Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§ П ВВЕДЕНИЕ 9

помним, что Р, обозначает оператор проектирования


на подпространство Н,(%)).	Если	Н {Х\) Ф Н (Q, то
выберем затем какой-либо	элемент х2е Я ( 4 ) , орто
гональный подпространству	Н (X ,),	и определим про
цесс с некоррелированными	приращениями		X2(t) =
= Ptx2, tQ< t < T . Поскольку подпространство			Я (А,)

и его ортогональное дополнение инвариантны относи

тельно проекционного	семейства Pt, t0 < t < Т,	про
цесс X2(t), t0 < t < T ,	будет некоррелирован с про
цессом А, (7), t0< t < T .	Если Я (А ,)© Я (Х2) ф	Я (4),

то выберем следующий элемент х3, ортогональный

подпространствам Я (А)) и Н (Х2), и определим про цесс с некоррелированными приращениями А3(^) = = Ptx3, t0< t < Т, который будет некоррелирован с X, {t) и X2(t), i0< t < T . Аналогичным образом выбирая по следующие элементы хк\

xk ± ® H ( X k),

/=1

мы в конце концов исчерпаем все пространство Я (4), получив некоррелированные между собой процессы

X, (/) = P,Xj, t0< t < T ; j = 1.........М, (1.4)

с некоррелированными приращениями (их число М

может быть бесконечным). Очевидно,					X (t)={X
t0< t < Т ,		является обновляющим процессом для %(t),
t0< t < Т,		поскольку	Pt+hXj — PtXj _L Я, (4) при				h >	0
ii система величин Psxjt t0<				s ^ .t, Pt+hXj—Ptxr			h >	01
j — 1, . . . ,		M, полна в Я (4),		так что система величин
PsXj, t0<	s ^ i ; j — 1,		. . . , M, полна в		Я,(4)>	и,	таким
образом,		Я,(А) =	Я4(\|),	t0< t <	т.

Если	ввести гильбертово пространство С всех век
торных	фуНКЦИЙ С (t) = {Сj (i)}^, t()^ .t< T ,					с число
выми компонентами			Cj(t),	t0^ t < T ,	удовлетворяю
щих условию
		т м
		j y ^ l C j i O P d f j i t X o o ,					(1.5)
		U /=I

10 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I

со скалярным			произведением
т м
f	с ц (0 с2/ (0			dFj	(/);		{cjy ( / ) } ,\		[c2j{t))f ^ С ,
to	/ = 1
где		F,(t) =		E \ X ,({)?,				t0< t <		Т,
		F,(t) =		E \ X ,({)?,				t0< t <		Т,
— соответствующие				структурные функции обновляю
щего	процесса		X (t)=		\Хj(t)}f,			t0 <	t <	Т (см. (1.3)),
то можно		описать		пространство Н (\|)						как совокуп
ность	всех	величин		вида
				т		Л1
				1 2 ^ ( 0 <**/(/>,							(1-б)
				и	/=I
где (су )^ еС ,			и, очевидно,
				t		м
			рЯ = l		y£ i cI (s)dXl (s),						(1.7)
				to	/=1
поскольку		Н (X) =		Н (ё)		и	Я, (X) =		Н, (Q.		Видно, что
подпространство Я ,(£) =						Р,Н (X)		состоит из всех вели
чин вида		t	м
		t	м
		j	Yi cj (s)dX l (s),					{Cj (s))Jvl e			C,
		to	/ = 1

и, имея в виду унитарный изоморфизм г| •<-> {с ,(s))^, можно сказать, что семейство Я, (|), t0< i < Т, того же типа, что и семейство подпространств Ct, t0< t < 7, ка ждое из которых образовано функциями { ^ ( s ^ e C ,

обращающимися в 0 при		s >	/ (для	соответствую
щего /).
Формула	(1.6) в применении к значениям рассмат
риваемого процесса l ( i ) =		% (/))"', t0< t		< Т, дает так
называемое	каноническое представление
t	м
1<(0 = J	s)dX j(s),		/ = 1,	. . . . m, (1.8)
to	/=1

§ П ВВЕДЕНИЕ 11

которое	позволяет	описать	проекционные			опера
торы Р„	t0< t < Т,	в пространстве		И (\|):
	и М
Puh(t) =	j	s)dX j(s),	i =	1,	/п,	(1.9)

и/=1

при t0^ u < t < Т.

С точки зрения приложений, по-видимому, наи более важным следует считать вопрос об эффектив ных методах построения линейных преобразований, связывающих процессы l(t) и X {t),— в частности, эффективных методов построения канонического пред ставления (1.8). В теоретическом плане большой

интерес		представляют и вопросы		о том, как	опреде
лить	тип		обновляющего процесса X(t) =		\Xj (<)}Л\|,
t0< i	<	Т,	или как сравнить его	с некоторым задан

ным типом, зная корреляционную функцию исходного

процесса £(/) =		{!,• (0}”\ t0 < t < T .
Особый интерес к этим вопросам возник после
одного примера Г.			Крамера *), показавшего, что обно
вляющий процесс для				о д н о м е р н о г о			н е п р е р ы в
ного п р о ц е с с а			\| (t), t0< t <			Т, может быть,			вообще
говоря, п р о и з в о л ь н ы м .					Отправляясь от заданного
обновляющего		процесса			X{t) — (X /00)f,			t0< t < T ,
произвольной		структуры (с произвольными						структур
ными	функциями		/■ /(/) =		Е \| Xj {t) \|2,		/ =	1,	. . . , М)
соответствующий процесс £(0,						t0< t < T , может быть
построен следующим				образом.
Пусть Ау, / = 1,			...,	М, — непересекающиеся между
собой	измеримые		множества			на интервале			(t0, Г)>
м
( J Ау =	(<0, Г) (mod 0), обладающие тем свойством, что

/=л

пересечение каждого из них с любым интервалом (s, t), t0< s < t < T, имеет положительную меру. Определим

и н т е г р и р у е м ы й п р о ц е с с \{t), t0< t < T , над.

*) Н. С г a m ё г, Stochastic processes as curves in a Hilbert space, Теория вероят. и ее прямей. IX, 2 (1964), 193—204.

12 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ 1ГЛ. I

лежаще	выбрав	функцию	a ( i ) > 0	и положив k(t) =
= а (t) Xj (t) при		l e i , ,	j = 1, . . . ,	M.	Рассмотрим
	t
l ( t) — \|	\| (s) ds. Очевидно, Ht(£) s			Ht (X)	при всех t,

причем Xj(s) совпадает с производной £'(s) для почти

всех	s e i j ,		и	поскольку g '(s)e tf,(g )				при
а множества			Ау	всюду плотны в интервале					(t0, Т) и
процессы		X j{s)		непрерывны слева,		то	I	( ( s ) e / / ,g )
при	всех			так что	Н ,(Х )^ Н ,{1)		и,		следова
тельно, X (t)			является обновляющим процессом для
н е п р е р ы в н о г о п р о ц е с с а \| (/), t0<							t <		Т.
Приведем один из примеров такого типа множеств
А], Д2, ■ • •					множество	интервала / =
Пусть		/ \ — канторово
= (ф, Т),		получающееся			последовательным				выбрасы
ванием «смежных» интервалов /щ;						/щ,	/3/1; l\/s, h/s,
/5/s,	h/s и т. д.,			которые выбираются так,				чтобы мера
			ц (К) = ц (/) — 2 Р (/а) =			/».
					а
где	m >	0 — заданное число (//г ^ ц (/)).
На каждом смежном интервале/и, «первого класса»
возьмем		свое	канторово		множество	Ка<		меры т а,,

которое получается выбрасыванием из /а, смежных

интервалов /а„ а, (а,	пробегает двоично-рациональную
последовательность	1/2, 1/4, 3 /4 ,...). Положим

К 0> — { J Ка,- Далее, на каждом смежном интервале/а1Па

а,

«второго класса» возьмем снова канторово множе

ство Ка.а, меры /Па,о,. получающееся		выбрасыванием
из /а,а.	смежных ИНТерВЭЛОВ / а,а2а,.	ПОЛОЖИМ /<'(2) =
= U	Продолжая эту процедуру последова-
Ql, Ч2

тельно для всех смежных интервалов h x ... „ и пола

гая К{п)=	( J Ка1 ... ап, мы получим последова-
а 1	........а п

тельность	н е п е р е с е к а ю щ и х с я множеств К(0)—К,
/С(\|), К{2),	• ■ •, Юп).........	Предположим, кроме того, что

§ 1]				ВВЕДЕНИЕ			13
§ 1]
			СО			со
объединение			( J 1С'1) имеет полную меру:			2 ^ ( ^ ('1)) =
			,1=0			п=0
= \|j,(/) (этого			можно добиться, выбрав			надлежащим
образом		меры т а, . . . а „ > 0			отдельных	каиторовых
компонент Ка{ ... а„).
Напомним, что канторово множество Ка,							... ап
нигде	не	плотно		в /а, ... ап и всякий интервал			6„ Е
^ / а	... а	имеет		непустое	пересечение	с некоторым

смежным интервалом следующего класса /а, ... а,(а,1+|.

Возьмем любой интервал (я,			й ) е /	и	рассмотрим
вложенный	в него	интервал	(а', Ьг),		а' = а + в\
b' = b — е.	Как было	отмечено,	(я', Ь')	имеет непустое

пересечение с некоторым смежным интервалом /а,; положим 6 , = (а', Ь')[\1а,- Интервал б и м е е т не пустое пересечение с некоторым смежным интерва


лом 1а,1а5; положим 62 =				61 П/а,а3Уже ясно, что интер
вал (а',		b') при любом		«	имеет непустое пересечение
с	некоторым		смежным		интервалом 1а{ ... а . Но
р (/а, ... а„)-^ 0 ,			и при		достаточно больших « (для
которых		р (/а, ... а„) < е)			соответствующий	интервал
/а	... ап,	пересекающийся с интервалом (я +				е, b — в),

целиком входит в первоначальный интервал (я, Ь).


Итак, всякий	интервал (я, b) s			/	для всех достаточно
больших « содержит		некоторый			смежный интервал
««-го класса» Iaj ... а ,		а	следовательно,			содержит и
множество	К(п) с /а[ ...		а	положительной меры
р (K(rt)) = mUl).	Разобьем		теперь		последовательность
целых положительных чисел « =					0, 1, . . .	на счетное

число непересекающихся подпоследовательностей пи,

«,2, . . . ; «21 > «22> • • • ; • . . и положим

оо

	Ар = ( J	К^'1рч'*’	Р =	1 , 2 , . . .
	9=1
Очевидно,	всякий	интервал	(я,	b) s / содержит при
достаточно	больших q множества К^Пр^ положитель

ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. I

ной меры т^ прч\ так что ц ((а, Ь) П Ар] > О

для всех р — 1, 2, . ..

§ 2. Структурные типы и подчиненные процессы


	1. Некоторые		вспомогательные			предложения *).
Пусть		t0 < t < T ,		— семейство		монотонно	воз
растающих		непрерывных слева			подпространств		//,(£)
в	сепарабельном		гильбертовом		пространстве		Н (£),
и	Pt, t0< t < T ,		— соответствующее			семейство	про
екционных		операторов		(Р<— операторы ортогональ
ного проектирования на #,(£), t o < t < T ) .
	Возьмем	произвольный элемент				х е Я ® и рас

смотрим замкнутую линейную оболочку всех величин

Р/Х, t0 < t < T ,	обозначив ее Н (х).			Подпространство
Н (.у) состоит из всех		величии вида
		т
	Л =	/	Ф (0 с1Ф (/),	(2.1)
		*0
где <fr(t) = Ptx,	t0< t < T ,		а функция <p(t) удовлетво
ряет условию	г
	г

J I ф (0 I2 dF (t) < оо

{F(t) = Е| Ф (t) |2 — структурная функция процесса с не коррелированными приращениями Ф((), t0 < t < T ) .

Пусть у е Я ( х ) . Согласно общей формуле (2.1) величина у представима в виде стохастического интеграла

	т
У =	{ 4>ух (0	(0.
*) По существу, здесь в основном излагаются хорошо
известные факты теории	«спектральных	типов»	(см., например,
обзорную статью А. И.	П л е с и е р а и В.		А. Р о х л и н а,
Спектральная теория линейных операторов,			Успехи матем.
наук I, 1 (II), (1946)).

§2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЁННЫЕ ПРОЦЕССЫ

так что

Pty =

qdOv(s),( s )

k < t < T,

и структурной функцией

процесса

lF (t) =

Pty, tQ<

< t < T ,

будет

G (0 =

E | 4' (t) P =

I <9JX,

(s) f dF (s),

t0 < t < T .

Как

мы

знаем,

пространство Н (у)

состоит из всех

величин вида

11 =

J Ф(0 d'Y (t) =

J ф (0 % х (0 йФ (0,

J I Ф (0 I2 dG (0 — J I Ф (0 Фул: ( 0 12 ^

W <

00•

Обозначим Д

н о с и т е л ь меры dG{t). Очевидно,

ф (0 d'F (/) =

ф (0 d'F (t) = J

ф (t) q v (t) d<S>(0.

Поскольку dG (t) = |

q)y.v (t) j2 dF (t),

to <$lJX(t) ф 0 почти

всюду на множестве Д, и,

положив

q)(/) =

ф (t) q>yx(t)

при

t е

Д, получим, что

пространство

Н (у) состоит

из всех

величин

вида

T ,=

Jq>(0 **>(*),

(2-2)

где

J | q)(0 12d.F(t) <

оо. Полезно отметить,

что в слу-

чае,

когда меры dG (t)

dF (t) э к в и в а л е н т н ы

dG ~

dF, Д есть одновременно носитель меры dF(t) и

имеет место

равенство

Н{у) = Н{.к).

16	ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ						[ГЛ. I
	Обратимся теперь к некоторому обновляющему
процессу X (/) =		{Xj (/)}''',		t0 <	/ <	Т,	определенному
соотношениями типа (1.4):				Xt {f) =		Ptxt, / = 1, . . . ,		М,
где	элементы	лу	выбраны		таким		образом,	что
X, (s) _L Xk{t) для			всех s,	t при j ф k,			так что
				м

Я ( 1 ) = ® Я(лу).

у= 1

Поскольку каждое из ортогональных между собой подпространств Я (лу) и н в а р и а н т и о относительно

проекционных операторов Р(,		tQ< t < Т, для всякого
элемента г / е Я (\|)	имеем
	м
Р,у =	0 Р,Ук,	t o < t < T ,
	k—\

где ук— проекция у на соответствующее подпростран

ство Я (лу.),	k =	1........ М.		Мы знаем, что структурные
функции Gk(У) =		Е \| Р/ук \|2		абсолютно		непрерывны от
носительно	соответствующих				функций Рк =		Е \| P,-.vfc \|2,
t0< t < T ,	и, следовательно,				структурная		функция
С(У) = Е\|Л //12,
	<?(*)= 2		G*(/),		t0< i <	Т,
		k=\
абсолютно	непрерывна относительно					функции
		м
	^ * ( 0 = 2		o\Fk(t),		t0 < t < T ,		(2.3)
		/ г =	i
где постоянные		а,,	о2, . .. выбраны			так, чтобы схо-
дился ряд	м		(очевидно, F* (t) = Е \|				Р,х* \|2 при

мV

х* = 2 акхкJ . Мы видим, что все возможные «струк

турные типы» dG (/) абсолютно непрерывны относи тельно некоторого максимального структурного типа dF' (/).

Пусть Я — некоторое подпространство, ннва- р и а н т и о е по отношению к семейству проекционных

операторов Pf,	t0< t < T . Назовем элемент	х е Я
максимальным	в Я, если для любого г / е Я	струк

§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

турная функция G (I) — Е | Р,у р, i0 < t < Т, абсолютно непрерывна относительно структурной функци.и F(t) =

=	E \ P txf ,	t0< t < T (G {t) < F(t)). Как было факти
чески показано выше, максимальный			элемент .т е Я
с	максимальным структурным типом dF (t)			всегда
существует (см. (2.3)).			элемент	в про
	Пусть	.V, е Я ® — максимальный

странстве ЯШ и Я1(0 = Е| PtX] |2, i0< t < T . Пусть х2— максимальный элемент в подпространстве Я (£) @ Я (х;)

f 2(/) =

Е | Р,х2р,

t0< t < T .

Вообще,

пусть

xk —

максимальный элемент в подпространстве

Я (1 )0

L/=i

Fk(f) =

E\P,xh ?,

t0 < t < T ;

k =

\ ,

Очевидно,

обновляющий

процесс

X {t) =

{J>f(/)}f,

t0 <

l < T,

компонентами

Xj(t) — PtXj,

t0< t < T\

j — 1, . . . ,

M, будет иметь структурные функции Fj(t),

t0< t < M ,

у п о р я д о ч е н н ы е

в том

смысле,

что

dFl (f)> d F i ( i)> . . .

> d F M(t)

(2.4)

(т. е. каждая

из мер

dFj{t)

абсолютно

непрерывна

относительно

предшествующих

d/7, (/), . .. ,

d F j-x(t)).

Ниже мы покажем, что упорядоченные структурные

типы

(2.4)

определяются

однозначно

по семейству

Я,Ш,.

t.0 <

t <

Т;

точнее,

для

любого обновляющего

процесса

Г (/) =

{F, ( ^

(Я,(У) = Я,(£),

f0 < t < Т)

с упорядоченными структурными

функциями

Gk(t) =

= Е|Кд.(/)12,

t0 < t < T

(т.

е.

такими,

что

rfG, (t) )>

> d G 2(t)>

. . .

dGN(/)),

N =

(2.5)

dGj (t) ~

dF j (t),

j =

1, . . . ,

(соответствующее число M обычно называют крат

ностью).

Будем

для краткости говорить, что

мера

dG (t)

подчинена

dF (t),

если

она

абсолютно

непрерывна

относительно меры dF (t):

dG (t) <( dF (i),

и dG(t)

орто

18	ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ	[ГЛ. I
гональна	dF(t), если эти меры имеют непересекаго-
щиеся носители: dG(t)LdF(t).		огра
Пусть	dF(t) — произвольная положительная

ниченная мера на отрезке [/0, Т), подчиненная макси

мальному		структурному типу				dF* (t) ~	dFx(t).	Суще
ствует	элемент		x e //( g )	со		структурным		типом,
в точности		равным dF (t),		т.	е.	такой,	что
			<
		Е \|Р ,Х 'Р = J dF(s),				t0< t <	Т,
например,		можно взять
			т
где,	напомним,		F, {t) =	Е ]	Z, (t) \|2 — максимальная
структурная функция (см.				2.4)). Очевидно, все					эле
менты	г/еЯ (£ ) со структурными типами dG{t),								под

ч и н е н н ы м и dF (t), образуют линейное	подпрост
ранство, которое инвариантно относительно	проекто

ров Рt, tQ< t < Т.

Рассмотрим систему элементов у{, уъ ..., г/„еЯ (£) с одним и тем же структурным типом dG (t), такую, что подпространства Н (ук), порождаемые величи

нами Р{ук,	t0 < t < T ,	ортогональны	при различных
k = \ , . . . ,	п. Систему	г/,, . . . , уп	назовем макси

мальной, если ее нельзя расширить; точнее, если не существует элемента //е Я (£ ), ортогонального под пространствам FI{yk), /г = 1, . . . . п, и имеющего своим структурным типом dG(t). Очевидно, макси мальная система существует.

Л е м м а	1. Если г/,, . . . , у,п— максимальная		си
стема, а у[,	. . . , у'п — некоторая система	с тем	лее
структурным	типом dG(t), то
	п^.пг.	(2.6)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Предположим сначала,			что
	m

подпространство L = ® Я(г/у) совпадает со всем про

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб13Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб38Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб2Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf