книги из ГПНТБ / Рашидов, Т. Р

Рассмотрим элемент

трубы $ около места стыковки

(рис.

306).

Изгибающие

моменты,

перерезывающие

и

продольные

силы

и

прогибы в соответствующих направлениях

обозначим

через

,

M , Q^,

Qc ,

Л/ç, wv

wn

(см.

(II. 1.25) — (II. 1.28) с соответствую­

щей заменой индексов). Тогда их векторы равны

Q„ = Q„ ? . Qc = Q

=

Щ0' ^ ч =

Ч = ^ J 0 .

(»-4 -5)

Моменты считаем положительными, если они направлены про­

тив часовой стрелки.

В рассматриваемом случае в отличие от

§ 1 трубы

дополни­

тельно испытывают

крутильные

колебания

вокруг

своих

осей.

Крутящие

моменты

и углы закручивания

обозначим

через

и

циальных

уравнений продольных

колебаний

труб в грунте

(II. 1.14),

(ІІ.2.38) заменой ùx-+ Ѳк р ,

В х ^ В к р ,

т ' ^ ^ р .

что точка О совпадает с центром

масс узла (например, колодца).

Пусть UQ — вектор абсолютного

перемещения точки О, ф — вектор

угла поворота узла (колодца) вокруг центра масс.

Согласно теореме о движении

центра масс системы

т

А = 2 [Щ + Q" + Q" ) + ( " - 4 - 6 )

л

здесь

п — нумерация

стыкуемых

в узле

труб;

m — масса узла;

Д/ 7 — сила сопротивления грунта движению колодца, равная

как

и раньше,

вектору

AF=-Ko(V0

-

«o);

(II.4.7)

с

компонентами

^ х =

- «о* (Ц>, -

и 0 ),

AFy

-

- К0у

U0y ,

AFg — —

KQzU0z.

(II.4.8)

Уравнения движения центра масс узла запишутся:

mü0

+ к0(ѵ0

-

иj)

=

2

( N;+Q;+QC"

) .

(п.4.9)

л

Уравнения

моментов. Пусть

g0

— момент

количества

движе­

ния

узла

относительно

центра

масс.

Тогда

согласно

теореме

о

моменте

количества

движения

системы

п

л

1

п

+

2 (7« .

+

+ Щ ) +

АЖ;

(II.4.10)

здесь ДМ = — Кт

п

<р — вектор

сопротивления колодца

повороту

значим Am,

его радиус-вектор — г,

скорость — ѵ.

Тогда моментом количества движения элемента колодца

бу­

дет вектор

[Атѵ,

г ] =

[ѵ,

г]

Am,

а момент

количества

движения

всего

колодца

определится

вы­

ражением

go = J R

~r\dm.

(11.4.11)

Учитывая,

что

m

v = V0+

[7,

ш],

J [F, Z70] dm =

0,

6-118

81

Таким образом,

£ 0 =

(И.4.15)

Окончательно будем иметь

/ ?+к ? = 2 { -

-

? -

p.. Q; + Q"+л? ]).

(H.4.16)

и = [г,

(II.4.17)

1°> = 1°+[1°, ?J.

(II.4.18)

тогда

_

_

_

_

я ; = c ° h ° ,

<р], /«;

=

ср], / ; = і .

(и.4.19)

Обозначив

абсолютное

перемещение

л-го стыка (рис. ЗОв) через

й( л ) = й0

+ [7п ,

?],

получим

,

(И.4.20)

Перемещение трубы ln можем написать в

следующем виде:

(л)

(л) ТО

(Н.4.21)

Условия равенства перемещений

точек колодца

и трубы таковы:

(Н.4.22)

тр wi\

l/t '

С

ч л

(II.4.23)

Согласно рис. ЗОв

Рл =

«° *л +

5 £ ,

отсюда

Ê

4-

тр

л

d £

с

^

4Л "т

^ Р л

1 4 - 2 5'л

rf£

«

Л

\

Л

7° = 1° +

тр

(II.4.24)

ln

5 л ^ d\

Направление

t°n должно

совпадать с направлением

т. е.

1^=Тп.

Имея

в виду (11.4.18), из (11.4.24) получаем

" 5

д _ р : , ? ] - о .

(II.4.25)

di

Это и есть условие равенства наклонов в точке

стыковки.

о,

t

<r —s-

«„(*„,

t)

(II.5.1)

- P . O . . ' ) »

здесь

Смещения узлов

п—\,

л.,

зависящие

только от вре­

мени, соответственно

обозначим

и

,

и я

, # я + 1 .

ио(хя-п*)

"л

1

N„

H

п

n n+t

п+>

N

>'І

ч

in-t

Ja»

Тле.

31.

Вследствие

упругой

работы

отрезков

труб

в узлах

п, п + 1

возникают

усилия —- N",

N"

и

/Ѵ"+ 1 ,

Л ^ + 1 . В середине

п-го уча­

стка

сделаем

сечение

и усилие

в этом

сечениигобозначим че­

рез

N".

Тогда

м

и.

(ІІ.5.2)

я+1

м ..

_

^ п + І

у ѵ

2

я + 1

здесь F " ,

/^ — результирующие

силы

сопротивления

грунта в

отрезках [о//„/2] и

[ /„/2, / „ ] ;

y K J n

2

/?г — масса

единицы

длины

га-й

трубы.

Из (II.5.2)

получим,;

' ѵ д

i v n

2

V

л

'

n+l

/

*

n

(II.5.3)

Примем

N"

= В

(П.5.4)

и перепишем

(II.5.2)

в

виде

" „ 4 - 1

М Я

M

n

п

I

.

(II.5.5)

N *

= B n

/

+ " T L " i , + i - J T A

Также можем

написать

' л - 1

B

я-1

'•n

"n-l

л

/ Л - 1

I„12

' л - 1

2

«

2

' л - 1

При жесткой

стыковке труб

с узлом

условие

равновесия п-го

сложного узла

запишется

(И.5.8)

В и"+1 ~и" — В ' л - 1

U" ~ /Un~x - f R{n)

узла

л - 1

'л /2

' я - 1

- ( т г - + ^ г Ч - » 2 ? , ) і я + J

+ J

Ѵ і ^ л - і = 0 ;

' л - 1

(11.5.9)

Т л - 1 = *

Л , - і * л я - і [ И о К - 1

- ' ) -

" л - 1 ( * л - 1 ' ' ) ]

(Н.5.10)

Имея

в

виду (II.5.4), можем

написать

уравнение

для л-го

участка

трубы:

« л К > 0 = и

" + \

" п *« +

«,(')

О

+

( " 0 , л + 1 - И л + 1 )J

(II.5.12)

Y V i

- ^ Ѵ 1

' " - ' [ 3 ( " 0 Л -

« л ) +

где

+

К

л - ! "

)]

(II.5.13)

Подстановка

(II.5.10) — (II.5.13)

в

(II.5.9)

дает

В.

Ц я + 1 -

а п

5 л - 1

js(n)

узла X

\

1„

/,

л-1

/ ^ л

, м п - і

,

V ;

,

*Дпкхп

Іп го / „

_ „ N ,

~ ( Т "

+

~ 2 ~

+ mxyz)un

+

8

l d ( " o « - и п )

+

+ К

„ + і

-

) ] +

ТСДЯ~1^8Я"1/Я'1

[3("ол -

« . )

+

l n

l n - \

x

+

Е # л - 1

л - 1 ' л ~ 1

л - 1

' л - 1

А ? } У З Л З + x

( " 4 . Ä -

^ + ^

-

і Ä *. - 1 '

. - I )] "о„ +

I

• п

лп

П „

I ' -п-\

"х,

я - 1 ' л - 1

(И.5.14')

"г"

8

О- л + 1

8

1

0, л — Г

В случае сложной системы, состоящей из

/V — 1 основных

трубопроводов

со

сложными

узлами,

можем

написать N — 2

уравнения типа

(11.5.14') с N неизвестными.

Если считать

пере­

мещения

крайних

узлов их и « ѵ

заданными,

задача

замыкается.

При

жесткой

стыковке

концевых узлов

их = uN

= 0,

а при

податливой

в„пр

2

/ѵ

»с„

1±1

в пр

(II.5.15)

1

CP

2г.

е.

w

o

UN—

UN

2

К

N г

е = •

В.

Un + l

- U n

,д

Г

-Рп-і

I л - 1

п

+ 2 (Щ х у ; - D\ O - ^ J

(«с

-

«л ) sin ѳ; (t - x) dx +

+ 2 . ( D ; . ; - D ; « ^ - ^

• / ( * o . - « - ) : s i n e ; ( f l - t ) d c -

\ 2

2 ^ + m x y z I « л і + Г -

8

yXUon

" n . J +

X [ 3 ( и 0 п - и я ) + ( и о . » - і - " я - і ) ] = 0 ,

(II.5.16)

или

в

ВД - 1

м„

М„ ,

i„s \ ••

b ' ( i ) узла

I

7 7

-т- " T T -

+

Л

Я - 1

+ 2

2 ( D ; X ; - D ; X :

•

f и я sin

Ѳ^я) (/ — x) dx +

in j

~ Д п - \ к х , л - 1 l n - \

Bn-

8

' я - 1

K ( „ )

узла + _3_ №

K n K +

^

^

^ } ] ^ +

t

+ 2 [ 2 (Dl < - D^ <1 ^ 1

] • fи °*s i n ^ ( ' - x ) * +

11, V L

J «

J

(v = y, г; ra = 1, 2

N,

ц = 2,

3).

К

системе обыкновенных интегро-дифференциальных уравне­

ний

типа

(II.5.16) добавляется заданное

усилие

на крайних уз­

лах. Эти

уравнения легко сводятся

к обыкновенным

дифферен­

циальным

уравнениям.

Вывод уравнений движения

сложной

системы

подземных

сооружений с конечным числом

степеней

свободы

энергети­

узлов га — 1, га, га + 1, перемещения которых обозначены

ип_1,

« я + і - П У С Т Ь

(II.5.17)