
Хк М = |
|
||
1 |
|
|
/ |
* |
|
|
|
|
|
= |
2 ( 2 |
/ |
aibik\ Хк(А) = 2 |
ckXk W- |
|
|
|
|
к \ |
) |
к |
|
|
Итак, мы показали, что всякий оператор F типа Гильберта — Шмидта в функциональном пространстве
168 |
|
|
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ |
СЛУЧАПНЬ'ГЕ |
ЙРОЦЕСбЫ |
ГТЛ. IV |
|||||
Н ^ |
L2 (R) |
задается |
некоторым |
ядром <р (Я,, р.) е |
|||||||
e |
i 2(^ X ^ )> |
в именно, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ЙО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x (X )~ |
j" ф (Я, p),v(p)dp. |
|
(2.10) |
||||
В |
свою |
очередь, |
как |
легко |
видеть, |
всякое |
ядро |
||||
ф(Я, p ) g |
L2( ^ X ^ ) |
задает |
некоторый |
оператор F |
|||||||
типа |
Гильберта — Шмидта |
в |
пространстве |
L'2(R), |
|||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
оосо
|Г |2= S р = j J |ф(Я, ц)|24 Я ф . |
(2.11) |
В дальнейшем нам понадобятся еще некоторые свойства преобразования Фурье операторных функ ций ф(Я, р) е L2(R X R), определенного равенством
оо оо
b(s, t ) = J [ е~‘ |
ф (Я,, jli) dk dp, |
(2.12) |
—ОО —00 |
|
|
— оо < s; / < |
оо. |
|
В случае интегрируемой функции |ф (Я, р) J это |
||
обычный интеграл от функции со значениями |
в се |
|
парабельном гильбертовом пространстве S 2(R). |
В об |
|
щем случае преобразование (2.12) можно определить в смысле слабой сходимости. Именно, если выбрать какой-либо ортонормированный базис еи еъ ... в гиль бертовом пространстве R и рассмотреть обычное преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций {ф (Я, р)<?ь et), обозначив его {b(s, t)ek, <?,},
то |
окажется, |
что для любых линейных комбинаций |
||
л' = |
2 ^ е й, y = y i c"ej |
функция |
||
|
[b (s, |
t) х, у) = |
2 с'кс" |
[b (s, t) ек, |
совпадает с |
преобразованием |
Фурье {ф(Я, ц) а-, у), |
||
и потому мы можем рассматривать это преобра зование как билинейный функционал на всюду плот-