книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

19

странством Я (£). Если ввести

Ys {t) = Pty},

t0 < t < Т

/ =

1,

ш, то элементы у[, . . . ,

? / 'e L

можно

представить в

виде

т

m

У к = J

dY^t),

<0

/ = 1

где функции ckj{t) удовлетворяют условию

Т

m

k =

1.........m.

I

Ck,(t) fdG(t) <

оо,

h /=i

Поскольку

все

элементы

у\, . . . ,

у'п

имеют

одну и

ту

же структурную

функцию

t m

G '(0 =

f

^

| c ft/(s)|2rfG(S),

k =

l, . . . ,

n,

U /=i

а

при

условии

ортогональности

подпространств

Я ((/'), . . . .

Я (у') должно быть

t m

(•Р(У'{Ук) =

f

S

сч ^

сы ^

dG ^

=

°*

если

г’ ^

/.

/=i

ТО

m

m

____

S ] c * / ( 0 P = 1 .

2

О/ 00 Cki (t) =

0

при

г =£6

/=i

/=i

для почти

всех t

относительно

меры dG (t).

Видно,

что векторы ck(t) =

{ckj(t)}"\

k =

l,

п, с компо­

нентами

ckj{t),

у =

1,

т , в т-мерном

векторном

пространстве (с обычным

скалярным

произведением)

20

ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. I

т

н его ортогональное дополнение

Ь0 =

L = Q H ( i j j )

/'= I

По

определению

максимальной системы

— H Q L .

уи

ут

в

подпространстве

Ц нет ни одного

эле­

ном

подпространстве

L 0,

то

dG (t) =

dG0(t.)Q)dG (t),

где

dG{t) — некоторая

н е н у л е в а я

мера, ортого­

нальная dG0(t). Рассмотрим

новое

пространство

Я — подпространство в Я

из всех элементов со струк­

ными

типами

dG0(t)

и

dG (/) будут также

ортого-

_

где, напомним,

т

нальны, и потому Я е Д,

L = © Н(у,).

Если

Д0

и

/=i

Д — непересекающиеся носители орто­

гональных

мер

dG0(t)

и dG(t),

то

всякая

величина

г\ ^ Н ( у к) может

быть

представлена

в виде

г

J ф(t)

■ П= J

Ф (0 dWj (t) =

(t) ® J

ф (/) dV, (t)

tв

(4^ (t) =

Ao

д

где

Pty,,

t0<

t <

T),

J ip (t) dx¥ , e= H.

% =

{

'Ф {t) dWj (/) <= L0,

rj =

“in

Д

Ясно,

что

элементы

z/ =

J d lF/ (/),

/ =

1,

. . . ,

m,

д

с одним

и

тем

структурным

типом

dG (t)

образуют

в Я максимальную систему,

причем подпространство

_

1П

с пространством

^

Таким

L =

® Я (z,) совпадает

Я.

/= I

вместо

исходных

систем

г/,.........

у,п

и

образом,

у[,

. .., у'п со структурным типом

dG (t) мы можем

рассматривать

системы

элементов

zs,

j =

l,

. . . ,

/п,

§ 2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ II ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

21

и 4 =

J

dW'k(t), k = \ .......Л

=

t0< t < T )

д

-

Как

в пространстве Я со структурным типом dG(f).

было установлено выше (в

случае

L =

H),

имеет

место

неравенство а ^ т .

Вернемся к обновляющему процессу X(/) = {X/ (^)}f,

/0 < / <

Т,

с

упорядоченными

структурными

функ­

циями Fj{t) =

Е| Xj (/) h

t0 < t < T

(см. (2.4)).

Пусть Y (0 = {Yк (0)Г>

t0< t

<

Т , — некоторый про­

цесс

с

некоррелированными

компонентами

вида

Yk{t) =

P/tjk,

t0< t < T ,

структурные

функции кото­

рого Gk{t) =

Е] Yk{t) f, t0< t

< Т ,

также упорядочены:

d G ,[t)>d G 2> . . .

> d G N{t).

Л е м м а

2.

Имеют место следующие соотношения:

N <

М,

dGk(t)< d F k(t),

k =

\, . . . , N.

{2J)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

неко­

ствующей мере dFn(t). Тогда существует

не ну ­

л е в а я мера do(t), подчиненная dGn(t) и

ортого­

структурному

типу dF\{i)

и, вообще, каким-то dFj(t),

1

^ т ,

где число т

всех таких структурных типов

из

последовательности

dF{ [t) )> dF2(/) )> . . .

строго

меньше п. Если хи х2,

. . . ,

хм — элементы,

поро­

ждающие

обновляющий

процесс X (/) = [Xj (^)}^'

[Xj{t) — PtXj,

t0 < t < T ) ,

то,

учитывая структуру

§ 21

СТРУКТУРНЫЕ

ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

23

Именно, если

Я, (t) >

Я2 (t) > . . .

>

Я,н (t) — упорядо­

ченная система

всех

н е н у л е в ы х

собственных

зна­

чений матричной функции f(t), то

д у = {/;

Kj (/) > 0},

j =

l .........М.

Соответствующий

обновляющий

процесс

X (t) =

= {Xj (0)м to < t < T ,

с упорядоченными структурными

типами может быть

получен как

t

т

х ! W = \ S a lu ij (s ) d h (s )>

/ = 1 > ■ • • > М >

ta

i=l

где

ii{t) = {uij O'))— унитарное

преобразование,

при­

водящее положительную матрицу f (t) =

[f^ (i)}

к диа­

гональному виду

(с

элементами

Я, (/) ^

^

Яж (t),

%k(t) = 0 при М < k ^ n , на главной диагонали).

2. Подчиненные процессы. Рассмотрим пару про­

цессов: l ( t ) = { h ( t ) } ?

и ti(0 =

(Лй(О)Г-

Говорят,

что

неупреждающим

(линейным) преобразованием, если

Я, (Л) s

t0 < ( < Т .

(2.8)

Обозначим Я, (г|)х ортогональное дополнение в п р о-

с т р а н с т в е Я (л) к подпространству Я, (л);

Я, (л)1 —

= Я (л)© Я, (л).

Аналогично,

Я,(£)х = Я ( QQH, (|).

Будем говорить,

что процесс л (0 подчинен

процессу

1(1), если

Я,(л)<= Я ,(|)

и Я,(л)Х ^ Я , Ш \ t0< t

< Т. (2.9)

величина г /еЯ (л ),

ортогональная подпространству

Я,(л), должна быть

также ортогональна и б о л е е

П р и м е р

(каноническое представление). Пусть

| (/) = {£,•

t0< t < T ,

— процесс

с

некоррелиро­

ванными приращениями и

1ft (0 =

t

m

s) dh

J

У] Ckj {t,

(s),

t0<

t <

T;

t.

/=i

li =

1,

.. .,

n.

Обозначим Qf операторы

ортогонального проектиро­

вания на подпространства

t0 < t < T .

Выраже­

если проекции

значений

r|fe(i)

на

подпространства

Ни(т)), u ^ t , получаются

по формулам

и m

s)

(s)>

f0< * <

Quiift (0 = J У)Cfc/

<0 /=l

li = 1, . . . ,

n.

(Например, так будет в случае,

когда £(/), t0 < t < Т ,

является обновляющим процессом для г\{t), t0<

t > Т.)

Очевидно,

представление процесса Ц (0 =

(т)й(0)"

в виде стохастического

интеграла

(2.10) возможно

(2.8) . При условии же

(2.11) имеем

1

m

Л* (0 — Q„i1ft (t) =

J

ckl (t, s)

(s);

к

/=i

видно, что величины гц (t) — Q„r|4 {t), t ^ u ;

k = 1, ..., n,

Ни(1), и, таким образом,

имеет место соотношение

(2.9)

, т. е. процесс т|(0 =

{tja(0}Г» tQ< t < T , по дчи

нен

процессу с некоррелированными приращениями

1(0 =

H i(01г. t0< t < T .

Пр име р . Пусть I (t), t0< t < Т, — случайный про­

цесс со стохастическим

дифференциалом

d%(0 =

а (0 dt + dW (0,

§2] СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ II ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

25

t

I (t) =

J О(S) ds +

W (t),

t0< t <

T,

(2.12)

U

где a (t), t0< t < T , — некоторая

случайная

функция

со средним Еа (t) = 0 и конечным вторым

моментом

Е |а (/) Р,

t

|

Е | a (s) р 'ds <

оо,

t0 <

t < Т,

to

и W {1), tQ< t

< Т , — процесс

с

некоррелированными

приращениями,

такими, что при h >

О

W{t +

h ) - W { t ) L H t{Q,

t0< t < T

(величины W (t + h) ■— W(t),

h > 0,

некоррелированы

со значениями

|(s),

Рассмотрим процесс rj(£),

t0< t

<

T, получающийся

из процесса

I (/), t0< t < Т ,

линейным

н е у п р е ж ­

д а ю щ и м преобразованием

вида

t

=

[ [a (s) — a (s)] ds + W (t), t0< t < T ,

to

где a (s) — Psa(s)

обозначает проекцию величины a(s)

при s^ st,

приращения

11(/ + /?.)— л (/)=

t+h

[a(s)—d(s)]rfs+ [VP(/ + ^)—W{t)\

J

t

обладают

тем

же

свойством,

что

и приращения

W (t + h) — W(/),

а

именно, при h > 0

т)(t + К) — I] (t) JL Н((|),

t0< t

< Т .

При этом

Hi (л) — Ht(W> t0

t <с. т ,

26

ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. I

так

что г)(t), t0 < t < T , — п р о ц е с с

с н е к о р р е л и ­

р о в а н н ы м и п р и р а щ е и и я м и.

Для

такого типа

ращениями т](/ +

/г) — г| (/), h > О, а

мы видели, что

они ортогональны

соответствующим

пространствам

и, таким образом,

Я,(11)х < = Я ,(£ )\

t0< t < T ,

т. е. процесс г)(/)

под ч и и е и

процессу £ (t), t0 <

t <

Т.

Обратимся к произвольной паре процессов

l(t)

=

=

{ё< (0)Г 11 Л W =

InkW)i\ t0 < t < T .

Пусть rfF, (/) >

>

.. . > dFM(t)

и

rfG, ( / ) > . . . > dGN(t) — упорядо­

Т е о р е м а

1. Если

процесс л 00.

t0 < t < T , под­

чинен процессу

%{t), t0 <

t < Т,

то

N ^ M ,

dGk( t)< d F k{t), /е =

1, . . . .

N.

(2ЛЗ)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

Р,

н Q, опера­

ства

Я,(£) н

ЯДл)>

t0< t < T .

В силу

соотношений

(2.9)

имеем

и

ДЯ,(л) =

Я,(л). P'Ht(11)Х =

0

PtH (л) = р, [И, (л) 0 я , (л)Ч =

Р,Н, (л) =

=

Я /(л) = 0/^(л). (2.14)

Для

проекторов Pt и Qt отсюда

вытекает, что опера­

тор

Р, в инвариантном подпространстве

Я ( л ) ^ Я ( |)

совпадает с оператором Qt,

10 < 1

< Т. Следовательно,

обновляющий

процесс Y (t) =

(t)}f для процесса

Л(/),

t0< t < T ,

получается

по формуле

Yk{t) =

PiUk,

6 =

1,

• • •. Я,

§ 2) СТРУКТУРНЫЕ ТИПЫ И ПОДЧИНЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ

27

цесс

X(i)^= (^ /(0 )f. h < t < T , для

процесса

%{t),

t0< t

< Т, обладает следующим

свойством.

Инте­

гральное представление

t м

1 1 * 0 0 = { 2 1 с*/(*« s) dX№ >

t0< t < T ,

/=i

1, . . . ,

6 =

п,

подчиненного процесса

r\ (t) =

{r]ft (t)}",

t0 < t <

T,

яв­

QU11* (t) = Pur\k (t) = f

21

V’

s) d x i (s )>

u <

t-

it

/=1

При рассмотрении процесса

r|(/), t0 < t < T ,

полу­

чающегося из процесса l(i),

t0< t < T , некоторым не­

упреждающим линейным преобразованием

(Н, (ц)s

Ht(£) — Ht (it)), t0< t < T .

(2.15)

Я (|) =

Я (Л),

(2.16)

поскольку в этом

случае

Ht(l) =

PlH(l) =

QlH W =

Ht№

при всех t, t0 <

t < Т (см. (2.14)).

Т е о р е м а

2.

Если процесс ri(()

подчинен про­

цессу £ (t), t0< t <

Т, и они имеют обновляющие про­

цессы одного и того же типа кратности

М <

оо

(dGk(t) ~

dFk(t),

6 = 1.........Af),

то имеет место соотношение (2.15).