книги из ГПНТБ / Корчак, С. Н. Производительность процесса шлифования стальных деталей

Если положить условие ф (лг, у) = U 0 = const, что вполне реально, то первый интеграл в уравнении (46) существенно упрощается. Непосредственные вычисления показывают что

О— со

Таким образом, при вполне реальном начальном усло­ вии U0 = const интегральное решение задачи (39)—(41) имеет вид

объемной схемы на случай пространственной задачи тепло­ проводности, описываемой уравнением (31). Плоская схема действия источников (во времени и одном направле­ нии пространства Y) становится трехмерной, так как добавляется координата Z (по ширине источника — зерна и всей ширине шлифования). Параллелограммы на рис. 49 превращаются в цилиндры (рис. 50), направляющими ко­ торых являются контуры источников — зерен Фг (z, х) = 0, а образующими — прямые, параллельные прямой:

Эти цилиндры, являющиеся следами во времени кон­ туров плоских YZ источников — зерен, заполняют парал­ лелепипед 0 10 2Н 1Н 2М 1М 2Р 1Р 2 (для длины L зоны кон­ такта) в соответствии с частотой расположения зерен на круге (в плоскости YZ) и временем вступления зерен в ра­ боту друг за другом (по координате Т). На рис. 50 условно показан один источник и его след. В общем случае эти цилиндры-следы заключены между плоскостями

у = 0; у = L; у = vRt\ у = vAt — L0.

148

Интенсивность источника для объемной схемы распре­ делится так:

q (у, Z, t) (внутри цилиндров);

Рис. 50. Объемная схема прохождения участка детали L через. зону кон­ такта с действием тепловых импуль­ сов (на схеме изоб­ ражен один им­

пульс)

Для полупространства функция Грина имеет вид

ний, что и в плоском случае, получим интегральное реше-

149

ние для пространственной задачи:

тепла, попавших в рассматриваемую зону. Если интере­ сующая нас точка с координатами (х, у, z, t) попадает внутрь цилиндра (см. рис. 50), т. е. в зону действия тепло­ вого источника р 0 {у, z, t), то происходит нагревание и температура повышается; если точка оказывается вне

о теплоизоляции границы и возможен учет отвода тепла по другим каналам (кроме детали) вследствие изменения интенсивности теплового источника. Вне зоны шлифова­ ния теплоотвод в СОЖ и воздух происходит по закону Ньютона, т. е. необходимо ставить вне участка OL краевые условия третьего рода. Тогда будем иметь составную за­

необходима только температура в зоне шлифования, по­ тому что только эта температура существенна при ана­ лизе обрабатываемости материалов шлифованием.

Прежде чем переходить к рассмотрению теплоотвода по направлениям Z и Y, отметим еще раз масштабные соот­ ношения размеров источников тепла (зерен) и глубину поверхностных слоев детали в направлении + Х , прогрев которых необходимо определить. Размер источника не-

150

сколько больше круга диаметром /3 = 0,1 мм (так как надо еще учесть зону пластического сдвига), а средне­ статистическая толщина среза одним зерном составляет, как было показано, порядка 0,005 мм, т. е. в 20 раз (ли­ нейно) меньше.

По отношению к такой толщине источник — зерно бу­ дет представлять плоский тепловой источник, по край­ ней мере, до глубины, соизмеримой с размерами самого источника. А так как в любых сечениях вдоль траектории движения зерна по всей ширине зоны контакта (справа и слева от рассматриваемого источника) действуют анало­ гичные источники—зерна, лишь сдвинутые на очень

небольшие отрезки времени, большой потери тепла в на­ правлениях Y и Z, можно полагать, не произойдет, так как риски от отдельных зерен по ширине перекрывают друг друга. Некоторая потеря тепла и его нивелирование по направлениям Y и Z будет, но численно ее могут ком­ пенсировать трение связки о металл и источники тепло­ выделения на зерне, которые здесь не учитывались, в частности, боковое трение зерна о металл, трение стружки о зерно и гидравлическое сжатие глубинных слоев.

Таким образом, в зоне контакта (зона ОМ PH, см. рис. 48) можно полагать преимущественно одномерное распределение тепла в глубь металла (по крайней мере, до глубины, равной толщине среза), исключая поверхност­ ные ( YZ) границы зоны контакта, где отвод тепла будет двумерным. Однако ширина «запретной» зоны по пери­

151

контакта с кругом, целесообразно упростить принятую расчетную схему. Вырежем в полупространстве х ^ О полубесконечный стержень (рис. 51) с осью, перпендику­ лярной границе полупространства, и весьма малым попе­ речным сечением. Размеры сечения стержня будем счи­ тать существенно меньшими по сравнению с размерами источника — зерна. Исследуем распределение темпера­ туры по выделенному стержню.

При сделанных предположениях можно решать одно­ мерную задачу теплопроводности, когда на конце полубесконечного стержня в течение некоторого времени дей­ ствует источник тепла. Промежуток времени действия источника (нагрев) определяется временем прохождения источника — зерна через поперечное сечение стержня.

1---о

О г t

Рис. 52. Схема интенсивности источников и их действия во времени

На рис. 51 показана графическая расчетная схема с уче­ том многократного действия источников. Схема действия источников во времени может быть получена (рис. 52) из схемы для плоской задачи (см. рис. 49) как сечение ее любой прямой (в любой точке длины линии контакта), например АА, параллельной оси Т. Таким образом, след источника в виде параллелограмма выродился в линейные

Так как одномерная задача получается из плоской опусканием пространственной координаты у, можно сразу получить для нее интегральное решение. Функция Грина для полубесконечного стержня с вторым краевым условием имеет вид

152

ФJ у 4ях ( t — t )

0

Вэтом случае интегрирование практически ведется по всем интервалам (Г,-; Тг + т) с отличной от нуля интен­

интервала интегральное решение уравнения (48) примет вид

153

которое с использованием первообразных от функции ошибок (50) приводится к виду

U(x, t) = u , + ^ { y t i ^ k ^ = - ~

Таким образом, выражение (51) описывает нагрев металла от воздействия первого импульса, а (52) — осты­ вание после ухода первого зерна-источника.

По мере прохождения через выбранное сечение каждого последующего источника в выражении для U (х, t) до­ бавляется только новое слагаемое, структурно совпадаю­ щее с имеющимися. Используя единичную функцию Хеви­ сайда, можно построить аналитическое выражение U (х , t) для п источников, справедливое в любой момент времени:

слагаемые не будут присутствовать в выражении (53).

У4я ( t - T J

154

годно для инженерных расчетов и позволяет строить температурное поле детали в зоне шлифования как ре­ зультат совокупного действия зерен-источников с учетом их движения по дуге контакта.

Для анализа обрабатываемости сталей шлифованием наиболее существенна температура остывания; это тем­ пература, до которой успеет остыть металл в рассматри­ ваемом сечении (нагретый действием предыдущих зерен) к моменту подхода очередного зерна.

Принимая, что зерна на круге расположены равно­ мерно, получим Т { = iT (см. рис. 52); Tt — время входа в рассматриваемое сечение i + 1 зерна. Температура ме­ талла в этот момент и определяет его теплофизическое и механическое состояние. Из выражения (53) можно полу­ чить формулу, определяющую температуру остывания в зависимости от номера (т) последнего прошедшего через сечение источника. Для этого вычислим значение U (х , t)

рии процесса.

Применение безразмерных критериев позволяет уста­ новить общие зависимости для различных условий шли­ фования, не обращаясь к конкретным числам. Рассмо­ трим изменение этих критериев для различных коли­ честв действующих зерен-источников на глубинах, необ­ ходимых для оценки обрабатываемости (табл. 9).

155

Для различных условий шлифования при оценке обра­ батываемости а ^ 0,015 и б 0,12, т. е. эти величины весьма малы. Воспользовавшись этими оценками, можно существенно упростить формулу (56). Разлагая функцию

Рис. 53. Соотношение интен­ сивностей тепловыделения от пластического деформи­ рования металла (а) и от трения зерна о металл (б)

ттттгтпт

х t

Б)

под оператором суммирования в ряд Тейлора в окре­ стности (а = 0, б = 0) и ограничиваясь в силу быстрой сходимости получающегося ряда двумя первыми членами разложения, получим с учетом выражения (58):

_ т 1 _ _ 62_

Погрешность формулы (59) для сформулированных выше условий не превышает 1,5%. Формула (59) позволяет без построения всего температурного поля сразу находить интересующую нас температуру остывания.

При интегрировании для упрощения было сделано допущение, что q (t) = q — const, т. e. была усреднена

156

Т а б л и ц а 10

Изменение температуры от интенсивности и длительности действия источника

интенсивность источника. Но из рис. 44 видно, что зави­ симость q (t) имеет большие колебания около ее среднего значения. Простота полученных решений (53) и (59) по­ зволяет оценить эффект усреднения интенсивности источ­ ника. Так как зависимость q (t) кусочно-постоянна, цнтеграл для нее вычисляется по формулам (53) и (59), которые содержат только больше слагаемых. Для упро­ щения оценок отбросим в q (t) постоянную составляю­ щую и рассмотрим различие температурных полей от двух источников (рис. 53).

Суммарные количества тепла, выделяемого этими источниками, примерно одинаково;

Qi = 10<7«0, 1т = qx\ Q2 = qx.

157