Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ	ОБНОВЛЯЮЩИХ	ПРОЦЕССОВ	29
с тем	же структурным	типом dF (t)	и той же	крат
ности р, что и максимальная система %j, / = 1, .				. р,

может быть дополнена выбранным ранее элементом х,

и, таким образом,		в Я (\|) найдена система уи . . . ,			ур, х
кратности	р + 1 ,	большей,	чем	максимальная	крат
ность р,	что невозможно		(см.	неравенство	(2.6)).

Следовательно, предположение о том, что Я (г|)=И=Я (£),

является неверным, и тем		самым теорема	доказана.
§ 3. Некоторые	примеры	обновляющих	процессов-
1. Марковские процессы. Мы рассмотрим ниже
два важных класса процессов — марковских				и ста
ционарных в широком смысле.
Многомерный	случайный процесс КО =			(!г (0}"'

называют марковским в широком смысле, если для любого t проекции Pfo (t + h) величин £г (t + /г), /г^ О, на все «прошлое» Ht{|) принадлежат замкнутой

линейной оболочке значений					\|;(0> г = 1 ,			>п.
Ограничимся			расмотрением			лишь конечномерных
процессов. В	этом случае для любого s < K
		т				/ =	1, • • •,		(3.1)
Psh ( t ) =	h		Cij(t,	s)l,(s),				m,
		/=i
где коэффициенты Cij(t, s)					легко определяются				по
корреляционным			функциям
s) =			E g ;(0 M s)’		0	/ =	1 , • ••,	т .
Например, в		случае		л и н е й н о			н е з а в и с и м ы х
значений \| ; (s),		/ = 1, . . . , т ,			когда матрица В (s,				s) =

= [Bij{s, s)} является невырожденной и существует

обратная матрица В (s,		s)-1 =	{bkj (s,	s)}; коэффициенты
в выражении (3.1) можно найти по формуле
Cij(t, s) =	2 Blk (t,	s) bk, (s,	s),	i, j — l, . . . , in.
	k	1
Согласно	общему предположению (1.1)
limPsg,(0 =		E<(0.
S~>t

30		ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ		[ГЛ. I
и	в	случае линейно независимых значений		£; (0,
г =	1,	т , имеется некоторый интервал
такой, что величины
		Л^ (^) == ^ sh (0 ^	1) • • • >

образуют	базис в линейной оболочке значений h (s),
i = 1,	in.	Поэтому	ортогональное	дополнение
Ht&) Q HtAl)		к подпространству Я ;,(\|)		в	простран
стве Я,(£), порождаемое всеми величинами
li(s) — Ptlli(s),			г = 1,	. . . .	т ,

совпадает с замкнутой линейной оболочкой величин Л; (s) — Л/ (0 = Лг ( s ) ~ Pt^t (s).

Случайный процесс ц (s) = {ц,- (s)}"\ ^ s ^ t, является

процессом с некоррелированными приращениями и обладает тем свойством, что

№ 0	Я „ (I) = Я 5з (п) ©	я 5, (т,)	(3.2)
при любых	и в этом	смысле является
о б н о в л я ю щ и м	процессом для	\| (s) =	{\|,- (s)}"1,

(Можно затем перейти к обновляющему процессу с некоррелированными компонентами и упорядоченными структурными типами, как это сде лано в примере на стр. 22.)

Простейшим примером марковского в широком смысле процесса может служить многомерный про

цесс I (t) = {£( (/))!”, t > tQ, удовлетворяющий системе

стохастических дифференциальных, уравнений вида

d £ i{t)= 2 Лг/(0 1 /(0 ^ + *1г(0>

i =

in, (3.3)

/ = i

или, в матричной форме,

£$(/)= л(ОКО Л + *1(0.

где A{i) = {Atj(t)} — непрерывная матричная функция

(неслучайная), а л (0 = (Лг (0)Г>	— процесс с не
коррелированными приращениями.

5 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ

Решение системы (3.3) при заданных начальных

значениях |

(/0) =

{£г (to)}",

точнее,

решение интеграль

ного уравнения

I ( 0

I (/о) +

J А (s) I (s) ds +

[Г)(/) -

Т) (/о)], t >

t0. (3.30

может

быть представлено

в виде

№

= R (t, to)

l (to) +

J R (t,

S) dr] (s),

(3.4)

t„

где

m X m-матричная

функция

R(t, s) — {RiJ (t,

s)},

t ^ s , — так

называемая

р е з о л ь в е н т а — есть

ре

шение обыкновенного

дифференциального уравнения

dR (t,

A(t)R(t, s),

t > s,

с начальным условием матрица). Действительно,

имеем

R(t, s) — I-f [ s

R(s,	s) — I (/ — единичная
по	самому определению

A(u)R(u, s)du

И
J R (t,		t Г			t
J R (t,	s) rfi] (s) =	J	/	+ J A (u) R (u,				s) du	dr] (s) =
tti		fa		S
= [л (0 —Л (to)] +				t Г t
= [л (0 —Л (to)] +			\|	J A (u) R (u,				s) du	dr] (s) =
			^0	S	j	t	Г и	-
						t	Г и
	= h (t) — Л Vo)] +					A (u)	J R(u,		s) dr\ (s) du.
Видно,	что						^0
Видно,	что
	!(/)	= {	R(t,		s) dr](S),		t ^ t 0,

32 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I

есть решение интегрального уравнения (3.3') с на

чальным

значением

|(/0) = О;

разность

же

x(t) =

= 1 ( 0 — l{t),

t > t 0,

как решение однородного

диф

ференциального

уравнения

dx (t)/dt = А (/) х {t)

с на

чальным условием х (/0) = 1

(0 ) имеет вид

x(t) =

R(t, tQ)l(t0).

Предположим, что приращения г|г (t)—г)г (s),

/ ^ / 0;

г == 1 , .. ., in,

н е к о р р е л и р о в а н ы с начальными

значениями 1У(/0), / =

1, . ..,

т .

Тогда, если переопреде

лить процесс 1] (/) = {т|,- (О}',", t <

t0, точнее, рассматривая

вместо первоначального

процесса г)(0 ,

I <

to,

процесс

с некоррелированными

приращениями

г|(0 — il(0 ) +

-фКО), можно (не меняя обозначений) считать

Л; (0) =

£; (0).

(3.5)

и переписать

выражение (3.4) в

виде

R(t, s)dp(s).

(3.6)

Очевидно,

подпространства

Н ,{г|)

порождаются

значениями

1 ,-(0 )

приращениями

rp (s)— т)г (tQ),

/ 0 <

Используя тот факт,

что резольвента R{t, s)

удовлетворяет условию

h, t) ■ R (t, s)

R(t +

h, s) =

R{t +

при всех

t ^ s и /г^О ,

из

формулы (3.6)

получаем,

что

R[t + h, t) l it) =

J Rit +

h, t) R it,

s) dri is) =

J R{t +

h, s) dц is)

H t-\r h) —

R it +

t) l it) =

R it +

s) dr\ (s).

Видно, что разности

h it +

R ti it +

t) 1, it),

. .. ,

h) -

i =

/=1

§ 3] НЕКОТОРЫЕ "ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ

ортогональны		подпространству				//,(£)>	т. е. величины
т				t	т
У) R i i	(/'+	h, i) ls (t) =		J	У) Rit (t +		h, s) dx\j (s)
M				<=■ /=■			h), i =	1 ,. . m,
являются проекциями значении h (l +
на подпространства			Ht(£) s H, (ц).
Таким	образом,		процесс			\| (/) — {h (/)}"'» t^ to ,
является м а р к о в с к и м				в широком			смысле, а фор
мула (3.6)	дает нам		его	к а н о н и ч е с к о е				предста

вление с помощью описанного выше (см. (3.5)) про

цесса Л (0 =		{11г (0 )\| . t > t 0,			с	некоррелированными
приращениями.
Очевидно,			Я ,(т])е	Я ,(\|)	(см. (3.3')),			т. е. этот про.
цесс является			о б н о в л я ю щ и м				для	%(/.) — {£,• (t)}™,
t ^ t 0, а именно,
при всех			я ,Ш = я,(л)
	t ^ t 0.
2. Стационарные процессы. Рассмотрим стацио
нарный	в	широком		смысле		процесс		\| (() =	(t)}™,
— оо < / <		оо,	т. е. такой,		что корреляционные функ
ции Bkj (t, s) =			Egfc (t)	(s)	зависят		лишь от разности
t — s:						k ,j = 1.........m.
Bk,(t, s) = Bkl(t — s),
Стационарный процесс\|(/) =						{£<(*)}",		— °° < t <	oo,
называют регулярным, если
			П Я Д \|) =			0.			(3.7)
				t

Как известно :i!), регулярный процесс имеет спек тральную плотность /(Я) = (/Й/(Я)); это положительно определенная, матричная функция от А,, — оо < Я < оо, компоненты /^(Я) которой связаны .с корреляцион ными функциями соотношением

		оо
	Bkj{t) =	J eaifkj(X)dlj, k, j =		Г, . . . . m.
*)	См'., например,		Ю. А. Р о з а н о в ,	Стационарные слу
чайные	процессы,	АЛ.,	Физматгиз, 1963. -

2 Ю. А. Розанов

34 ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. 1

Более того, условие (3.7) равносильно тому, что спектральная плотность /(Я) почти всюду имеет один

и тот же ранг п ^ т	и представима	в виде
f М =	Ф М • Ф М * п.	в.,	(3.8)

где т X «-матричная функция ф(Я) = {ф*/ (Я)} удовле творяет условиям

оо
I II ф (Я) \|\2dX <	оо,
“Г		(3.9)
\| еш ф (Я) dX =	0	при t < О,

—ОО

аф (Я)‘ обозначает матрицу, сопряженную к ф (Я).

Обозначим Н2 класс всех матричных функций Ф(Я), удовлетворяющих условиям (3.9). Преобразо вание Фурье

со

C{t) = ^ \	elMy (l)d l	(3.10)
—00
функций из Н2 обращается	в 0 при / < 0	и

оо

Ф (Я) = [ е~ш с (t) dt o'

аналитически продолжается в нижнюю полуплоскость 1 т Я < 0 комплексного переменного Я.

Отправляясь от спектрального представления

оо
U (t )= \| е ш ЙФИЯ),	/2 =	1 , . . . , т ,	(3.11)
— ОО
где Ф(Я) = {ФА(Я)}™, — о о < Я < о о ,		— процесс	с не
коррелированными приращениями, такой, что
р
Е Ф (ц )Ф /(ц )= \|//(Я )й Я ,	k , j = l , . . . , m ,

§ 3] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ

можно получить следующее выражение для рассма триваемого стационарного процесса:

		t	п
Sfc(0	=	J	/=1	(3.12)
		—00	/=1
где	т	X л-матричная функция с (f) == {cft} (t)},		О,

есть преобразование Фурье матричной функции q?(A) = = {фАу(А)} класса Я 2, удовлетворяющей условию (3.8), а сам стохастический интеграл в правой части вы ражения (3.12) отвечает н е к о р р е л и р о в а н н ы м приращениям

Ч у (*)-Л /(5 )= { ^ = ^ - ф ( Я Г '^ Ф ( Я ) , (3.13)

—оо

/= 1 , . . . , п.

Уточним здесь, что,	во-первых,	<р(А,)- 1 есть	п У т -
матричная функция,	о б р а т н а я	к ф(А.) (т.	е. про
изведение ф(А,)- 1 cp (X)	есть п X «-единичная матрица),

и, во-вторых, для непересекающихся интервалов (s,, г1,)

и (s2,to) величины Л /(0)— Л /^ )	и Л/ (0) — Л/ (5г) не"
коррелированы, причем
Е\| Л/(О — Л/(5) \2== t — s,	/ = 1 , . . . , « , (3.14)

а величины лй (А) — Л* (si) и Л/(0) — Л /Ы некоррелированы, для л ю б ы х интегралов, если k ф /. Можно рассматривать выражение (3.12) как неупреждающее линейное преобразование /г-мерного обобщенного про

цесса л(/) = (л/ (0 }" типа ^белого шума», переписав

(3.12) в виде

-	1 ( 0 = J с (t — s) л (s) ds.	(3.15)
	— оо

Обозначим Ht{л) подпространство, порожденное всеми величинами Л /(0— Л/ С5)» / = 1 , . .. , / г, и Q, — оператор проектирования на Я,(т)). Поскольку

Я Д л ) э Я <(|), — o o < t < o o ,

36- . ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. I.

имеют место следующиенеравенства:					для--любого
!г > О
h	т	п	т
J	- S	S	1СЫ (s)-р d s = = S	Е 111* + /г) -	(* + Л) I2 <
о	f c = l = 1у		= 1	й

< 2=1 е | ы * + а) - Л £ * (* + а)Р,

где Р,, как и раньше, обозначает оператор проекти рования на подпространство #,(£)• Если допустить, что среди матричных функций ср (А.) класса Н2, удо влетворяющих условию (3.8), найдется функция ср°(А), для которой соответствующие приращения r)°(f) — r|°(s),

/ — 1 , . . . , п, дают равенство

					=					(3.16)
							оо
то	матричная			функция с°(*) =		- ^	\|	еш ц>°(А) rfA		по от-
ношению			ко	всем	матричным		— СО			c(t) —
ношению			ко	всем	матричным		функциям			c(t) —
		СО
=	2^- J еш ф(А)с!А				будет м а к с и м а л ь н о й					в том
		— СО	что
смысле,			что
h	т	п			т	+/i)-w*+A)p>
J S 2K/wPds=2 E\|^						+/i)-w*+A)p>
о	k=\	1=1			k=\		h	rn	n
							h	rn	n
						>	\	S	J l \ckl(s)?d s
							0	k=] /=1
при всех			/г^О . Такая функция ф °(А )еЯ 2 действи

тельно существует и определяется Teivx условием, что она м а к с и м а л ь н а в прямом смысле этого слова:

п	т	п	т
11ф°(А)\|\|2= 2	2	\|ф^ ( а) \| * > 2	2 1 ф й/ М1 2 =\|\|ф(А)\|р
k—\ j= l		k=\ f= l

(3.17)

при всех комплексных А, 1 т А < 0 .

Фактически мы уже описали обновляющий про цесс, задав соответствующие приращения n]°(i) — ri°(s),

'§ 31 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ОБНОВЛЯЮЩИХ ПРОЦЕССОВ

j — 1, т . Как показывает общая формула (3.14), кратность М обновляющего процесса равна п — рангу спектральной плотности /(Я):

М— п,

ав упорядоченной системе структурных типов

dF[(t)i> . . . > dFM(t) (см.	(2.4))	все dFt (t)	эквива
лентны лебеговской мере
d F){t)~dt,	/ = 1.........	М.	(3.18)

Несколько иначе обстоит дело, если стационарный процесс I (/) = {£( {t)}"\ — оо < t < оо,' рассматривается лишь на к о н ё ч н о м интервале t0< t < Т (или при

t > t0).

Поясним это на примере одномерного стационар ного процесса £(/) со спектральной плотностью вида

f W = 2n\P(i7.)\2 ’	(З Л 9 )
П

где	Р (z) =	2 Pkzk — полином степени				п, все корни
которого		к=о	в	левой полуплоскости			R e z < 0
		лежат
(в частности, р0 Ф 0).				В	этом случае	максимальной
функцией, удовлетворяющей условию (3.8),							будет
			ф М — рцх) ■
а формула		(3.13)	дает
		’ еш —eiXs			Р (г'Я) dO (Я) =
й (t)	1l(s) =		i%

„ш

a	■ p0 dO (Я) +

n—I

+| ( е ш ^ е ^ ) 5 ] р А+,(/Я)^Ф (Я) =

—oo	&=0
1	n—1
:P o\| Uu)du +	% PH.l W *>(t)-Zw (s)l- (3-20)

k = 0

ОБНОВЛЯЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ

[ГЛ. I

Если это соотношение переписать в дифференциаль ной форме

dr\ (t) = S Pkl{k) (0 dt + pn	(0,
A=0

то легко заметить, что многомерный процесс ( it (t))nir t^ s t0, с компонентами

=k = l .........n,

удовлетворяет системе стохастических дифференциаль ных уравнений типа (3.3), а именно,

dU {t) =	lk+i(t)dt,	k = \ .........п — 1 ,
				(3.21)
»	= ("ЙГ £	w	dt +	— dr\ (/).
»	= ("ЙГ £	w		Pn

'/;=1

Кроме того, как и в случае общего стационарного процесса, определяемые выражением (3.20) величины

т](/) — г)(^о). t ^ t 0,		ортогональны к замкнутой					линей
ной оболочке всех значений £(s),						и,	в част
ности, к величинам
lk(t0) =		lik- l)(t0),			k = \ .........п.		(3.22)
Таким образом, многомерный процесс (tfc(0}">
принадлежит к тому типу,						что был уже рас
смотрен нами, и		из	полученных			выше результатов
(см. стр. 33) следует,			что в рассматриваемом случае
о б н о в л я ю щ и м		для		[£й(/)}р		будет процесс
(Л* (*)}", t > t 0, с компонентами
T)k(t) =	U ( t o ) ,			k =	l .........п — 1,
Л» (0 =	Л (0 — Л (*о) +				In (to)-
Очевидно, этот же процесс будет						о б н о в л я ю щ и м
и для исходного		стационарного процесса \|(/),					t^to-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб13Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб38Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб9Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб2Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб2Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf