книги из ГПНТБ / Рашидов, Т. Р

Указанное решение

теряет

смысл

при Л 4 > 1 . Из

(11.6.17)

Х2

max Icosu^y^ — cosXyn

(II.6.20)

t ü 1 sin (u) 1 y m )

= X s i n (Xym )

При

1

n —0; если

ш ъ Д ~ 0 ( 1 ) ,

то динамический

коэффи­

циент

может

быть как угодно

велик

при

достаточно

больших

у т ,

так

как

при резонансе ( ш ^ Х ) из

(II.6.20)

имеем

п

=

-

Ö -

(Ху sinXy)

(II.6.21)

Этот

эффект,

конечно,

смягчается диссипативными силами грун­

та и

стыков.

Решение

задачи

проще,

если

напряжение

трения

трубы о

грунт

определяется

идеальным

законом

сухого

трения;

обозна­

чая

V =

-^-,

ѵ0 = ^

и учитывая

стационарность

процесса при

заданном

и0 (у) для у =

С

t — х имеем

х = x o s i g n ( ' ö 0

— ѵ),

ѵфѵ0

(II.6.22)

где

x0

— предельное

напряжение

трения,

причем

ди

с„

' п р

(ІІ.6.23)

du„

Ср

о

р

dy

пр

Из уравнения движения

д2 и

d2u _

С2р P n p F d N

Р

р п р г

dy"

~

Впр

dy

=

а л:

г "Л

t =

з

г

х.

п

ч

dy

1

Таким

образом,

(ІІ.6.24)

На

основании (11.6.22), (11,6.23) отсюда

получаем

при

| х | < х 0

, / Ѵ = / Ѵ 0 ( у )

( 1 _ Ж 2 ) ^

=

т:Дн х

dN

(ІІ.6.25)

| х | = х0, ( 1 - Ж 2 ) - ^ = т : Д н х 0 8 і е п ( Л / - У Ѵ 0 )

Из (II.6.25) следует простой способ нахождения

напряжения

трубы

по

заданному

закону

движения

грунта:

а = ий(у),

vQ =

Cpp,

N 0

^ - B n p d ^

(II.6.26)

при

M

=

1,

N =

N0(y).

N = N0

— 0

Для

сверхзвукового

процесса

(Ж >

1)

при

у < 0 .

Из

первого

уравнения (II.6.25)

находим

dN

т,Д

х

0 < У < у , , - J J = - т . Т

О

М2 — 1

(II.6.27)

т . е .

на этом

участке

наклон

N (у)

равен

—т. Точка

у = Уі опре­

деляется

из

уравнения

ТУі + М 0 ( У і ) = 0 .

(ІІ.6.28)

При

у > У і ,

закон

N=—

гу

невозможен,

т. к. при

этом

нару­

шается

условие | І Ѵ | < | / Ѵ 0 | .

Следовательно, на

участке

У і < у <

N(y)

=

N0(y),

(И.6.29)

причем

точка у = ^ у 2

находится

из

условия

4?

= т-

(п.6.30)

Далее

зависимость

N(y)

строится

по

W ( y ) - W 0 ( y 2 )

= T ( y - y 2 )

(И.6.31)

вплоть

до

пересечения

N (у)

с

7Ѵ0

(_у):

N (Уз) =

Ч (У2) +

т (Уз -

У2) -

М> (Уз),

(Н.6.32)

начиная с

которого

N(y)

= N0(y)

и т. д. В реальных

условиях

длины

уи

у2,

Уз,... порядка

1 — 10

м:

У ь У з - у 2

, - . . < ^ р - ^ ^ ( ^ - і )

(h — толщина стенок,

Епр

— приведенный

модуль

трубы,

v0max—

скорость частицы грунта).

При M < 1 построение аналогично, но

впереди

фронта

тру­

бопровод

может быть сжат, т. е. при — ух

< у < 0

N0

= 0,

TV

< 0 ,

dN

Г л а в а III

НЕКОТОРЫЕ

П Р И Л О Ж Е Н И Я ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ

С Л О Ж Н Ы Х

СИСТЕМ ПОДЗЕМНЫХ

СООРУЖЕНИЙ

В главе

I I построена сейсмодинамическая теория

движения

сложных систем

подземных сооружений

различного

назначения.

В конечном

счете

рассмотрение

движения

сложной системы све­

ными условиями сопряжения, записанными дифференциальными

или

интегро-дифференциальными

уравнениями.

На

этой

основе

поставлена задача в виде систем обыкновенных

дифференциаль­

ных

или дифференциальных и интегро-дифференциальных уравне­

ний

для сооружения, представленного

системой

с конечным

чис­

лом

степеней свободы. Прежде,

чем

рассматривать

конкретные

задачи, следует привести уравнения к

удобному

для

вычисления

на ЭВМ виду.

§

1.

Приведение исходных уравнений

к

простой

форме

Жесткая стыкозка труб в узле.

\.Iy

=

I z

=

O.Y*Рассмотрим

колебания

трубопровода

со сложным

узлом

под

действием

вол­

ны, распространяющейся

вдоль оси х.

Пусть

в

направлении

оси

х справа и слева от узла расположены трубопроводы

диаметра­

ми

Д

и Д

с коэффициентами взаимодействия

kx и

kx соответ­

сти

yOz.

Пусть

участки

(секции)

труб

имеют

одинаковые длины

l' =

l" = l

и жестко

соединены

между

собой

сложным узлом. Для

ной I, получим уравнения динамики

рассматриваемой

системы.

Используем

уравнение (і 1.6.14'), причем положим

согласно усло­

виям задачи справа от узла

M

=тІ,В'п=в\*ДпкхлІя

= кЖкхІ =

кхѵ>,

( I I I . l . l )

слева

от

узла

Мп_х

=

ml,

Вп_х

= В,

^Дя_1кХгЯ_11

= ^ к ' х

1 ^ к х ^

(Ш.1.2)

Тогда

для «-го узла

получаем

U

-\- ш

2

и

— а

'

\ .

, =

о2

+

т'

• " ' " J " - 1 - +

-r"

л

л

и , — au

л - 1

ß„ Ua

I

2

1

л

л я + 1

г л Ол

1

2

'

здесь

(III.1.3)

"г--" + ^ ) У З Л А + 4 - ( ^ І Р ^ й - р )

, ( я ) у з л а

,

+

д-yz

В

X тр

ал =

а

Z

8

„ W

Узла +

^

+ £

1 ,

'

те(л,/3ла

^+ШІ

,

(III. 1.4)

"

+

xyz

+

£<л) узла _j_

^

(

^ т

р

+

ТрУ

узла

,

+

,

т'2 =

x тр

//2

лг тр

4 ( и ( л » / з Л а +

^ .

/

Напишем уравнения для каждого участка левого и правого трубо­

проводов в отдельности.

Для левых секций труб, положив п -»- п — 1, В'

В"', m(xy\zy3™ =

= 0 ,

kx

— k"

m

= m,

к[п)узла

= 0,

из

(III. 1.3) и (III. 1.4) получаем

"

. -

I

+ ш і А , - . "

« '

( " л

+ «.-Л

=

( Рц +

Т"2) "о, л - г

(Ш.1.5)

здесь

—

+

—

*дгтр

дг тр

2

2

_

ая = ал - 1, = а

(III.1.6)

Ш 11

=

~

от77/

m " /

ß2

_ fi2 _ J L i i ï E - / - т " 2

-

4т" /

Г л - 1

Г Ц

4 4 т "/и">/ 1' 1 ——

I1

—~

Для

правых

участков

труб

имеем

" л + і +

<

" „ + 1 -

«

( " л + ?

+ « „ ) = (

PÎ + Т'2) «о, л+і'

(ИЫ.7)

где

2В

v jr тр

(U,2

Ш2 , ,

Т

"4~

k x

тр

=

=

ал =

ал =

а

(III.1.8)

1

л +

1

/га'/

m ' /

Ч2

— R2

—

8

k j c

ТР v ' a

—

ѵ

' 2

_

Л^ІЕ

л+1

— Pi

—

4

m'{ ' i

~

T

4 « 7

К-1

+

ш п

" л - ! -

<*' ("л

+ " л - 2 )

=

( Pu + f2)

"О,

л-1

" л +

%

U

n

*

%

"л+1 -

а "

"л-1

=

К

"ол

+

Т„ ^ІГ-

+

Т л

И,О,2л-1

«я+1

+

Wl

"л+1

-

а

("„+2

+ "я ) =

( PÎ +

Т' 2 )

"о, л + 1

(III.1.9)

Первое

и

третье

уравнения

(III.1.9)

справедливы

для

любого

справа

от сложного

узла.

В

полученной

системе

уравнений

перейдем

к

безразмерным

координатам

C„t

—

и„

—

иПп

г,

cl

(Ш.1.10)

^

-

Г '

"

л

= - Х ' й о л =

-г*

M

= -

f

Тогда

тр

" л - 1 +

">П « л - 1

-

«'

(Йл +

« „ _ , )

=

| ц

Й0 >

я _ !

—

. - 2

-

—'"—

- "

—

D .2—

,

-,2

"О, л+1

!

»2 и 0, я-1

« я + % и п -

ао и л + і -

а о м л - і = h

иоп + Ï о — 2

+ Т

— 2 —

"л + 1 +

°>î "л+1

-

а

("л+2

+

"я ) -

Mo, л+1

(III.1.11)

3

„2

— 2

Ж2

'

а

==

М*

( 1 + f) + M2c+

+ M j 2 )

/ -

1 '2

i

m o = ^

« о

' * о —

Af21

/ _

1

'2

1

M„

7 — 8 - ^

а 0 _

4AJ 2

m 0

' Я о

A I 2 \

m o

/2

»2

— 2 __l_Mb

-"2

1

МЬ

4 т 0 '

1 0

4«о

2/

3

'2

1

.2

+ ^

м- М

-2

1

Т 'ь

_ 1 _

а

=

УИ2

m

1

=

J _ . M »

кх

тр

'

^узла

;

+да)+

ту з л а

m

/ =* TF,

^ 0 =

- 5 - Г 1

т у з

л а ,

отузла

= - ^ р г - , m

= /я

(III.

2)

Значения /С*з л а определяются по формуле

(II. 1.35); АРКМИ1 = ;Д2

Ik

j — число,

зависящее

от массы

узла,

в частности

можно

по­

ложить У — й у з л а .

2. / у т£ / 2

Ф 0.

Введем

обозначения

о

(III.1.13)

t

кх, п-Х, тр

'

8

V X, n- 1,трхп Гтр )« л -

л - 1

Л х

4-

— h

1

,

"т"

g

* я

тр И 0 ,

я-И~Г" g

^дт, л - 1 ,

т р И 0 , л - 1

zy

+b)zy=

- f ( u û

n

- u n

)

й„ + % « л - % й я + і - «Ô < Ѵ і + " ^ Л + Г Д

У У

=

h

"

«оя + То

"''О, Я + 1

То

Ч, я-1

~~

"

(III.1.15)

б 2

г

- f i

=

й

-

*0л

У

у 1

у

я

Ѳ2

z

+

г =

й

-

*0л

"я+1

+

Ш 1

«я + 1 -

а

( « „ + 2

+

"я )

=

Рі «0, „+

і

где

—2

—

о - ( ^ у +

О -

С =

Ро' -

( Ч +

О

ш0

= ш:

1

#2

%

Р2

*у

Щу

Л12

Ad;,,

1

д 3 « ; а - D3

y.z

обозначения — из (II.2.12) и

(II.2.31).

Как и следовало ожидать,

при Іу~Іг=0

из (III.1.15)

получаем

систему (III.1.11).

Податливая стыковка труб в сложном узле и простых

стыках.

лагается, что соединения

поперечных

трубопроводов

с узлом

также податливы. Такая

система полностью отражает

работу

сложной системы,

показанной

на рис. 1. Результаты пп. 5 и 6 § 5

гл. I I , приводят к

следующей

системе

уравнений (рассматривает-

Un-l

+ ш п и в - і

а" ( и я + " я - 2 ) = ß u

« „ , „ _ ,

U n +

Ш 0 U n

-

а 0 ««+1 -

а 0 U n - 1

=

(Ш.1.16)

Й я + і

+

й я

+ 1 -

«' ( й л + 2

+ й„ )

*і "о, Я + 1

здесь

M*

—2

М„ + 2 A f e

- ,

Ма

-5

_ , «

й

Ш11

1 Л42с

+ < + Ма

- ,

m узла

узла

M2

1

м'ь+2Ма?

(III. 1. 1Z)

m узла

V . P.

ж " 2 «

^

B'

остальные обозначения

соответствуют

(III.1.12); значение КХЗЛІ

сюда в предельном случае получаем

систему (III. 1.11).

2. Iy4=IZ=£Q-

С помощью

формулы

(II.5.36), несмотря на

различие

поставленных

задач,

имеем

систему

уравнений

в без­

размерных величинах, аналогичную (III. 1.15).

Коэффициенты новой системы в отличие от

(III. 1.15)

опреде­

ляются

согласно

(III.1.17);

Кухзла — по формуле

(II.3.15);

m узла

(ІИ.1.18)

1

D 3

Ъ

2 %

M*

узла

Д4*

В частных

случаях решения

этих систем

могут быть получены

в квадратурах

[41], так как

характеристические

матрицы

будут

преимущественно

трехдиагональными.

Мы

ограничиваемся

мето­

дом определения решений с помощью

ЭЦВМ.

Зададим начальные

и граничные

условия

и выберем

закон

движения почвы, например, в виде

и,On

Фп

-

(n -\)хя]

h (х - (л -

1) хп

), *„ = 1.

(ІИ.1.19)

Функция

Ф0 представляет

любой

возможный

вариант

задания

движения почвы, принимаемый в расчетах сооружений

на сейс­

мостойкость, в

частности:

Ф0

(E) =

É

, Ф 0

(Ç) -

і\ Ф0

(5) = sin р$ (где

/> = ш//Ср ) ,

Ф0 (5)

= е Г е э і п

...

Граничные

условия

могут

быть

заданы в

следующих

трех

ва­

риантах:

1) Й 0 = uv

u N + l = uN

2)

"о =

"оо= ф о ( £

+

1).

u N + l

*"0, ЛЧ1

(III.

1.20)

=

^0^-Nxn)h(x-Nxn);xn=U

3)

и0

=

и

— к -

е,

Ид, =

ИЛГ_І,—

-

AK,

2

начальные — в

виде

• =

" „ - ! ( 0 ) =

М 0 )

= и л +

1 (0) =

0

(III.

1.21)

=

« л

- # ) і = З о ) : = ^ і

( ° ) =

°

При решении

системы

уравнений

сначала

полагается равен­

действии на сложный узел стационарной конечной

волны

дока­

зана достаточность рассмотрения

ограниченного числа

отрезков

трубопровода.

§ 2. Рассмотрение конкретных задач

Для простоты принимаем, что

в сложном узле

отсутствуют

трубы 2 и — z и секции трубопроводов X и у выполнены

из

одина­

Задача

1. Колебания стального (чугунного) трубопровода

со

сложным

узлом

(рис. 32 а) при жестких

стыковках труб

с узлом

и между

собой

( Іу — Іг — 0).

Геометрические и физические параметры трубопроводов

и

грунта

заданы

следующими числами

(размерности

всюду

в

кГ, см,

сек.).