Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

§ %

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

109

ном в R подпространстве R всех линейных ком бинаций вида .v = 2 cfce&- При этом

со оо

[ J 2	\{b(s,		t)ek, ey}\|2d s * =
— 00 — со	^
		СО	00
=	- J	f	J	I (Ms, ^)еь		ey}\|2rfsc?^ =
	k , / — OO		— oo
			CO	oo
=	4n2 ^		[	J	\|{ф(Я,	ц)еь e,}\2d ld p =
		k , I	— OO	- o o
		OO 00
= 4л2		f	J	5 ]\|{ ф (Я,		\i)ek, e ^ f d l d p ^
		—OO—00		k, i
					OO	00
				=	4я2 \|	J \|ф(Я, p)\|2 dX dp < oo,

откуда видно, что

t)ek, e,}\2< oo п. в.,

ft. /

и следовательно, билинейный функционал {6(s, t)x, у} задается некоторым оператором b(s, t) типа Гиль берта— Шмидта (в пространстве R). Как оператор ная функция b(s, t) принадлежит функциональному пространству L2(R X R )-

ОО 00 оо оо

J J \b(s, Ol2 d sd t = 4n2 [		J	\|ф(А., ц)\|2 d% dp <	oo.
—OO —OO	—OO —00		(2.13)
			(2.13)
Операторную	функцию b(s,	t),	— oo < s, t < oo,	мы

и называем преобразованием Фурье от ф(А, ц ) е
<=L2(R X R ).	,	ч
В свою очередь, операторная функция	ф(А, ц)
может быть получена из операторной	функции

п о ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

b(s, t ) ^ L 2(R X R ) с	помощью	обратного	преобра-
зования Фурье:
с о	с о
<р(А, ц) = 4 л2	Г ем	b{s , t)dsdt,	(2.14)

— оо < А, (.1 < оо.

Используя хорошо известные свойства преобразова ния Фурье скалярных функции, легко убедиться, например, что если для некоторого натурального а

о о	о о
J	J	( 1 + А . 2 ) я ( 1 + ц Т \| ф ( А ,	ц ) Р ^ ф	<

то операторная			функция			b(s,	t) имеет все (слабые),
производные до			порядка п — 1				по каждому перемен
ному, причем
fik+m		t) =
b(s,		t) =
d skdtm
		ОО	с о
			(— i%)k (ip)"1e~l					ф (a, p) dX dp,
и, более	того, функция						g2tn-l)			t) ao-
и, более	того, функция				c(s, t) — —— ,——rb(s,					t) ao-
							dsn	dt
солютно	непрерывна			относительно лебеговой						меры
d sX d t	в	том	смысле,			что	аддитивная		функция
множеств
m (Д) =		с (s2, t2) — с (s2, t,) — с (s„ to) + с (sb ti),
			Д =	(S \|,	So] X ( ^ l . to],
представима в виде интеграла
			S j	f 3		Э2п
		т ( Д ) = = \|		^		Э2п		ds dt
		т ( Д ) = = \|		^	---7Г~ТГ t>(s, t)			ds dt
			S\	tx	ds' dtn
			S\	tx
от функции, которую				мы обозначили				d~!l	b	(s, t),
от функции, которую				мы обозначили				-------	b	(s, t),

ds dt

являющейся преобразованием Фурье операторной

§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 111

функции ф (Я,			д) = (— /Я") (г'д)'1ф (Я, д) е					L2 (R X		R) и>
следовательно, удовлетворяющей условию
					b{s, t)		ds dt <	оо.		(2 . 16)
				dsndt'
С		другой	стороны,		если		операторная		функция
b (s,	t),	скажем,		является		ф и и и т и о й :			b (s,	t) = О
вне	некоторого			квадрата		t0 <	s; t < Т и имеет про-
изводную д~л „				b (s, (),	удовлетворяющую				условию
		as	at
(2.16),		т. е.	f "	-ft(s,	t)<=L2{R X R ),			то	все	млад

ds dt

шие производные (включая саму функцию b{s, t)) также принадлежат пространству L2(R X R )- На пример,

тт

	d2k	b(s, t)	ds dt
	dskdtk	b(s, t)	ds dt
^0	dskdtk
^0			r	r
			r	r
		< ( Г — toY{,l- k)		d2n b(s, t) ds dt.
			ta	dsndtn
			ta	to

При этом обратные преобразования Фурье оператор-

	д2п			^связаны	равенством
ных функций — -——b{s, t) и b(s,
	ds	dt
	ф (Я,	д) =	(— iKf (г»'1ф (Я, д),
которое	получается,		как и для	скалярных функций,
с помощью повторного интегрирования и					интегриро
вания по частям		тождества
(г'Я)- '1(— /д)- '1ф (Я, д) =
со	со

— О? — 00

112

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. IV

Таким образом, операторная функция ф(А, ц), опре деленная формулой (2.14), удовлетворяет условию

I 1 )2п р, |2п | Ф (А, р.) |2 d \ rfp =

—ОО —00

=[ |Ф(Я, p)|2rfArf(f .i < оо, (2.15')

—со — со

азначит, н условию (2.15).

Взаключение приведем еще один простой факт, касающийся операторных функций ф(А,, р ) е L2(Ry(R).

Именно, пусть измеримые				операторные функции
и		— оо < А< оо, в пространстве R удовлетво
ряют условию
		0 0		с о
		1	\|\|aJ2rfA<oo,	[ llpjPdACoo.
Тогда произведение р^ф (А, ц) ад					также принадлежит
пространству			L2(R~XR), и	для	всех х, y ^ R
ОО	(	ОО
J	I	J ф(Л.	fay	\|dA =
— ОО	V	— ОО

=j J {Р1ф (А., ц)% л:, у) dXd\i. (2.17)

—оо — оо

2.Общие условия эквивалентности. Как было отмечено, для стационарных процессов | (t) и т](/) со


спектральными плотностями				и	gk (в гильбертовом
пространстве		R) эквивалентность			на	интервале tQ<
< t <	Т означает, что определенный					соотношением
(2.3).	оператор	А из	пространства Н (g)				в простран
ство	Я (/) является		ограниченным			и	обратимым,

а разность / — А*А является оператором Гильберта — Шмидта в Н (g). Уточним, что оператор А:

Аи (А) = f'ftx (А), —оо < А< оо,

§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ П РОЦЕССОВ 1 13

первоначально определен на всех функциях

		« W =	g'l'x{X)
(х (Х )=	2	еш *хк,		— оо <	Я, <	ooV
V	‘ < h < T					I
причем сами	пространства			Я (g) и	Я (/)	совпадают
с замыканием	в L2(R) подпространств из соответст
вующих функций g'fcx(h)			и	f'[-x(X) (см. (2.1) — (2.3)).
Будем предполагать в дальнейшем, что спект
ральная плотность		g(X)	равномерно интегрируема:
	оо
	J	1 № )\|\|< Д < оо.				(2.18)
	— со
Положим	В — А*А и		F = I — В. Ясно, что усло

вие ограниченности и обратимости оператора А равно сильно тому, что теми же свойствами обладает опе

ратор В. Далее, если	F =	1 — В есть оператор Гиль
берта— Шмидта, то В =		1 — F будет ограниченным
оператором, причем условие обратимости			п о л о ж и
т е л ь н о г о оператора	В =	А'А:
inf (Ви, и) =	1 — sup (Fu, и) >		О
II н 11=1		II«11=1

равносильно тому, что самосопряоюенный оператор F (типа Гильберта — Шмидта) не имеет собственных значений, равных 1— его максимальное собственное значение меньше 1,

ц = sup (Fu, и) < 1.	(2.19)
IIн 11=1

Уместно отметить, что ограниченность и обратимость исходного оператора А означает следующее *):

00			оо
J	(А,), (,)} fiW, X		J {( .)* (Л), x(l)}dl,	(2.20)
*)	Здесь и далее	запись а X Р для переменных а,		(3 озна
чает, что
	О С с х		< с 2 < о о ,
где си	02 — некоторые	постоянные.

114 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

где	х (А)	пробегает все функции вида х (А) =
=	2 j е	kxk.

tk < t < T

Как мы показали выше (см. теорему п. 1), опе ратор Гильберта — Шмидта в подпространстве Н (g) s s L2{R) задается некоторым ядром qp(А, y)(=L2(RXR), что в отношении оператора F = I — В равносильно следующему: для полной в Н (g) системы функций

и (А) = eiUg]l2х, t0< t < T ,

х е R,

и некоторого ядра, ф (А, ц) e L 2(i?X R) должно иметь место равенство

(Fu, v) =

=J e~i{Ks~ill)J { ^ /2ф (А, ц) g'J2x, г/] dXd\i

(см. формулу (2.17)). С другой стороны, для « ( А) =

— eihsg]Fx, v (А) = еш g\[2y имеем

{Fu, v) = (u, v) — (Ви, v) =

со со

=	j еа(8~{> [gKx, y}dX —			j	{fKx, y) dX =
	—oo		—OO
		CO
		= \| ea <*-'> {(^		— fh) X, y) dX = b(s — t),
		— oo
где	b(s — t)	есть разность корреляционных функций:
	b(s — i) =	Bri{s — t) — Bi (s — t), t0<				s, t < T .
Сравнивая приведенные выше выражения, при
ходим к следующему результату.
Л е м м а .		Разность	I — В		является	оператором
Гильберта — Шмидта			тогда	и	только	тогда., когда,

§2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 115

разность корреляционных функций допускает пред ставление

оо		оо
& ( * _ / ) = ] ■		\|		rigW dXdp,	(2.21)
			tQ< t , s < Т ,
с помощью	некоторого ядра qp (Я,, ц) е L2 (R X				R)-
Здесь подынтегральная функция
		Ф (^	ц) = g[/2(p {I,	p)g]l2
принадлежит		пространству L2 (R X R)y поскольку
оо
J II g]!2f d l	<	оо (см. условие (2.18)), и формула (2.21)
—00
показывает,		что	операторная	функция	b(s — /),
t0< s, t < T,		может быть продолжена в некоторую
функцию
		оо	оо
b (s,	t) = f		С e-M?.s-pnTj,(A„ p)dkd[i,

—о о — CO

—оо < S, t < OO,

преобразование Фурье которой

я1>(Я,

[ j' е‘ ^ - М b(s, t)dsdt,

— OO — CO

—oo < X , p < OO,

удовлетворяет		условию
	g ^ ( K n ) ^ e ^ ( i ? X K ) .			( 2. 22)
Очевидно	также, что если		функция b(s — t), t0 <
< s, t < T, допускает подобное продолжение,				то она
допускает	и	представление	типа (2.21) с	ядром
Ф (^> н-) =	^гг\|/2^ (я>

116 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ с л у ч а й н ы е п р о ц е с с ы [гл. IV

Таким образом, имеет место следующее пред ложение *)

Т е о р е м а .					Разность			I — В является оператором
Гильберта — Шмидта							тогда и только тогда, когда
разность			корреляционных					функций	b(s — /),		t0 < s,
t <	T, допускает					продолжение в некоторую функцию
b(s,	t),	— °о <			s,	t <	оо,	из L2(R X R) с преобразо
ванием			Фурье		ф(А,,		р,), удовлетворяющим			условию
(2. 22).
Как		это		ни кажется странным с первого взгляда,
в случае ко не ч но г о							и н т е р в а л а		(t0, Т) при весьма
широких			ограничениях на спектральные							плотности
f\ и ё\ из условия,							что	разность	I — В	является
оператором				Гильберта — Шмидта					(и даже		просто

самосопряженным вполне непрерывным оператором), вытекает о б р а т и м о с т ь оператора В, и в этом случае предложенная выше теорема дает, как мы убедимся в дальнейшем, весьма эффективный к р и т е р и й э к в и в а л е н т н о с т и .

Предположим, что спектральная плотность f\

является н е в ы р о ж д е н н о й хотя бы на каком-либо множестве положительной меры. Предположим, что спектральная плотность gА является р е г у л я р н о й ,

точнее,

						(2.23)
		— ОО
(ср. с условием (4.12) гл. III). Тогда имеет						место
следующее предложение.						I — В
Т е о р е м а .		При	условии,	что разность		I — В
является	вполне непрерывным			оператором,	оператор
В = А'А будет обратимым.
*) Эта	и последующие теоремы			являются обобщением ре
зультатов	для одномерных процессов, подробное доказательство
которых имеется		в книге. И. А. И б р а г и м о в а н			10.	А. Р о
з а н о в а ,	Гауссовские		случайные	процессы, М.,	изд-во «На-
ука», 1970.

§ 2) ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 117

Доказательство этого предложения основано на том, что при условии (2.23) всякий элемент и(Х)^Н (g)

представим в виде

и (Я) = g'fx (Я), — оо < Я < оо, (2.24)

где х{Х) — целая аналитическая функция, являю щаяся среднеквадратичным пределом с весом w(X)=-

= \|\| g - '\|r ' аналитических	функций типа (2.1) :
х (Я) — lim	2	е‘л^лп.
‘o<h <T
Действительно, всякий элемент и (Я) е			Н {g}	по>
определению пространства	Н (g) есть предел		в L2{R}
некоторой последовательности		ип(Х) = g[l2xn(X),		где
хп (Я) — аналитические функции типа (2.1).			Последо

вательность ип(Я) является фундаментальной в про

странстве L2 {R),		так	что
со
— оо
со
> \| \\хп(Я) — Хт			(Я) \|\|2 W(Я) с1Х -> 0 при		П ,	т —> ©о,
— оо
поскольку для	любого . t e l ?
		II	в~ 1/2	II2
		\|Ц\|£а I		I	оо
					оо
и следовательно, существует функция х (X),					J	ll'-t(X) \|f X
X w (Я) dX < оо,		такая, что			—оо
X w (Я) dX < оо,		такая, что
	оо
lim	Г \|\| хя (X) — х {X) f			w (Я) dX =	0.
П - > оо	J
	— со

Таким образом, для некоторой подпоследовательности имеем

X (Я) -> -V(Я), gH2xn{X)-> g}i2x{X) п. в.,

118

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. IV

что приводит нас к формуле (2.24). Поскольку при любом х е R

со

Пт [ | {хп(А), х} — {х (А), х) |2 w (A) dX — О,

П ■ > со ^

— со

скалярная функция {л: (А), х} как предел функций вида

{■ UA), * } = Y

'о < > к < г

является целой аналитической функцией*). Например, при условии

\\g r l\~' ж { \ + х 2)~ '\

(2.25)

где я — некоторое целое положительное число (что несколько сильнее, чем условие регулярности (2.23)), для соответствующих функций х(Х) можно дать сле дующее представление**):

л- 1	г
х (А) = 2	(A)Vw,.ft + (1 + il)n f ем с (t) dt,
k—0	6

где функция с (t) принадлежит пространству Lr(R). Итак, пусть пространство Н (g) состоит из эле ментов вида и (А) = g[/2.v (А), где х (X) — целые анали

тические функции.

*) Подробное доказательство этого имеется в книге, цнти' рованноп на стр. 95. Описание аналитических функции х (X) в скалярном случае дается в заметке М. Г. К р е й н а, Об основ ной аппроксимационной задаче теории экстраполяции стационар

ных случайных процессов,			ДАН СССР 94 (1954), 13— 16; см.
также; N. L e v i n s o n ,		Н. M c k e		a n, Weighted trigonometrical
approximation	in with application			to the germ field of stationary
Gaussian noise,	Acta Math. 112, 1—2 (1964), 99— 143.
**) Отметим, что это			представление		может быть использо
вано для нахождения проекторов Qt на подпространства
Ht (g) =		V	e a s g ^ R ,		f0 < t < T
			<C t

(см. задачу о прогнозе на	конечном интервале в книге 10. А. Р о
з а н о в а, Стационарные	случайные процессы, М., Физматгиз,
1963).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб14Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб41Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб3Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf