Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

§ 21

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

119

Предположим, что оператор В =

А'А не я в л я е т

ся обратимым. Тогда, как

мы показали выше

(см.

(2.19)), самосопряженный вполне непрерывный опе

ратор

F =

I — В должен

иметь равное

1 собственное

значение.

Обозначим » ( A ) e # ( g )

соответствующую

ему собственную функцию.

Возьмем последователь

ность аналитических функций хп(А) типа (2.1) таких,

что и (А) =

gl/'2 х (А)

есть

предел

элементов

«„(А) =

= g )i2xn(K)[

,v(^) =

limx|l(A) п. в.

Получается,

что

fк'гхп(^)—»■ /х2 х М п.в. 11 одновременно последователь

ность элементов fH2xn(А) =

Аип(А)

такова, что

(Alln, AUfi)

[Blln, Ufi)

(И-л, Мп)

^/i)

^ 6,

поскольку ип—>и, Fun—>u. Таким

образом,

в L‘2(R)

последовательность

f\[2xn(k) сходится к 0,

так

что

fl!2x (А.) =

0 п. в.,

и, следовательно, д-(А) = 0 на множестве положи

тельной меры

(где f1/ 2не вырождена),

а для

анали

тической функции л*(А) это возможно лишь в случае,

когда х(А) ^

Но это противоречит тому, чго « (А) =

= g\l2x{X) — собственная

функция

с е д и н и ч н ы м

собственным значением, и значит

оператор В — А'А

является обратимым.

Некоторые

выводы и примеры. Покажем, что

предложенные в п. 2 общие условия эквивалентности

стационарных

процессов

| (t) и

г) (/),

tQ< t < T ,

со

спектральными плотностями tk и

gk в

гильбертовом

пространстве R являются достаточно эффективными.

Для краткости назовем

спектральные плотности

/х 11 <?л эквивалентными, если эквивалентны соответ

ствующие

процессы l(t)

и r|(zJ), tQ< t < T .

Предположим, что

(2-26)

Тогда, как это следует из условия (2.22) (см. тео рему на стр. 116), для эквивалентности н е о б х о д и м о ,

120 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

чтобы разность корреляционных	функций
	со
6 ( s - 0 = B 11( s - 0 - 5 ? ( s - 0 -	\|

— 00

на квадрате /0 < s, i < Т совпадала с некоторой опе раторной функцией b(s, t), — оо < s, / < оо, из про

странства L2 (R X Ю с преобразованием Фурье ср (Я, р), удовлетворяющим условию (2.15):

ОО

со

J(1 "ЬЯ2)'((1 +

р2)"|ф (Я, p )f dkdp < оо,

поскольку

|^ - 1/2Ф (^ It) V

/2f >

/ C 2(l + я Т ( 1 + цУ | ф (я,

р)|2.

Действительно, в рассмотренном случае

I* if =

Iё Щ

,/2*

If <

к (1

я2) - "№

,2x f

|£ Г ,/2Ф(^.

,/2|2 =

1/2Ф (^. и) § » '12хр(

Я2)" Iф (Я,

р) g - '/2 Хрf

/ Г 1(1 +

Я2Г I Ф (я., и) g~ '1212 =

я&71/2)" |ф (я,

р)* I’ =

= к - 1(1

Я2Г

II£71/2Ф(я, Р)*Хр( >

/ с 2 (1 +

Я2)'1(1 -f р2)" ^

II Ф (я, р)’ Хр If2 =

/<T2(i

я2) (i +

2)'1|ф(я, р )* | '=

■

/ Г

2(1

я2(1Г + рУ

|ф (я, р) 2|.

Таккак

b (s,

t) =

b{s — t)

при

t0 < s , t < Т,

из

усло

вия (2.15) вытекает, что для эквивалентных спек тральных плотностей Д и gk операторная.- функция.

§ 2]

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ

121

b (t) на интервале (— иметь все производные производная Ы2п) (/), — рять условию

г, т), где т = Т — 10, должна до порядка 2/г, причем 2п-я т < t < т, должна удовлетво

т т
J J \| Ь{~п) (s — t ) f d s d t < оо.	(2.27)

tA tri

Предположим теперь, что выполняется соотноше ние (2.25), иначе говоря,

			В ь Ж ( 1 + ь Т П1-				(2-28)
Если операторная функция b(t), t0 <					t <	Т,	обладает
описанными		выше свойствами, а именно, существует
производная			д2П	удовлетворяющая			условию
			~^2nb{t)l
(2.27),	то	операторную функцию			b(s, /) = b(s — t)
можно	продолжить с			квадрата tQ<	s,	t <	Т на всю
плоскость — оо < s, / <				оо в некоторую		ф и н и т н у ю
гладкую функцию b(s, t) такую, что*)
	СО		0 0
	.		J	^ Г ^ Й С о о .

— оо — оо

Преобразование Фурье ф(А, ц) такой функции b{s, t) будет удовлетворять условиям (2.15') и (2.15), а сле довательно, и условию (2.22)

ОО0 0

J j I £Г1/аФ№. й) g f d ld p < оо,

*) В

ортонормированием

базисе е и е2, . . . е R

операторная

функция

b (s, /)

со

значениями

S2 {R) задается

некоторой

матрицей

bkj (s,

/).

I b>4 («, 0

|г<

00 и

речь идет

об

очевид-

к, 1

скалярной

компоненты

bkj{s, t)

ном продолжении

каждой

с квадрата t0< s , t < T

на

всю плоскость

— оо < s,

/ <

оо в фи

нитные функции

bkj

(s,

с сохранением

свойств

гладкости и

оо

V I2ds dt<(s>

интегрируемости

типа

—00 —COkt i

122	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ		[ГЛ. IV
поскольку в нашем случае
I g r 'W .	^ )^ - l/2\|2< \|U r ,/2IM l^ '/2ll-iiH ^ ^)l2<
		< К 2(l + я 2Г(1 + ц2ГН>(я.,	(-0\|2.
Поэтому	разность / — А*А будет оператором		Гиль
берта— Шмндта,		что при условии (2.28) равносильно
эквивалентности		спектральных плотностей gK и Д

(если только Д не является вырожденной п. в.).

Таким образом, если разность корреляционных функ ций на интервале (— т, т), х — Т — 10, имеет произ

водную Ь[2п) (/), удовлетворяющую условию (2.27), то спектральные плотности Д и ё^ будут эквивалентными.

В частности, спектральные плотности Д и		будут
эквивалентны,	каково бы ни было п в условии (2.28)
и каков бы ни	был конечный интервал (Д,	Т), если

f>. — 8k + Ах.

где Д>^ — произвольная финитная функция с интегри

руемой в квадрате	следовой нормой:
		а
Ах = 0 при \| ? \| > a, j		\| Д* \|2 dX < оо.	(2.29)
Действительно, в этом случае операторная функция
	ОО
ь (0 = -	J еш Дл dX,	t0< s , К Т ,

будет иметь производные всех порядков, которые удовлетворяют условию (2.27).

В конечномерном случае, dim 7?<oo, получаем,

например, что если спектральная плотность Д как угодно отличается от спектральной плотности gx на каком-либо конечном интервале (в частности, может

быть Д = 0 при \|А.\|=^а), то	Д и gK эквивалентны.
Отметим также, что для	спектральной плотно
сти g%типа

k {\+ X Z T 'l K g k < K { \ + X 2)- nL

§ 2] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ 123

вместо условия	(2.29) можно			потребовать, чтобы
оо
J \gZ ll2bKg i 'l2\2d l < ° o .						(2.290
—ОО
Сформулируем наш основной результат в виде
отдельной теоремы.
Т е о р е м а .	Если	gK^	К (1	+ Я2)-’'1/,		то для экви
валентности	и gk	на интервале (t0, tQ+ т) необхо
димо, чтобы операторная			функция
				со
■ b(t) =	(t) -	В* (t) =		J еш {gK-		h) d%
			— оо
на интервале — т < t < т			имела все		производные до
порядка 2п, причем
X X
[	[ \| bi2n' (s — t) \2 ds dt <				оо.

о6

Если оке g%~^t k (1 + Х2)~п1, то указанные условия достаточны, для эквивалентности.

В заключение, как следствие полученных выше результатов, дадим описание обновляющего процесса для класса стационарных процессов £(/), tQ< K T ,

с корреляционной функцией	В (/)	следующего типа:
на открытом интервале (0, т),	т =	Г — 10, функция В (t)

имеет все производные до порядка 2п, причем функция

В(2п~" (t) непрерывна всюду на интервале (—т, т), кроме точки ^ = 0, где она имеет разрыв первого рода,

а функция В{2п) (t) удовлетворяет условию

X X

J J | В (2п) (t —s) |2ds dt < оо.

оо

Каждый такой процесс l(t) эквивалентен стационар ному процессу т)(0, t0< t < T , со спектральной плот ностью вида

s ^ = | Р (а) |2 ’

где Р (ik)— полином степени п с соответствующим

:124 ЭКВИ ВАЛ ЕН ТН Ы Е СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

коэффициентом при старшей степени (£\)п. Следова

тельно,	обновляющий процесс	X (/) = {Xft (^)}JI+I,■ /0 <
< t < T ,	для \| ( t) будет такого	же типа, как и для

процесса т)(^), а именно, первые п компонент будут постоянными:

X k( t ) ^ t k' l)(to), k = l , /г;

они порождают «начальное» подпространство *)

				П	H t s + h ( I ) ,
				л >о
.а одна		компонента Хп+\ (t), описывающая							дальней
шее обновление подпространств #,(£),									i0< t < T ,
является			процессом	типа		броуновского			движения
(см. § 3			гл. I).
			§ 3. Случайные процессы,
	эквивалентные винеровскому процессу
	С точки зрения нашего подхода к вопросу об эво
люции		подпространств			#,(£),		t0< t < T ,	связанных
с	соответствующим			случайным			процессом		£(/■ ), tQ<
<	t < Т ,	винеровский процесс т) (/), t0< t < Т							(с компо
нентами {ч(0, -v}, t0< t < T ,						где параметр х пробегает
некоторое			гильбертово		пространство R)			может быть

взят в качестве определенного стандарта. Именно, естественная изометрия

		{Л (0 , x } + + X t ( s ) x		(3.1)
между	величинами {т\| (t), х} <= Н (г)) и			элементами
% ,{s)x ^ L 2(R) позволяет			отождествить Ht{rft с под
пространствами		Li(R),	tQ< t < T \ здесь	скалярная
функция	xt(s),	t0< t < T ,	есть индикатор	интервала

(t0, t], Lr(R) — гильбертово пространство во всех изме римых /?-значных функций и (s), tQ< s < T , с интегри руемым квадратом ||«(s)|p, со скалярным произве дением

г
(и, v) = J {и (s), v (s)} ds, и,	t i e / , 2 (R),
*) При указанных выше условиях	процесс £ (t) имеет
ровно п — 1 производных.

§ 3]

П РОЦЕССЫ , Э К ВИ ВАЛ ЕН ТН Ы Е ВИНЕРОВСКОМУ

125

a L] (R) — подпространство всех функций и (s) е L2(R) таких, что u(s) = 0 при s > t . Мы считаем, что стан* дартный винеровский процесс r|(/), t0< t < T , имеет нормированную корреляционную функцию

5 4(s, t) = min(s — s0, t — /0) • R t0< s , t < T . (3.2)

Пусть g(£), t0< t < T , — какой-либо случайный про цесс с компонентами {g(0, -v}, t0< t < T , .v e R, и пусть Bi(s, t) — его корреляционная (операторная) функция в гильбертовом пространстве R:


Е {g (s), х} • {g {t),r у} = {Bi (s, t) x, у},		.v, y ^ R .		(3.3)
Как мы знаем, семейство подпространств Я, (g),
t0< i < T ,	будет и з о м е т р и ч н ы м	семейству		Lt{R),
t0< t < T ,	если, скажем, процесс l(t),		t0< t < T ,	экви
валентен винеровскому процессу r)(i),			t0< t < T .	В дан

ном случае эквивалентность означает, что оператор А:

А : X /(s)*->{S(0 .	*}.	(3.4)
определенный на полной в L2(R)	системе элементов
и (s) — %, (s) х (t0< s < T ; х е	R\	t0< t < T ) (3.5)

может быть продолжен до линейного ограниченного обратимого оператора А такого, что разность I — А"А есть оператор Гильберта—Шмидта в функциональном пространстве L2(R).

Согласно общей теореме п. 1 § 2 всякий оператор Гильберта—Шмидта в функциональном пространстве

L2(R) задается	некоторым ядром	К (s, t) е L2 (R X
X R) — операторной функцией в гильбертовом про
странстве R со значениями К (s, t) е		S2(R) и интегри
руемой в квадрате следовой нормой:
	г г	(3.6)
		(3.6)
где
\|K (s,	t) \|2= Sp [/((s, t y -К (s, /)].

126 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

. Следовательно, при условии эквивалентности

		т т
(и, v) — (Аи,		Av) = \| J	{К (s, t) и (s), v (/)} ds dt,					(3.7)
где К (s,	t) — некоторое ядро из				L2 (RR).		выполнено
Очевидно,		соотношение		(3.7)		будет
для всех элементов и,			v ^ L 2(R),			если	оно	выпол
няется для некоторой п о л н о й					системы		элементов
(скажем,	для	системы	(3.5)).		При « (s) ==			(s) лг,
v (t) = Xt,(0 У соотношение				(3.7)	можно		представить
в операторной		форме:

Очевидно также, что если представление (3.8) имеет место, то соответствующий оператор / — А*А будет оператором Гильберта—Шмидта.

Далее, если разность / — В {В = А'А) есть опера тор Г ильберта—Шмидта, то условие обратимости огра ничейного оператора В можно выразить следующим образом: оператор I — В не имеет собственного зна чения, равного 1 (см. по этому поводу стр. 113).

Витоге мы приходим к следующему результату.

Те о р е м а . Для эквивалентности случайных про цессов£,({) и г|(0, t0< t < T , необходимо и достаточно


чтобы разность b{s,		t) = B^(s, t) — B i(s,			t) была абсо
лютно непрерывна		относительно ds'X dt,			точнее,
ft (S, 0 =	J J /С (s',		f) ds' dt',	t0< s , t < T , (З.г
где производная	R (s, t) =		д2	t) имеет интегри
			ds д{ b (s,

руемую в квадрате следовую норму.

т т

§ 3]	ПРОЦЕССЫ, ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ВПНЕРОВСКОМУ		127
2 кроме		того, у ядра К (s, t) как оператора	в L2 (R)
нет единичного собственного значения *).
	Этот	критерий эквивалентности сохраняется и

в случае более сложного «стандартного» процесса

r)(/), t0< t < T ,	имеющего корреляционную функцию
вида B^is, t) =	mm{F{s), F (()) ■ /, где F(t), t0< t < T, —

непрерывная слева монотонно неубывающая скаляр ная функция. Нужно только вместо лебеговой меры


dsY ,dt	взять		соответствующую			меру dF (s) X,dF (t).
П p и м е р.			Пусть	г) (t),	t0 <	/ < Т, — одномерный
случайный		процесс с некоррелированными прираще
ниями	и	F (t) = Е \| г\| (t) \|2, t0< t < T , — его структур
ная функция.			Пусть	a (t),	t0 < t < T , — случайный
процесс	такой,		что

[ Е | a(i) р dF (t) < оо. ^0

Пусть, наконец,

,	1 ( 0 = J a(s)d F (s) + n(0,	t0< t < T . (3.11)
	п

Учитывая, что проекция величины а(и) на под

пространство (г|) представима в виде стохастиче- t

ского интеграла J с (и, v)dT\{v), где подынтеграль-

ная функция удовлетворяет условию

'з 1

J | с {и, v) р dF ( о )< Е | а (и) |2,

*) По-видимому, первые публикации об условиях такого рода для с к а л я р н о г о случая даны Шеппом (L. A. S h е р р, Ra don—Nykodym derivatives of Gaussian measures, Ann. Math. Stat. 37, 2 (1966), 321—354). Отметим, что эти условия легко полу чаются из условии эквивалентности стационарному процессу белого шума с простейшей спектральной плотностью g( X) = I.

128 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. IV

будем иметь

Еа (и) 11 (t) =

	\| с («, у) dr\ (v) •			[	dii (и) =	[ с	(v)•
	- t t			/„	J	(«
Элементарные		выкладки приводят к равенству:
			^	t
B 4 {s,	t) —	Bi{s,	t ) = СJ		К (и, v) dF {и) d F (v),
			10	to
где К (и,	v) =	— с (a,	v) — с (о, и) — Е [а (и) а (о)].
Таким образом, при дополнительном условии (ЗЛО)

с заменой dsdt на dF(s)dF(t), случайный процесс l(t), t0< t < T , будет эквивалентен процессу ф ), t0< t < T , и, следовательно, будет иметь обновляющий процесс

такого же типа,		как		r\|(0, t0< t < T .			Это	условие,
означающее,	что оператор
	А:	2	скл\ (tk) —>			(/*)
является ограниченным				и обратимым,			автоматически
выполняется,	например,				если процессы a(t)				и т](/)
н е к о р р е л и р о в а н ы ;				Еа (s) г\| (/) =		0,	tQ<	s,	t < T.
Действительно,		в	этом		случае	ядро		%(s,t) =
= — E[a(s)a(f)]		является			о т р и ц а т е л ь н о				о п р е
д е л е н н ы м :

г г

J J K ( s , t ) u( s ) u ( t ) d F( s ) d F ( t ) = *

= —E J a (t) и (t) dF (t) < 0

для любой ненулевой функции u(t), J* ] u(t) \2dF{l)<^oo.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб13Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб38Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб2Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf