книги из ГПНТБ / Розанов Ю.А. Теория обновляющих процессов

где коэффициенты хк есть элементы из гильбертова пространства R, а числовые функции ck(t) фи н и т н ы (обращаются в 0 вне конечного интервала) и удо-

т

влетворяют условию J | ck(t) f dt < оо. Обозначим U°t

Очевидно, замыкание U°t в U представляет собой

(£, и), и е U°t (напомним, что мы считаем корреля­ ционную функцию В (s, t). слабо непрерывной, а это

равносильно непрерывности в среднем квадратичном всех компонент{|(0, х}, t0< t < Т, исходного процесса).

Далее, из формул (2.4), (2.7) легко вывести, что

Е(!> u ) ( l , v ) =

to t(j

и если предположить выполненным условие

to U

то обобщенный процесс (|, и), и е U0, по непре­ рывности* может быть продолжен на все гильбертово пространство U = L2(R), а ограниченный положи­ тельный оператор В с ядром B(s, t):

г

будет к о р р е л я ц и о н н ы м для £(//), u<=U.

Как уже отмечалось выше (см. (2.3)), вопрос о том,

— ° о < / < о о , с компонентами {§(/), х}, x ^ R , которые являются с т а ц и о н а р н о с в я з а нными в обычном смысле процессами. Условие стационарности состоит в том, что корреляционная функция B{t, s) —см. (2.4) — зависит лишь от разности t — s.

Предположим, что имеется спектральная плот­ ность fK, — о о < А ,< о о ,— измеримая операторная функция в гильбертовом пространстве R (при фиксц-

§ 2] Не к о т о р ы е м о д е л и с л у ч а й н ы х п р о ц е с с о в Й1

рованном К представляющая собой положительный

где й(К) обозначает преобразование Фурье соответ­ ствующей функции и е U0, а именно,

А — ОО

при u (t)= '2 jX kCk(t), — 0 0 < / < 0 0. k

Удобнее перейти к новому параметрическому про­

странству, взяв вместо t/° пространство U0 всех функ­ ций й (Я,), которые связаны с функциями и (t) е С/° с преобразованием Фурье, и положив

ром «оператор умножения» на спектральную плот­ ность f}:

[Вй] (Я) = кй (Я), — оо < Я, < оо. (2.15)

лучаются преобразованием Фурье (см. 2.13)) функций

и VI — оо < t < оо, унитарно изоморфны. Как пока­

на спектральную плотность f\ семейство #,(£) будет того же типа, что и описанное выше стандартное семейство Ut, — оо < t < оо (см. (2.6)), является част­ ным случаем общего вопроса об изометричности

семейством подпространств £/?, t o < t < T , и рассмо­ трим соответствующее семейство Н,{£), t0< t < T (напомним, что #,(£) обозначает замкнутую линей­

ную оболочку всех величин £(ы), Положим Ut — U? и будем считать, что пространство U совпа­

дает с замыканием объединения всех подпро­ странств Ut, t0< t < Т.

■Назовем процесс (|, и), и е £7°, регулярным, если

семейства #,(£) и £7t, t0 < t < T , изометричны:

в пространство Н (Q — замкнутую линейную оболочку всех величин g(u), u<=U°.

Будем говорить, что оператор В допускает соб­ ственную факторизацию, если он представим в виде

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как уже отмечалось, семей­ ство Н,(|), t0< t < T , изометрично любому семейству

прдпространств вида AU°t, t0 < t < T , где А — линей­

ный оператор, определенный на U0 и удовлетворяю­ щий условию А*А = В. Поэтому если процесс (|,_и),

и е U0, регулярен, то семейство подпространств AU°t,

t0< t < T , где А = в'12— положительный квадратный корень из корреляционного оператора В, изометрично

удовлетворяет условиям (2.18), (2.19).

С другой стороны,' если корреляционный опера­

доказано, регулярность равносильна изометричности семейств AU°( и Ut, t0 < t < T (для какого-либо А,

А"А — В). Следовательно, если корреляционный опе­ ратор В допускает собственную факторизацию, то процесс (I, и), и е U0, является регулярным.

54 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ [ГЛ. Ц

Как показывают приведенные ранее примеры, отнюдь не всякий оператор В допускает фактори­ зацию.

По поводу факторизации отметим также следую­

(см. (2.19)) имеем CU° = С,£/° = U, и, следовательно, оператор X однозначно продолжается до унитарного оператора на всем пространстве U. Кроме того, по­ скольку для любого и е ( / , найдется последователь­

ность ы„ е (/?, п — 1, 2, . . . , такая, что и = Пт Сип, то

Xu = Пт ХСип — Пт С,н.„ е U

Таким образом, при условии (2.19) факторизую­ щий оператор С в соотношении (2.18) определен одно­ значно с точностью до унитарного множителя X, удовлетворяющего условию

Для заданного семейства U0, t0< t < Т, со струк­ турными типами dFt ( / ) > •... ^ d F N(t) можно исполь­ зовать следующую стандартную модель: U—простран­ ство векторных функций ы (0 = {и* (0)м tQ< t < T , с компонентами uk(t),

§ 2] НЕКОТОРЫЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 55

семейство Ut, t0< t < T , в функциональном простран­ стве U реализуется как семейство подпространств

Ut = {u{s), t0 < s < Т: u{s) — 0 при s > t)

(см. по этому поводу § 2 гл. I). Обозначим Е N-мерное векторное пространство с обычным скалярным произ-

^ — подпространство в нем, образованное векторами л: = {х*}^ с компонентами

хк = 0 при dFk(t)/dF{ (t) = 0.

Пусть X — унитарный оператор в U, удовлетво­ ряющий условию (2.20). Тогда при всех t

tN

\^ ( X u ) k(s)-(X ^U d )d Fl (s)==

и ft=l

где Xt при фиксированном t есть произвольный уни­ тарный оператор в подпространстве Et векторного пространства Е (необходимо только, чтобы оператор­ ная функция Xt) t0< t < Т, была измеримой).

56 РЕГУЛЯРНЫЕ ПРОЦЕССЫ (ГЛ. II

§ 3. Одна теорема о факторизации

Нашей целью будет здесь доказательство следую­ щего предложения *).

относительно любого семейства подпространств Ut, t0< t < T .

Предварительно отметим, что оператор В допускает факторизацию (3.1), если он представим в виде

где операторы С_ и С+ являются обратимыми и удовлетворяют условиям

инвариантно относительно оператора С_ тогда и только тогда, когда само семейство Ut, tQ< t < T , инвариантно относительно сопряженного оператора С*_ : C-Ut s= Ut.

Действительно, в случае положительного опера­ тора В положительным будет также оператор

D — (С+1)* ВС+1= (С+)-1 ВС+1=

= (с ’+)- ' c ’+ c l c ; 1= С - С + г

для которого, очевидно, DUt^ U t. Поскольку опе­ ратор D является обратимым, на самом деле имеем

*) Ср. с изложенным по этому поводу в книге И. Ц. Г о х-

§ ] ОДНА ТЕОРЕМА О ФАКТОРИЗАЦИИ 57

3

DU, — Ur Если ввести оператор D1/2— положитель­ ный квадратный корень из D, то получим, что

В = C+DC+ = С'С,

где оператор C = D]I2C+ удовлетворяет условию

и следовательно, I — QGQ является положительным обратимым оператором, причем

где

S ( A ) = 2 AQ/^AQ,, h<r K ' 1