книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

§ I]

СТРУКТУРНЫЙ ТПП

69

dF j(t) ~

dt

(1.8)

(отметим, что значение Fl (t0) =

Iim Fj(t) может быть

положительным).

—00

простое

Для удобства читателя приведем здесь

р(0 =

__1_ е~‘г/2, то

окажется, что

/ t o

р * Р (Д) =

| р (Д — t) р (t) dt — O

тогда и только тогда,

когда р(Д)== 0, т. е. что р * Р ~ р .

Но свертка р *

Р имеет преобразование Фурье вида

сp(X)e~vl2, где

ф(Я.) — преобразование Фурье ограни­

ченной

меры р,

а следовательно, р * Р имеет гладкую

дарт структурный

тип

семейства подпространств

Ut — b] (Rm), — оо <

t <

оо,

в функциональном

про­

странстве U =

L2(RM), где

RM— некоторое

гильбер­

тово пространство размерности М (Д?(Дм)

есть

под­

пространство всех

функций

и (s),

—оо < s < оо, из

L4R M), обращающихся в 0

при s > /).

типе

Остановимся

подробнее

на

структурном

Ut — L2(RM),

имеет

своей

структурной

функцией

t

F (t) =

С|| и (s) |f ds,

— сх> <

t <

оо.

Таким

образом,

всякий

— со

U такой,

что

»(s)= £ 0

почти

элемент и е

всюду,

имеет

м а к с и м а л ь н ы й

лебеговский

тип:

d F (t)~ d t.

Очевидно,

элементы

U j(s) — С (s) X/,

— оо < s

< оо;

/ = 1

, . . . ,

М

(где числовая функция c(s),

— оо <

s <

оо, интегри­

руема в

квадрате

и

почти

всюду

отлична

от 0,

а а'1(

. . . ,

хм — ортонормированный

базис в гильбер­

товом пространстве RA!), образуют максимальную

систему в L2(RM) с максимальным структурным ти­

пом

(см.

§ 2 гл. I).

В частности,

соответствующая

ства RM.

(1.8)

семейство

Н„

— оо <

В

силу соотношения

< t <

оо,

имеет тот

же

структурный

тип,

что и се­

мейство U t-Lt(R M ),

— оо < t <

оо,

тогда

и

только

тогда,

когда

n

^ = n

[ V

^ №

] =

°

(1.9)

(что равносильно условию Ft (/0) =

0 в точке t0 = — оо

для всех

j — 1,

.. ., М).

Обратимся

теперь

к самому стационарному про­

цессу

£(/), — оо < / <

оо. Следуя ранее предложен­

ному определению регулярности

(см. стр. 52), назовем

процесс | (/), — оо < t <

оо,

регулярным,

если

семей­

ство

— оо < ; <

оо, изометрично «стандартному»

семейству Ut — L2t (Rm), — оо < t <

оо. Выше мы полу­

чили фактически следующий результат.

| (t),— оо <

Т е о р е м а . Стационарный

процесс

< ^ <

оо,

регулярен

тогда

и

только тогда,

когда

условию (1.9)).

Как мы знаем, в этом случае семей­

ство подпространств # ,(|),

— оо < t <

оо, изометричио

семейству Ut =

Е] {Rm), — оо < t < оо,

где Rm — гиль­

бертово пространство размерности М (М — кратность

обновляющего

процесса

для

£(/),

— оо <

t <

оо,

a Li(R\1) — подпространства в функциональном

про­

странстве L2(RM), состоящие из функций u{s),

— оо <

< s < оо, равных

0 при s > t).

Покажем,

что

существует

обновляющий

процесс

— оо < а, b < оо;

/ = 1 , . . . .

М,

обладающий

сле­

дующим свойством:

Е ,[Х , (b) - X, (a)] = X,(b +

t ) ~ Xj (а + t),

(2.3)

— оо < t <

оо,

где Et— унитарные

операторы

в

пространстве

Н (Q,

связанным с процессом £(/),

— оо <

t <

со.

Сначала покажем, что группа унитарных операто­

ров

Е„ — о о < ^ < о о ,

изометрична

группе унитар­

ных

операторов

в

функциональном

пространстве

U — L2(RM), имеющих

вид

VtTt, где

Tt— оператор

сдвига:

Ttu(s) — u(s — t),

— оо <

s <

оо,

a Vt, — оо < t <,

оо,

— некоторая группа

унитарных

операторов в гильбертовом

пространстве

RM, дейст­

вующая в L2(RM) по правилу:

{V,и) (s ) =

Vtu (s ),

— оо <

s <

оо.

странстве

U на подпространства

Ut = L2t(RM), — оо <

< t < со,

то будем иметь

Q t+s= TsQtT7',

Pl+s =

EsPtE7',

(2.4)

— оо <

s, t < оо

§ 2]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА

73

Очевидно, унитарный оператор (X ~lEsX)

T-S =

VS об­

ладает

тем свойством, что

VsUt — U„

— o o < t < o o ,

(2.5)

а как

мы

знаем,

этим

свойством

обладают

лишь

«операторы

умножения»

на унитарный множитель

(в гильбертовом пространстве RM)\ см. формулу (2.21)

на стр.

55. В итоге получаем, что

X ~lEsX -

VSTS,

— оо < t < оо.

Очевидно, для любых s', s" операторы W

и 7>

перестановочны.

ортонормированный

базис jc,, ...

Возьмем

теперь

. . . ,

хм в гильбертовом пространстве RM и рассмот­

рим

функции интервала

А =

[а, Ь)

со

значениями

в функциональном пространстве U =

L2(RM), опреде­

ленные следующим образом:

{xbj — x°){t) =

Vtxr %L\{t),

— оо <

t < °о,

(2.6)

Хд (*) =

1

при

feA , хд (0 =

0

при ^ Д .

Очевидно,

V JsW

~

xi) =

Уs [Vt-sxi ‘ Хд (t -

s)] =

= V

r

W ' ) =

A1+S- - V/+S.

ортогональны в L2(RM), если

интервалы A1= [ai,6i),

До = [а2, Ь) не пересекаются,

а при различных / они

Кроме того,

поскольку при любом s

элементы Vsxt,

j — 1.........М,

образуют ортонормированную систему

в гильбертовом пространстве L'Z(RM), функции'

x'i — х° =

v sxi ■ 7д (s).

— оо < S < оо, Д = [a, b),

— ОО< а; b <

/ = 1, . .., М,

порождают

все подпространство

Ut =

L2i (Rm'). Поло­

жим

х , (b) -

Xj (а) = X [х) - xf),

j =

1.........М, (2.7)

где, напомним, X есть

унитарный оператор из U =

— оо < ц; Ь < оо,

является обновляющим

процессом

для £(/),

— оо <

/ <

оо. При этом

Е,[Х1(Ь )-Х 1Щ = Е1Х (х>-х') =

= Ц v, т, И — jfl] = х ( х **'— .1-;.) =

=

X j {b + t) — Xj (a -f-1),

так как по определению оператора

Vt

а кроме того,

х - 'Е .х = V,T„

\\Х1(Ь) — Х 1(а)\? = Ь — а,

/ = 1 , . . . , М . (2.8)

Таким

образом,

построенный

нами

обновляю­

ционарным процессом £(/), — оо <

/ < оо

*).

*) Другой метод построения обновляющего

процесса был

предложен Ханнером в одномерном случае,

dim R = I

(О. Н а п-

ne г,

Deterministic

and non-deterministic stationary random

processes, Arkiv

for Matematik 1, 41 (1950),

161 — 177. См. также

G. К a I 1i a n p u г,

V. M a n d r e k a r, Multiplicity and

represen­

tation theory of purely non-deterministic

stochastic

processes,

Теория

вероят.

и

ее примем. X, 4 (1965),

614 — 644, где метод

Ханнера применяется к многомерным процессам).

§ 21

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВОЛЬДА

75

Т е о р е м а .

Имеет

место следующее канониче­

ское

представление-,

t

м

{КО,

-v-}= I"

S

ci (s — f) dX] (s).

- o o < t < o o .

(2.9)

—COj = I

(Обычно его называют представлением Вольда.)

Действительно, величину

(ё (0),

х} е Н0(£) можно

представить

в

виде

^

^

{£ (0), х }

=

f

V

C/(s)

^

( c),

где

о

м

— 00 /=1

I

V |

с . (s) [-(is < СЮ

(2.10)

— СО/а=1

(см.

формулу

(1.8)

гл.

I), и

в случае обновляющего

о м

t

м

= J V C/(S) dX'is + t ) -

J

t)dX,(s).

—CO/=1

—oo /=1

П I V

1 -

0.

t

l.j<<

J

Докажем следующее предложение *).

*) По-видимому,

впервые

это

предложение

появилось для

случая дискретного

времени

в

статье

Ю. А.

Р о з а н о в а ,

цессов

с дискретным временем, Успехи матем. наук XIII, 2 (80),

(1958).

Одновременно для

н е в ы р о ж д е н н о й спектральной

плотности

проблема

факторизации рассматривалась

в работах

Винера

и Мазани, а также

Хелсона п Лоуденслегера

(N. W i е-

пег,

Р.

M a s a n i ,

The

prediction theory of multivariate stoc­

hastic

processes. II, Acta

Alatli. 99 (1958); H. H e 1s о n,

D. Low-

den

s I a g e r,

Prediction

theory and Fourier series

in several

variables,

Acta

Math. 99

(1958)).

76

РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. HI

/я = ф1 'Ф а- — о о < А < о о ,

(2.11)

ФЛл' е L2(R) для всех х е К ,

причем

ОО

I" <г~ш флл: й% = 0

при t > 0.

(2.12)

— со

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

определенную

почти всюду функцию

м

их(s) =

2

Cj (s) X/, —00 <

s < ОО (Ux (s) = 0 при s >

0),

где .v,,

. . . , хл, — ортопормированный

базис

в

RM,

а коэффициенты с, (s), . . . .

см (s)

те же,

что и в пред­

ставлении

Вольда

(2.9)

для

компоненты

{&(/), х)

{

оо

м

Л!

^напомним , ЧТО

J

У ]| C, (s) fd s

<

оо, V | Cj(s) |2 <

oo

—oo

/=1

/=1

при почти всех s и функция их (s) е

L- (RM)j . При усло­

вии (2.8)

из формулы (2.9)

следует, что

00

E {s (0 ,

х) • {£ (Д),

у } =

[

{^x(s — ti),u y{s — i2)}ds.

Положим

—оо

оо

фх (А) — aL_ j

easux (s)ds,

— оо < А <

оо.

—оо

Легко

видеть,

что

соответствие

элементов

{£ (t), х

где ф^—'оператор

из RM в R,

сопряженный к срА;

Фа, удовлетворяет условию (2.12), поскольку

о

Фа* = Т 7 =

J еа *их (s) ds,

их е= L2 (RM).

“*(*)= ykr

I е~Ш<&х d%,

xe=R

— со

(их (/) =

0 при

t >

0),

будем

иметь

СО

Е (ё (а),

л-} {£ (b), г/} =

J

ei%{b~a) [fKx, у} йК =

— со

со

со

=

J

Ф , у ) ^ =

J (7 > ,(/), Tbuu(t)}dl,

— оо

— со

ческие классы Н &, 6 = 1 ,

2, операторных функций

1\,

— со <

Я <

оо, значения которых суть линейные

опе­

раторы

в

гильбертовом

пространстве (Г\:

R '—> R").

Будем говорить, что функция 1\, — оо < Я <

оо, при­