Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

$ 3]	ОДНА ТЕОРЕМА			О ФАКТОРИЗАЦИИ		59
В итоге получаем
S[G (I +	G+)] =	S(G) +	S ( G - G +) =
= %	\ 1 +	Q ikG Q t k ( / -		a . G Q , , ) - 1]	Q , f i Ы ) ,„ =
Я=з1
		= S	(/ -	QtkGQtУ	QtkG &Qtk=	G+.

Таким образом, оператор G+ получается «операцией усечения» оператора А = G (/ + G+):

S[G (/ + G+)] = G+.

Легко проверить, что

SM )" = 0

(3.8)

(ср. с (3.5)), и следовательно, спектр усеченного опе

ратора		G+ — S (А) состоит				из	единственной	точки
Х — 0, так что оператор ( / +						G+) является обратимым.
Если	взять		G_ =	S ' (Л) для		A =	G{I + G+), то	будем
иметь			G+ +		G_ =	G(/ +	G+)
			G+ +		G_ =	G(/ +	G+)
и
(/ -	G) (/ +		G+) =	/ +	G+ -	G (/ +	G+) =
					= / + G+ — G+ — G_ = / — G_,
откуда		находим
			(/ _	G) =	(/ — G_) (/ + G+)"’.			(3.9)
Подпространства Utk, k = 0,						1, ..., n -f 1, инвариантны
относительно усеченного оператора G+ = S [G (/ + G+)]

(cm. (3.5)), а следовательно, и относительно опера

торов / -f- G+, (/ + G+)-1. В	свою очередь, подпро
странства Utk, k = Q, 1 , . . . , и + 1 ,		инвариантны
относительно операторов G_ =	S' [G (/ +	G+)] и / — G_

(см. (3.6)). Таким образом, соотношение (3.9) дает

нам	факторизацию оператора В =	1 — G с помощью
С+ =	(/ + G+)~‘ и С _ = / —G_ относительно д и с к р е т
ной ц е п о ч к и Utk, t0< t i < . .. <		tk + 1 = Г (см. (3.2)).

60		РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ						[ГЛ. U
Выражение (3.7) для оператора					G+ =	Gl+ напоми
нает своего		рода	интегральную сумму,			и	если	пред
ставить себе, что			при все более		мелком		разбиении
/У= {о < 1	<	••• < t , i < t n+i =		T}	существует			пре
д е л ь н ы й	оператор G+ — lim			G+l),	то его естественно
			Л - > о о

было бы обозначить так, как это сделано в фор муле (3.3). Очевидно, если существует предельный (в смысле сильной сходимости) ограниченный опера

тор G+, такой,	что / + G+ имеет обратный оператор
С+ — (/ + G+)-1> ' то существует		также предельный
оператор
С_ =	lim В (/ + G(\|l)) =	В (/ + G-+)

/I - > со

иравенство В = С_ • С+ дает факторизацию отно

сительно полного		семейства U(, t0 < t < Т.
В самом деле,		всякий элемент и е		Ut есть предел
элементов U k^U tk при tk—>t — 0, и				потому
G+Uk=	Hm G!J!Wg		Ut, s U„ G+u =	lim G+uk s U,,
	л-»™		Л
так что	каждое	из	подпространств	Ut инвариантно

относительно операторов / + G+, ( / -f-G+)-1. Анало гичные рассуждения применимы к оператору С_ =

= lim	С{-	, где	С(!!) =	В (/ + G+0 удовлетворяет уело-
«->00
вию		Utk для любых tk из соответствующего
разбиения		у(,1) == {А <		*т < '• •. < tn < Т}.
Покажем теперь, что существует равномерный
предел	lim G+* =		G+	в случае, когда
				G = 1 — В
есть оператор			Гильберта — Шмидта		с	конечной
«следовой		нормой»:
\| G \|2 =	Sp G*G =		2 1\| Gup \|р = 2 \| (Gup, uq) f		<	oo (3.10)
			P	P,q

(где uu u2, . .. — какой-либо ортонормированный базис в гильбертовом пространстве U), причем, так же как

§ 3] ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ 61

и .операторы-		G+\ предельный оператор G+ имеет
лишь единственную			точку		спектра		Л =	0, так -что
оператор (/ + G+) будет о б р а т и м ы м .								.. -< 5^ <
Для любых разбиений у("‘>== {if0 <							а, <
< sm + 1 <	т) и	y(,l) =	{/0		.< tn < tn+v=T},				таких
чт0 y<m) s	у(,,)	(каждый		интервал		разбиения [s,-, s;+1)
совпадает	с	объединением			некоторых			интервалов
[t/, tj+ \)),	разность		G(+	— G+1’		можно		представить
в виде
Gw _ G(f		= \|	(Ftfit, -		Fsll)Qs in) G AQtj,
где Fi — (I — QtGQt)~\ a s(j)					обозначает левый конец
интервала	из	разбиения у(т),				содержащего			точку
(= y(fI> (Si <		t, < sif \|		при	s (j) — s^, — см.				фор
мулу (3.7).
Заметим, что для любых операторов А{
	2	A,G AQtj \|2 = 2			1AjG LQ,t f .				(3.11)

