Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

4.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

§4]

УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ

,v (А) е А (А) на подпространство, порожденное конеч

ным числом величин а, (А,), аг (А), имеет вид

хг (А.) = 2 ср(А) ар(А.), где коэффициенты с, (А,), . . . , сг(А)

p = i

как функции от А являются измеримыми в силу того, что ДЛЯ любых функции А-(А,), у (А.) е L2 (R) скалярное произведение (а (А), у (А,)) является измеримой функ цией от А. Мы показали выше, что ar ( J ,) e L Но при каждом фиксированном А

		\|\| а (А) — аг (А) \|\|2 —> 0				при		г —> ОО,
причем		\|\| а (А) — хг(А) \|\|2 < \|\| а (А) \|\|2,					и	следовательно,
		ОО
		) II а (А) — аг (A) IP dk —> 0					при		г —> оо,
		— ОО
так	что a (A)e		L	Лемма доказана.
Согласно			этой		лемме	подпространство				Н =
=	V	eatfx2R s			L2 (/?) состоит из				всех тех	функ-
— со < t		< оо		значения		которых			удовлетворяют
ций	A (A )e L 2(i?),			значения		которых			удовлетворяют
условию					____					(4.8)
				x{k)<=f%2R п . в .,						(4.8)

и условие регулярности (4.5) можно выразить сле дующим образом:

	Д (А) = f][2R п. в.,		(4.9)
где Д (А),	— оо < А < оо,	обозначает	пространство-
функцию,	порождаемую	подпространством Д =

= Я 0 Я ОЕ 1 2№ Предположим теперь, что существует некоторая

операторная			функция ф^ класса		Я 1:
		со
	J		е~ш {о\|да, y}dk = 0		при t < О
	— со
для	всех	а,	у <= R,	удовлетворяющая		требованиям
(4.3),	(4.4).	Очевидно,		функция а (А) = ^		>12т\\х е L2{R)

удовлетворяет условию (4.8) и, следовательно, при надлежит подпространству Н = V ea ‘f'fcR. Кроме

— оо < / < 00

9П РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. III

ТОГО,

СО		со
J	е~ш (a-(A,), f'l’ tj} dX =	[ е~ш {i^ a, у] с?А=0 при t < 0 ,
— со		— со
т.	е. функция а (А),	— оо < А < оо, ортогональна

подпространству Н0— V eatf'J2R', иначе говоря, функ-
	t <0
ция а (А) = /я"1/2	— со <	А < оо,	принадлежит под
пространству A — H Q H 0. Поэтому
	= Д(А) Е J f R		п. в.,
и в силу соотношений (4.3) получаем, что
	Ш = №	п . в .,
откуда следует условие регулярности (4.5).
Теорема полностью доказана.
2. Некоторые	выводы	и примеры. Остановимся

подробнее на предложенных выше условиях регуляр ности (4.3)—(4.4).


Рассмотрим				конечномерный		случай, dim R = N.
Будем		считать,		что в унитарном пространстве R
выбран		некоторый ортонормнрованный						базис	хи ...
. . . ,	a;V и		спектральная плотность fK задана соответ
ствующей			матрицей		/(А) = {fkj (А)}		с	компонентами
/а/ М =		{/**. /},		к,	/ '= 1, . . . .	N-
В	одномерном случае, d i m / ? = l ,						условия		(4.3) и
(4.4),	очевидно,			означают, что		с к а л я р н а я			спек
тральная			плотность /(А) должна быть					отлична от 0

почти всюду и для некоторой скалярной функции ф(А) класса Я' • оо

/I Ф(А) |2/(А)-1 dX < оо.

—СО

Отсюда	следует, что
оо
j" log [	Iт\|> (А) \|2 [ (A)-1] ^	_
	СО		ОО
	log I Ф (А) \|2		_
	1 +	A2	ClK

—00

§ 41	УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ	9L
§ 41

и поскольку для функции ф(А) класса Я 1

СО

I log IФ W I2 1
1+ V	-dk <

мы приходим к хорошо известному условию Колмо горова — Крейна *):

	г ^	л>—.			(4.10)
В случае произвольного конечномерного процесса
с о б р а т и м о й	п. в.	спектральной	плотностью /( X)
условия (4.3)—(4.4) означают, очевидно,				что	суще
ствует н е в ы р о ж д е н н а я N X, N матричная					функ
ция ф (к) —	(А,)} с	компонентами	из	класса Я 1,
для которой

оо

f S p h ( k ) r ' ( b ) ' H W ] d k < c o .

Отсюда	следует, что
log del [i]; ( к )		/ (Я) i\|)	(Я)’ ]	__
	1+	Я2		а
	СО			W
=	[ l0g 1,с1^		,	d k - [	ОО,
	—оо			—оо

и поскольку для матричной функции ф(Я) класса Я 1

J |logl1d^y) dk < оо,

*) В цитируемой ранее работе Колмогорова (см. сноску на стр. 71) получено условие регулярности для одномерных ста ционарных процессов с дискретным временем; на случай непре рывного времени оно было обобщено Крейном (М. Г. Кр е й н , Об одной экстраполяционной проблеме А. Н. Колмогорова,

ДАН СССР 46 (1944), 306-309).

92 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ill

мы приходим к хорошо известному условию регу лярности *)

log det / (Я)	— оо.
J 'l + Я2 d X >		(4.11)

Отметим, что это условие равносильно следующему:

	Н/гТ1	>	— оо,
	1 + Я2
поскольку
log det f (X) =	N	I o g \|^ '\|		=logw ,(A ,),
log det f (X) =	Д] log mk(Я),	I o g \|^ '\|		=logw ,(A ,),
где nil (X) ^	••• ^ m iV{X) — собственные				значения
спектральной	плотности Д.
Для регулярного стационарного процесса ранг
спектральной	плотности f{X)		п. в.	равен	постоян

ному М (см. теорему § 3). Следовательно, хотя бы один из ее главных миноров порядка М отличен от О на множестве положительной меры. Пусть это будет


определитель			М X М-матрнчной			функции		fM(X) =
= ( /v ,W )		с	элементами		fkpkq (X) = [fKxkp,			р,
q = 1,	. . . , М.		Обозначим		RM подпространство в R,
порожденное			элементами		xk ,	р =	1........./VI.	Оче
видно,	/л[ (X)	является (матричной) спектральной плот
ностью	М-мерного			р е г у л я р н о г о			процесса	с ком
понентами		{I (t),		х}, х е	RM,	и,	следовательно,

det fM(X) ф 0 не только на множестве положительной меры, но и почти всюду. Как мы только что отме чали, в случае обратимой спектральной плотности f/и М

*)	Для случая дискретного времени это условие было пред
ложено в заметке В. Н.		3 а с у х и н а, К теории многомерных
стационарных процессов,		ДАН СССР 33	(1941),	435—437. Слу
чай непрерывного времени		рассмотрен в	работе	Е.	Г. Г л а д ы-
ш е в а,	О многомерных	стационарных	случайных		процессах,
Теория	вероят. и ее примен. III, 4 (1958),		458—462.

§ 4] УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ 93

ее наименьшее собственное значение т (Я) удовлет воряет условию

log т (Я) dX > — оо.

1 + Я2

При этом, очевидно,

мм

т (Я) =

inf

h nk„ м

°р

q=l

Р=\

р *

inf

II/ус II-

inf

fjkp М ср

/=1

p= i

л: s=

RM, ||.i||=

^ 1"р 13= 1

Рассмотрим

теперь подпространство

fxR =

R Q Rx,

где

Rl — нулевое

подпространство для

положитель

ного

оператора

/у

Поскольку

dim fxRM= dim fxR,

имеем

fxRM=

п.

в.,

откуда

следует, что

проек

ция хх любого элемента л: е

RM, х ф 0

на

подпро

странство fxR отлична от 0 п. в.

Кроме

того, fxx =

— fxxx

для

x ^ R ,

и подпространство всех элемен

тов хх,

х е

R, совпадает

с fxR. Очевидно,

inf

II/у I K

inf

II/У 1=

* S V

i*'“ i

JCSV I I JtJ I “ ‘

I-1

inf

xt=fxR, M = 1

где, напомним, fK1 есть обратный оператор к поло жительному оператору fx в унитарном простран

стве f^R. Таким	образом,		т ( Я ) J fx l\|\|	п. в., и
следовательно, в регулярном			случае
J	1 + Я2	dX > — оо.		(4.12)
J	1 + Я2

— ОО

Как мы знаем, кроме этого условия для регуляр ности необходимо, чтобы существовала операторная

94 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. ПГ

функция	класса Н2,	обладающая			следующим
свойством:
Ф	f ; l l \ R = W		*	П. В.
Очевидно,	в к о н е ч н о м е р н о м		случае,		dim R < оо,
это равносильно условию
	=	п.	в.		(4.13)
Из предложенного нами общего критерия регу
лярности легко вытекает, что
совокупность условий		(4.12)— (4.13)		не	только не
обходима,	но и достаточна для регулярности конеч
номерного стационарного		процесса *).

Действительно, как известно, при условии (4.12) интегрируемая скалярная функция jf^'ll '(Ц/Т'!

< Ш | ) допускает факторизацию Цд-11| == | Q(А-) р с помощью некоторой скалярной функции класса Н2 (см. сноску на стр. 79), и если взять функцию ф (Я) = 0 (Я) ф (А), принадлежащую классу Я 1, то ока жется, что она удовлетворяет всем условиям (4.3)—

— (4.4), поскольку

I/х'Ч*I^ I			1/21'I9 МI' \|\| Ф;ДI < I Ф;Д'\|\|> * е= R.
Стоит отметить, что условие (4.12) равносильно
следующему:
	I		log det fM (А)			dk > — оо			(4.127)
			1	+ А2


для некоторого главного минора det fM(к)								порядка М
матричной спектральной					плотности f(k)			(ранга		М),
*) В случае дискретного времени аналогичные									условия
были предложены Хелсоном и					Лоуденслегером			(Н. Н е 1s о п,
D. L о u d е n-slager, Vector-valued						processes,	Proc. Fourth			Ber
keley Symposium		Math.		Statist.		Probability,	Berkeley,			1961).
Условия	несколько		другого типа были ранее найдены						Матвее
вым (Р.	Ф. М а т в е е в,			О регулярности многомерных					стацио
нарных процессов,		ДАН		СССР	126 (1959)).

§ 4] УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ 95

Вместе с условием (4.13) это позволяет, например, легко получить следующий важный результат: вся кий стационарный процесс, имеющий спектральную

плотность f (к) =				{/'/.; (А)} с рациональными элемента
ми fmW,	/г,	/ =		1.........N, является регулярным.
Остановимся теперь на некоторых особенностях
бесконечномерного					случая,	с1пп/? = оо.
Вообще говоря, условие (4.12) уже							не будет не
обходимым *)•			Например,			если взять	стационарный
процесс со		спектральной				плотностью	вида fx^k —
= М Ч * ь	/г =		l ,		2, . . . , где хи х2, . ..		— ортоиорми-
рованный базис в R и скалярные спектральные
плотности	fk (к),
				ОО
				Г	log ffe (Я.)	dk >
				J	1+я*

монотонно убывают таким образом, что

lim ^ g - d k - .

		& - > о о	1 “Г	л
то окажется, что,			хотя	процесс регулярен, условие
(4.12)	будет	нарушено.
В	то же	время	условие (4.12) в случае обрати

мой спектральной плотности fKявляется достаточным для регулярности**).


*)	Некоторый класс спектральных плотностей fx (обладаю
щих «скалярным кратным»),						для		которых условие типа (4.12)
является		необходимым условием					регулярности,			указан в книге
Б. С е к е ф а л ь в и - Н а д я						и	Ч.	Ф о я ш а,		Гармоническнн
анализ операторов в гильбертовом пространстве, 1970.
**)	В	случае дискретного				времени это фактически было до
казано	в	работе Ю. А.			Р о з а н о в а ,				Спектральная теория
многомерных			стационарных случайных процессов								с дискретным
временем, Успехи матем. наук						XIII, 2 (80). (1958),					93 — 142; см.
также:	A.	D е v i n a t z.			The	factorization of operator-valued
functions, Ann. of Math. 73 (1961),								458 — 495.
В	связи		с	условием	(4.12) следует упомянуть интересный
пример Лакса,			в	котором	(при	обобщении			его на случай пепре-

9 6	РЕГУЛЯРНЫЕ		СТАЦИОНАРНЫЕ				ПРОЦЕССЫ		[ГЛ. III
В самом деле, пусть					равномерно интегрируема:
			II f	( X)	\| \| ^ <
и при почти всех А существует							о г р а и и ч е н н ы й
обратный оператор				в	R (R =		fiR),	удовлетворя
ющий условию
		Г loS\|\|fя.11\|			d X > — оо.
		J	1 +	А2
Пусть					6(A)	,

				1 - /А ’
где 0(A) — скалярная				функция		класса		Я 2, фактори
зующая	интегрируемую функцию								^
<!\|\|^\|\|),	а I — единичный				оператор в R. Очевидно,
операторная		функция			класса Н 1(]Н2 будет отве
чать требованиям (4.3) — (4.4),						и следовательно, ста
ционарный процесс со спектральной плотностью
будет регулярным.			спектральная				плотность		fK при
В случае,		когда

почти всех А является обратимой на замкнутом под пространстве fKR (fKR c R ) , регулярность будет иметь место, если кроме условия (4.12) потребовать еще,

чтобы пространство-функция fKR, — оо < А <		оо, бы
ла «аналитической» в том смысле, что
hR = 4\R п. в.		(4.14)
рывного времени)
ОО
log h	d%> —cl,
1 + А2

где с — некоторая постоянная, а / — единичный оператор в гильбертовом пространстве R, и тем не менее, соответствующий стационарный процесс не является регулярным (Р. L a x , On the Regularity of Spectral Densities, Теория вероят. и ее при мет VIII, 3 (1963)).

§ fl	УСЛОВИЯ РЕГУЛЯРНОСТИ	97
(ср.с	(4.13)) для некоторой операторной	функции

из класса Н~.

Действительно, в качестве функции фъ удовлет воряющей условиям регулярности (4.3)— (4.4), можно

взять

Фх = 6 (Я) • ср(Я),

где скалярная функция 0(Я) класса Н2, как и прежде,

факторизует функцию \|/^ ‘ \|\|		(напомним,	что Д "'—
о г р а н и ч е н н ы й	обратный	оператор к Д на замк
нутом подпространстве ДД =		fk2R, так что fk'% kR =
= f\2R> если ф* я =	И -
В заключение выведем из наших условий регуляр
ности (4.3) — (4.4) одну теорему сравнения.
Для краткости	назовем	спектральную	плотность

регулярной, если регулярным является соответствую

щий стационарный		процесс.				плотности Д и
Предположим,		что	спектральные
gk при почти всех Я			имеют в гильбертовом прост
ранстве R	одни и	те	же	«нули» и,		более того, для
элементов	хпе R
	hxn-> 0 ~			gkxn -> 0.		(4.15)
Если Д регулярна, а
		g k > h		п. в.,		(4.16)
то спектральная плотность gk также регулярна.
Действительно,		при условии			(4.15)
причем				( =	* o .
		g ' f - c j H 2,

где Ск — о б р а т и м ы й оператор в						подпространстве

Rk (непосредственно из соотношения (4.15) вытекает,

что определенные	равенствами	Ckfk2x — g kl x и
/I/2-v> х е	операторы	Ск и С^1 являются

4 Ю. А, Розанов

98 РЕГУЛЯРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ill


н е п р е р ы в н ы м и				в	Rx). Поэтому			g'^2 =	и
/1/2=	^ /2(с 1)	'> откуда получаем,					чтоg f R = g f R %=
= f \ c \R ^ fT ~ R ’			и,	аналогично,			f'f-R^ g'f-R, т. е.
			f f R ^ g f R			и. в.
Для	регулярной		спектральной			плотности fK сущест
вует	операторная		функция			класса		Я 'П Я 2, удо
влетворяющая условиям (4.3) — (4.4).								Учитывая,	что
g ^ l/2 =		/д1/2,	где		С *— обратимый			оператор	(со

пряженный к (Д), приходим к заключению, что усло вие (4.3) выполняется и в отношении спектральной

плотности g(^):
( = №		) ,
g ^ H hR = (Cl)-' f ^	R	=	~g)PR.
Кроме того, поскольку gK~^\v	имеем		п' в>>

и следовательно, в отношении g{%) выполняется также условие (4.4)

СО с о

	J	I \|\|/г,/2М И < о о
	— оо	— со
при	всех	Таким образом, спектральная плот
ность g(X) является регулярной.
В	частности,	для конечномерного случая отсюда

вытекает, что если невырожденная спектральная плот

ность Д	является регулярной, то регулярной	будет
и всякая	спектральная плотность glt g к ^ /г	Для

бесконечномерного случая без ограничений типа (4.15) это, вообще говоря, уже неверно. (Именно, для всякой функции х {Х )^ Н °, х { к ) Ф 0 , где Н° есть замыкание в L2(R) подпространства всех функций g\[2x, — оо <

< %< оо, .у е ^ , в случае регулярности gK одномер ный «стационарный процесс» {еш , .v (Я,)} также регу-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20237.08 Mб15Рожков, Л. И. Средства радиосвязи учеб. пособие.pdf
#
19.10.20234.17 Mб11Рожков, Н. Г. Монтажник связи по линейно-кабельным работам.pdf
#
19.10.20234.09 Mб2Рожнов, В. А. Электрические системы автоматического регулирования на ирригационных каналах.pdf
#
30.10.202318.67 Mб41Розанов Н.П. Технология изготовления гребных винтов малых размеров.pdf
#
29.10.20232.94 Mб10Розанов О.Н. Новые пассажирские самолеты.pdf
#
23.10.20234.01 Mб3Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов.pdf
#
23.10.20237.96 Mб11Розанова Е.П. Микрофлора нефтяных месторождений.pdf
#
30.10.202316.46 Mб2Розенберг Г.В. Сумерки.pdf
#
23.10.20234.15 Mб3Розенберг Е.Х. Горючие, тепловые отходы и энерготехнологическое комбинирование в фосфорной промышленности.pdf
#
29.10.20238.74 Mб10Розенфельд, Ш. Л. Развитие и размещение промышленности строительных материалов СССР.pdf
#
29.10.202310.18 Mб13Розенцвейг Я.Д. Краткий справочник ферросплавщика (для рабочих).pdf