Это равенство легко получить, если выбрать полные

ортонормированные. системы						в о р т о г о н а л ь н ы х
подпространствах AQ^G =					Ul j + 10		Utj: j = 0, 1, . . . , n,
и взять	их объединение				и2, . ..		за базис во	всем
пространстве		U.	Действительно,				/lyGAQ//ifp = 0	при
j Ф j (р),	если	ир (= A Qlj		,	откуда		следует, что
	1 2	A j G	A Q ljU p \| 2 =		2	1 A , G A Q i^ p f
и
2 ^ /G A Q ,,Г = 2			2 AjG AQj Up
i	! \	p i				1
= 2	2 \ A j G A Q it Up f			=	2	[ 2 1 A j G A Q 4 u p f ] =

= ^ \ A j G A Q tjf.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. II

Кроме того, для любых ограниченных Ль Л2 спра ведливы следующие соотношения:

| Л^ЛаР = 2 I (Л,ОЛ2«р1 и,)р =

р. ч

= li\{AlG A\uq, « Р)|2 = |Л ^Л Г |2

р. ч

|Л.ОЛ2|2= 2 || Л 1ОЛ2«р||2<

< IIЛ , 1Г- • 2 II ga2upip= II л , I M ол 21 =

= ц л, ||2 - |л ; о |2< ||л ,|р - || Л5 IF • IG I2 =

= ||Л1||2 -||Л2|р .|С |2. (ЗЛ 2)

Используя соотношения (ЗЛ1), (ЗЛ2), легко полу

чаем,	что
\| G+1-	G(+m)\|2= 2 \| {F4Q4 - FsU)QsU)) G AQtj f =

=	S	\|(F t-F sU )) Qs (j)G AQtj-\-F tj ((Ъ - Q s (/>)G AQtj \|2<
		< 2 2		(	(FtJII	— FsU)) f IQI s			(/ 21, IG AQtj \|2 +
								+	\\Flj\f\AQs{j)GAQljf,
где AQs(l) =				Qt —Qs(I) (s (/')<//). Поскольку \|\|Qi(/)\|\|= l
и	Ц/7,	\|\|<1	y ~ ~		(см. неравенство (3.4)), имеем
					П
I g£> -		o r	I2 <		2 2	\\F4 -		Fs (/) f	\| G ДQ,,12 +
					/=1			ri
								ri
						+	T T	^ S l A^ ( / ) GA^ / l 2- <3-13)
								/=■
=	Согласно			общей			формуле (3.11)			функция X(At) =
=	\|GAQ/\|2		на		полуинтервалах				Д/ =	[/,	s) является
аддитивной.				Выбрав			собственный для				оператора G

§3]	ОДНА ТЕОРЕМА О	ФАКТОРИЗАЦИИ	63
ортонормированный базис		ии и2, . ..	\Gup = Kpup,
2 ^ р <	ooV имеем

р'

IG W tР =	\| AQfi Р = S		II AQtGup \|р =
		Р
	=	2 a*\|\|AQ,up\|\|2->0 при			t- + s,	(3.14)
		р
поскольку	проекторы		Qs	непрерывны	слева:	A Q ,=
= Qs — Qt—>0		при t- + s,		и для любого фиксирован
ного элемента		u ^ U	его проекция		AQ(« на под

пространство	AUt — USQ Ut такова,	что \|\| AQ^« \|\|—> 0.
Таким образом,
	A(A0 = \|GAQ,P
является не	только аддитивной, но	и непрерывной

функцией множеств At = [t, s) и, следовательно, может быть продолжена до ограниченной борелевской меры

на интервале [£0, Т).

Очевидно, такими же свойствами обладает и функ

ция множеств
			Ц (As X АО =			\| AQSG AQ, р,
определенная на прямоугольниках							AsXA ^ =		[s!, s2)X
Х[0> 0); именно,				из общей формулы (3.11) вытекает,
что	h (As XA/) аддитивна,					а из	оценки (3.14) — что
она	непрерывна,			и следовательно,				продолжается до
ограниченной			борелевской			меры на квадрате			[70> Г)Х
X to. п			f(t)	=	ц {[to, t)	X [f0, 0).			„	„
Положим								t0 < t < T .		Для
операторов		Ft =		{I — Q,GQt)~l имеем
			FT1— FT' = QSGQS — QtGQ„
	\FT' - F r l f = f ( t ) - f { s ) ,
IF , - F 3f =		\Ft (FT1- F F ') F s \2<
		< T r h r			\ F° l ~	F tI2=	Tr=TFF[f		— / («}].
Видно, что		первый			член в	правой	части неравенства

64 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. II

(3.13) удовлетворяет условию

ТуTYllf(t,)-f(s(j))] =

/= 1	/=I
	([ _ry Uп	1т)>
' т	п
где /,„ = S f (s (0)А, /и =	S / (0)я (АО) есть	«лев0‘
i=0	/=о

интегральные суммы» для неубывающей функции f(t),t0< t < T . Очевидно, последовательность интег ральных сумм п = 1,2, .. ., является ограниченной и неубывающей (при все более мелких разбиениях),

так	что существует Пт /„				и,	следовательно, при
т ,	/г —> оо		П-¥оо
т ,	/г —> оо
	Ъ 1F4 - л m ГI			I* «	Т г Д й <'» -		Щ -> О-
	/= 1	введем	множество
	Далее,	введем	множество
		Дл =	{s,	s <	/ <	s + /г).
				П
Очевидно,		объединение		и [s(j),tj)X [tj,			ti+i) содер-

/=|

жится в Дл при/г = max| s,-+1 — s, |, когда 0+i — s (/)<//.

Следовательно, для второй суммы в правой части не равенства (3.13) справедлива оценка


	2 \| AQS U)G &Qtj \|2 < ц (ДА) -> 0				при /г -> 0.
Из полученных оценок вытекает,					что для последо
вательности		вложенных друг в друга разоиении у<")
п =	1, 2, . .,	соответствующие операторы					Мп)		таковы,
							G+
что	Ig! ^—■ Gj"1* \|2 > 0 при		п,	т —.> оо,			и	следова
тельно, существует предельный оператор							G+:
	\| G^’ — G+ \|я -> 0		при	п -> о о.					(3.15)
Нам осталось показать, что предельный опера
тор	G+ имеет, как и операторы			G{+ =		S (G			G{+))
(см.	(3.8)), единственную точку спектра					А =		0.

J 3 ]	ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ	6 5
Являясь	вполне непрерывным оператором (н даже
оператором	Гильберта — Шмидта), G+ может	иметь

лишь не более счетного числа точек спектра, причем предельной для них может быть лишь точка Я= 0. Таким образом, всякая точка ЯФ 0 имеет окрест ность, за вычетом Яцеликом принадлежащую резоль вентному множеству оператора G+, и на любом замкнутом контуре Г этой окрестности определена

резольвента	Rz =	(G+ — zl)~l,	которая непрерывна и
ограничена	на Г.	При условии	р а в н о м е р н о й схо
димости G+'1—>G		для всех достаточно больших п
R f = (g!? -	zl)~' = Rz[l — Rz (G+ -			G f)}~1=
			=	fc=0 Rz(G+ — G{+ )k
и Rzl)—> Rz	при n —> оо равномерно			по г е Г , так что

f zkRz dz — lim [ zkR{ ) dz — 0 при всех /г^О ,

поскольку единственной особой точкой аналитических

функций	Rzl) является	2 = 0 и J zkR{z)dz = 0. Таким
	J zkRzdz = 0,	г
образом,	J zkRzdz = 0,	что означает аналитичность Rz

в точке Я. Следовательно, единственной точкой спек

тра оператора G+	является Я= 0.
В итоге мы установили, что положительный обра
тимый оператор	B = I — G,		где	G есть	оператор
Гильберта — Шмидта (см.		условие (3.10)),			допускает
представление В =	С _ -С +	типа (3.2); в качестве С+
можно взять оператор С+ =		(/ +	С+)-1, где G+ =			lim G+*
есть предел по «следовой		норме»		операторов		Гиль

берта — Шмидта G+l), определенных формулой (3.7). Отсюда, как уже отмечалось, вытекает возможность факторизации относительного любого семейства под пространств Ut, tQ< t < 7’.

3 Ю. А. Розанов

Г Л А В А

III

РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

§ 1. Структурный тип регулярного

стационарного

процесса

Обратимся к описанной ранее модели стационар

ного

процесса

£(/), — о о < /!< о о , со

стационарно

связанными

компонентами

(t),

л},

х е

каждая

из

которых

соответствует

некоторому

х е

где

R — сепарабельное гильбертово пространство

со ска

лярным произведением

{л\ у},

.v,

у е

Будем

счи

тать,

что

существует

спектральная

плотность

— оо < Я < оо,

— измеримая

операторная

функция

гильбертовом

пространстве

(при

фиксирован

ном Я представляющая собой положительный опера тор в R) такая, что

		оо
Е й ().}	■ {!(*), у } =	j	е *	у] dk =
	\|' e W - *> {ffx ,flfy }c lK			x .y m R ,	(1.1)
где /[/2 обозначает		«квадратный корень» из fh,			точ
нее, f'ji2,	— оо < Я< оо, — операторная функция, удо
влетворяющая условию			—

Введем гильбертово пространство L2(R) интегри руемых в квадрате функций .с(Я), —оо < Я< со, со

§ п СТРУКТУРНЫЙ ТПП 67

значениями в			R,	определив		скалярное			произведение
в L2(R)		равенством
	(*,		со
		у) =	J {х (Я), у (Я)} dX,				х,	y e= L 2 (R).
		—ОО
Формула (1.1) показывает, что отображение
	{I (/), .V'}		eiUfH2x,		х е	R-,	— оо < / <			оо, (1.2)
является		п з о м е т р и е й из				Я (\|)	в L2 (R).			Поэтому,
рассматривая			такие вопросы, как,					например,			вопрос
о структуре семейства					подпространств				Я, ((f),		— оо <
< t <	оо	(Я, (ё) есть замкнутая					линейная			оболочка
всех	значений		{£ (s), .v}, х е R-, s ^ i ) ,						можно		вместо
самого стационарного					процесса
		(К t), х},		х е К ;		— оо <		t <	оо,
использовать			изометричную			ему		функциональную
модель

{еш ^ 2х, — о о < Я < о о |, х<= R; — оо <Я < оо,

в гильбертовом пространстве L2{R). В этом смысле семейство Я ,(4), — о о < / < о о , имеет ту же струк туру, что и семейство подпространств

Ht = V easfH2R, — оо < t < оо	(1.3)
S

(Я/ есть замкнутая линейная оболочка подпространств

easfH2R s L2 (R),		и т. п. Положим
	Я =	V	easf\i2R.	(1.4)
		—см < S < со
Обозначим Рi оператор проектирования в про
странстве Я на	подпространство Я, и Я, — у н и т а р
ный оператор	умножения		на функцию еш	от Я,
— оо < Я < оо.
Очевидно,
E uHt =		V е'М.+«)/1/2/г = я „		(1.5)

3 *

РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. III

при всех и, t. Поскольку оператор Е„ унитарный,

также имеем E J i i — Н^+и (где Я/1 = Я © Я * обозна чает ортогональное дополнение к подпространству Я,). Таким образом, для любого элемента л е Я,|+ц имеем


	Е - их <= Я,,			PtE_ux = Я_ц.г,			ЕиР,Е_их = х,
а	для	.г е= Ht+u
		E - ux^H t~,			PtE-ux =	0,	EuPtE - ux — О,
откуда		видно,	что		произведение		EaPtE_u совпадает
с	проектором		Р/+„.		Учитывая, что Е - и = Ей1,			полу
чаем следующее				равенство:
		Pt+U =		E uPtEu',		— о о < ( < о о .		(1.6)

Оно, по существу, равносильно условию (1.5), по скольку при всех I, а

Pt+u СEuHl) =			Ell (Р/Я/Х) =			О
и
EuH t — Я<+и,	Я,1 =		(EuHt) =			E-uHt+u,
откуда (заменив параметры /, «				на £ +		м, — «) полу
чаем также, что Я\|+„		^ ЯнЯ(Х,		и следовательно,
ЯиЯ*1 =	я/'+н,		EuHt =		Ht+u-
Соотношение (1.6)		показывает,			что семейства		Я,
ы Я /+и, — оо < t < o o ,		изометричны				при любом	и,
— оо < к .< оо (см.	§ 1	гл.	II).
Ясно, что если Р, (<) > Р2 W )>				■ • •		Р,и W — упоря

доченная система структурных функций для семей

ства проекторов	Р(, — оо < t < оо,	то F t(t— u))>
> Р 2(^— ы)]>- •••	F м(* — ы) будет	аналогичной си


стемой для семейства Р1+и,			— оо < / < оо, и поскольку
семейства	Ht и	Я /+ц, — оо < t < оо,			изометричны,
структурные функции F t (f)			и	F j(t — и) должны		быть
одного и того же типа:
dFt (t) ~		dFj{t — и),		/ = 1, . . . ,	М,	(1.7)
при всех	ц, — оо < и < оо.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб14Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб41Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб3Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf