книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

На основании (2.5.2j) для плотности потока электронов /эл т. е. для числа электронов, проходящих через нормальную пло­ щадку в 1 см2 за 1 сек, получим выражение

где я — концентрации электронов, а знак минус соответствует для электронов тому, что они движутся во внешнем электрическом поле

против направления вектора <§.

Тогда плотность электронного тока с учетом (2.5.3) будет

Если выполняется закон Ома в форме (2.5.4) или (2.5.5), то при­ нято говорить о том, что электрон движется по закону подвижно­ сти. В этом смысле можно сказать, что закон подвижности выпол, няется для не слишком сильных полей.

На основании определения подвижности следует, что она должна быть пропорциональной длине свободного пробега. Поэтому харак­ тер температурной зависимости подвижности и длины свободного пробега должен быть одинаковым.

У полупроводников, как мы видели в § 2.4 [см. формулы (2.4.1), (2.4.2) и (2.4.3)], концентрация носителей тока изменяется с темпе­ ратурой в основном по экспоненциальному закону и, кроме того, от температуры зависит также подвижность носителей тока. Следо­ вательно, при определении температурной зависимости проводи­ мости полупроводников (см. (2.5.6) ] необходимо учитывать оба вы­ шеуказанных фактора.

Рассмотрим теперь более подробно зависимость подвижности от температуры. Такая зависимость, вообще говоря, определяется характером тепловых колебаний частиц, образующих решетку. В свою очередь, характер колебаний решетки зависит от типа ре­ шетки. Типичными для полупроводников являются атомная и ион­ ная решетки. Примером атомной решетки служит решетка герма­ ния и кремния, а примером ионной решетки — решетка кристалла поваренной соли (NaCl), для которой характерно чередование по­

ложительных (Na+ ) и отрицательных (СР) ионов. Промежуточной между атомной и ионной решетками является решетка закиси меди (Си20). Такой же промежуточный характер имеет решетка соеди­ нений типа А3ВЪ. Соединения типа АйВъ символически обозначают

70

соединения из элементов третьей и пятой групп периодической си­ стемы Менделеева. Опыты показали, что такие соединения обладают свойствами полупроводников. К таким соединениям, например, относятся сурьмянистый индий (InSb), мышьяковистый индий

(InAs) и др.

Как уже указывалось выше, колебания кристаллической ре­ шетки представляют собой ряд волн, проходящих по этой дискрет­ ной структуре. Если учитывать дискретность решетки, то можно рассматривать две ветви волн, акустическую (звуковую) и опти­ ческую (световую). Акустические колебания характеризуются тем, что атомы или ионы в одной ячейке колеблются в фазе. В случае же оптических колебаний атомы, находящиеся в одной ячейке, движутся в противофазе, т. е. сходятся и расходятся.

Особенно четко различие между акустическими и оптическими колебаниями проявляется в ионной решетке. Если в такой решетке два иона противоположного знака движутся в фазе, то ячейка в це­ лом не приобретает дополнительного дипольного момента. Однако при этом же имеется небольшое постоянное изменение в дипольном моменте за счет акустических колебаний. При оптических колеба­ ниях появляется добавочный дипольный момент, который будет переменным. В разных ячейках кристалла будут различные зна­ чения моментов, благодаря чему нарушается периодичность решетки

иэто приводит к рассеянию электронов.

Вслучае атомных решеток практически нет принципиального различия между оптическими и акустическими колебаниями. Опти­

ческие колебания существенно не отличаются от акустических по­ тому, что нет различия в атомах. В атомных решетках взаимодейст­ вие электронов происходит в основном с акустической ветвью ко­ лебаний, причем в пределе такие колебания стремятся к упругим колебаниям в континиуме. В области оптической ветви колебаний, связанных с изменением дипольного момента, изменяются опти­ ческие свойства кристалла, поэтому.такие колебания и получили название оптических колебаний. Расчеты показывают, что в атом­ ных решетках при учете рассеяния электронов только на акусти­ ческих колебаниях их подвижность обратно пропорциональна корню квадратному из куба абсолютной температуры, т. е.

1 ^п Т !2 ■

Необходимо заметить, что в случае акустических колебаний атомной решетки имеет место набор различных частот от 0 до vmax. и соответствующих длин волн от одной на всем кристалле до длины волны, равной удвоенному периоду решетки (на одном периоде укладывается полволны). В случае же оптических колебаний ча­ стоты практически не изменяются.

В. ионных решетках оптические колебания вызывают сильное

*возмущение периодического потенциала решетки, и в них основное рассеяние электронов будет на оптических колебаниях. Для этого

71

случая расчет температурной зависимости подвижности приводит

а для низких температур зависимость подвижности от температуры экспоненциальная.

Следует заметить, что приведенные выше температурные зави­ симости подвижности электронов являются теоретическими и не­ сколько отличаются от опытных. Причина этого до сих пор точно не установлена, так что теория подвижности электронов и дырок

вполупроводниках не может считаться законченной ввиду отсутст­ вия общепринятых объяснений опытных фактов.

Подвижность носителей тока является очень важной характе­ ристикой полупроводниковых материалов, из которых произво­ дятся полупроводниковые приборы, так как подвижность [см. (2.5.6)] определяет их электропроводность и частотные свойства. Электропроводность полупроводников а также зависит от ширины запрещенной зоны E g. Кроме того, при определении возможного изменения температуры необходимо знать температуру плавления полупроводников /пл.

Перечисленные основные характеристики некоторых полупро­ водниковых материалов приводятся в табл. 1, причем для общности

втаблицу также включено значение диэлектрической проницае­ мости е.

в поведении электронов и дырок, а также преимущества новых по­

идр. Действительно, подвижность электронов в Ge и Si больше чем

вдва раза превышает подвижность дырок, поэтому использование

втаких полупроводниках электронов как основных носителей тока определит их лучшие частотные свойства и большую проводимость. С другой стороны, в старых полупроводниках (Cu20, CdSe) подвиж­ ность носителей тока в несколько раз меньше, чем в 'германии и кремнии, что и не позволяло Си20 и CdSe использовать на высо­ ких частотах. Кроме того, у старых полупроводников ширина за­ прещенной зоны, определяющая собственную проводимость полу-

72

проводников, примерно в два раза больше, чем у Ge и Si. Еще луч­ шие частотные и другие свойства должны иметь соединения типа А3В5, которые, как видно на примере InSb и InAs, обладают во много раз большей подвижностью носителей тока и сравнительно меньшей работой выхода.

Необходимо заметить, что малая ширина запрещенной зоны у полупроводника уменьшает верхний предел возможного нагрева­ ния полупроводникового прибора при его работе. Например, у германиевого триода при температуре порядка 100° С собственная проводимость начинает превалировать над примесной, и нормаль­ ная работа прибора прекращается. Очевидно, что при использова­ нии кремния, у которого ширина запрещенной зоны больше, чем у германия, такой температурный предел будет выше 100° С.

§ 2.6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ В ТЕОРИИ ДИФФУЗИИ

НОСИТЕЛЕЙ т о к а в п о л у п р о в о д н и к а х

2 .6 .1. ДИФФУЗИОННЫЙ то к

Когда полупроводник однородный и концентрация носителей тока в нем в среднем одинакова, то электрический ток может воз­

Выражения (2.6.1) и (2.6.2) определяют собой закон Ома, поэтому такие токи называют обычно омическими.

Если же концентрация носителей тока будет различной в раз­ личных точках полупроводника, то возникает диффузионный по­ ток, направленный на выравнивание концентраций. Опыт показы­ вает, что такой диффузионный поток, или плотность этого потока, будет прямо пропорционален численному значению градиента кон­ центрации носителей, так что, например, для плотности потока элек­ тронов можно записать

Уэл~ I grad п\,

где /эл обозначает, как и в (2.5.3), количество электронов, проходя­ щих за 1 сек через нормальную площадку в 1 см2. Переходя к ра­ венству, последнее соотношение перепишем в виде:

где коэффициент пропорциональности Dn называется коэффици­ ентом диффузии электронов.

Из (2.6.3) видно, что если \gvadn \ = 1, то коэффициент Dn численно равен /эл, т. е. Dn = /эл. Следовательно, коэффициент

73

.диффузии для электронов численно равен плотности потока элек­ тронов при единичном градиенте концентрации.

Если диффузионный поток направлен вдоль оси Ох, то равенство

.(2.6.3) запишется в более простом виде:

(2.6.4)

ах

Плотности диффузионного потока (2.6.3) будет соответствовать плотность диффузионного электронного тока

где Dp — коэффициент диффузии дырок.

Знаки плюс и минус в выражениях (2.6.5) и (2.6.6) легко пояс­ нить. Градиент как вектор должен показывать направление наи­ быстрейшего увеличения скалярной величины (концентрации), а диффузионный поток направлен в сторону убывания концентрации. В результате этого диффузионный поток как вектор всегда пропор­ ционален минус градиенту концентрации. Тогда диффузионный электронный ток за счет отрицательного заряда электрона будет выражаться в (2.6.5) со знаком плюс, а диффузионный дырочный ток в (2.6.6) останется со знаком минус, так как заряд дырки поло­ жительный.

Втеории полупроводников коэффициент диффузии электронов

идырок обычно измеряется в см21сек, так как концентрация [см.

(2.6.4)] измеряется в с.и-3, поток в см2-сек-1, длина в см. Напри­ мер, для лучших образцов германия Dn = 100 см2/сек, a Dp = = 49 см21сек. Такое различие в коэффициентах диффузии электро­ нов и дырок объясняется тем, что у них значительно отличаются подвижности.

Подвижности носителей тока связаны с их коэффициентами диф­ фузии известным .соотношением Эйнштейна, которое для электро­ нов и дырок имеет вид:

Это соотношение легко получить из рассмотрения полного тока на контакте в состоянии равновесия. Приведем для этого необходи­ мые рассуждения.

Из вышеизложенного в настоящем параграфе следует, что в об­ щем случае в полупроводнике может существовать как омический,

74

так и диффузионный ток. Поэтому полный электронный и дырочный токи на основании (2.6.1), (2.6.5), (2.6.2) и (2.6.6) запишутся так:.

Если привести в плоскости, перпендикулярной Ох, в контакт два полупроводника или полупроводник и металл, то между ними возникает контактная разность потенциалов фк (подробно это будет изложено в главе V). Это объясняется тем, что в достаточно тонком приконтактном слое появляется объемный заряд, причем в этом слое потенциал ср — ср (х). В состоянии равновесия контактная раз­ ность потенциалов срк не приводит к возникновению тока через кон­ такт, так как омический ток под влиянием <рк компенсируется про­ тивоположно направленным диффузионным током. Следовательно, полный ток через контакт в состоянии равновесия будет равен нулю,, причем для определенности предположим, что равен нулю [см.. (2.6.9)] полный дырочный ток через контакт, т. е.

1'р = е р и р ё — e D p - ^ - = 0 ,

или

и (2.1.9) ] изменяется вблизи контакта в зависимости от ф (х) по экс­ поненциальному закону

откуда и получаем соотношение (2.6.7):

eDp ир = — р- .

рk T

Разумеется, что то же самое можно было бы проделать для связи ип с Dn, если бы приравнять нулю полный электронный ток (2.6.8).

Под влиянием диффузии носители тока будут смещаться в полу­ проводнике. Тогда возникает вопрос, как велико будет такое диф­ фузионное смещение носителей тока. Этот вопрос связан с рекомби­ нацией носителей тока, которую мы дальше и рассмотрим.

75

2.6.2. РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА И ИХ ДИФФУЗИОННАЯ ДЛИНА

Возвращение электрона из зоны проводимости в валентную зону и заполнение в последней пустого уровня соответствует рекомбина­ ции электрона и дырки. При этом пропадают электрон в зоне про­ водимости и дырка в валентной зоне, а их энергия передается ре­ шетке кристалла. Принято говорить, что в этом случае рекомбина­

(электрон—дырка) за счет тепловой энергии решетки. Такие пары могут образовываться также под воздействием квантов света или электромагнитного излучения другого вида.

Стационарное состояние будет в том случае, когда число созда­ ваемых пар равно числу рекомбинационных пар. Очевидно, что число носителей, рекомбинирующих в 1 см3 за 1 сек, будет пропор­ ционально произведению концентраций носителей, т. е. равно у пр, где у — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств полупроводника. С другой стороны, будет идти процесс образова­ ния пар за счет тепловой энергии решетки. Поэтому, обозначая че­

где п0 и р0 — концентрации электронов и дырок в состоянии равно­ весия.

Если же концентрация носителей отличается от равновесной,

носителей за счет преобладания рекомбинации будет уменьшаться,

равновесной (пр — я0р0<0), то процессы рекомбинации не преоб­ ладают над генерацией пар.

\ d t / р ек

76

В том случае, когда избыточная концентрация мала, т. е. малы величины Ап = п — п0 и Ар = р — р0, выражения (2.6.14) и (2.6.15) можно упростить. Действительно, если избыточная кон­ центрация не приводит к появлению в полупроводнике объемного заряда р, то р -= е (Ап — Ар) = 0 и

Тогда на основании (2.6.16) разность произведений концентраций равна

или с учетом малости избыточной концентрации

А п < /г 0 + Ро и An2 С Дп(п0 + р0).

Поэтому вместо (2.6.17) можно записать

Приближенное равенство (2.6.17!) выполняется, когда избыточ­ ная концентрация Ап мала по сравнению с концентрацией носите­ лей, например, электронов в электронном полупроводнике. При этом для полупроводника n-типа Ап и Ар могут превышать концен­ трацию неосновных носителей р0.

При выполнении (2.6.17х) уравнение (2.6.14) запишется так:

( - ~ ) = —уАп(п0 + р0) = — у(п — п0)(р — Ро). (2.6.МД

\/рек

Если предположить, что избыточная концентрация носителей возникает вследствие освещения полупроводника и достигает своего стационарного значения Дпст, то при выключении освещения (g = 0 ) изменение во времени концентрации носителей будет описываться уравнением (2.6.14х). Решим это уравнение при том начальном ус­ ловии, что в момент выключения света, соответствующий моменту отсчета времени, Ап = Апст, т. е. при t = 0,

77

Из (2.6.19х) видно, что через время

V (по 4- Ро)

число избыточных носителей уменьшится в е раз. Поэтому время

У («о + Ро)

называется средним временем жизни носителей тока от момента возникновения до момента рекомбинации или, короче, временем, жизни.

За время жизни т носители тока вследствие диффузии проходят среднее расстояние L, которое называется диффузионной длиной. Диффузионная длина тем больше, чем больше подвижность и чем: больше время т. Но подвижность и коэффициент диффузии у элек­ тронов и дырок различны, отсюда для электронов и дырок диффу­ зионные длины Ln и Lp должны быть различными. Диффузионныедлины носителей связаны с их временами жизни и коэффициентами диффузии простым соотношением:1

Необходимо отметить, что Ln и Lp равны длинам смещения элек­ тронов и дырок лишь вследствие диффузии, когда диффузионный ток значительно превышает ток омический. Если же условия та­ ковы, что преобладает омический ток, порождаемый полем &, то за время т, например, электроны проходят путь, равный vx = ип§х. Этот путь для того же образца германия при обычной температуре

Т — 300° и при

для S = 1 в!см будет равен:

ипёх = 3900• 1 • 10_3 = 3,9 см.

1 Это соотношение будет получено в главе V.

78

Из приведенного примера следует, что при достаточно сильных по­ лях & средний путь носителей за счет омического тока может зна­ чительно превышать диффузионные длины Ьп и Ьр.

Выше мы исследовали уменьшение со временем числа носителей вследствие рекомбинации в случае малых избыточных концентра­ ций Ап и Ар, когда справедлив экспоненциальный закон (2.6.19!). Этот закон уже не будет справедливым при больших избыточных концентрациях. Однако и в этом случае иногда вводится формаль­ ное понятие о времени жизни т носителей, означающее следующую запись правой части уравнения (2.6.14):

у{пр — п0р0)

При этом закон (2.6.19) уже не будет справедлив, так как т = f (п). Рассмотренный процесс рекомбинации носителей тока путем

дит в основном через примесные центры, называемые центрами ре­ комбинации. При таком механизме рекомбинации электрон из зоны проводимости сначала переходит на незанятый примесный уровень в запрещенной зоне, а затем, как говорят, рекомбинирует с подошедшей из валентной зоны дыркой. На самом деле, электрон, конечно, с примесного уровня затем переходит в валентную зону и там рекомбинирует с дыркой. Указанный процесс рекомбинации пары в два этапа поясняется рис. 18, где пунктирной стрелкой по­ казан условный подход дырки для рекомбинации с электроном на примесном уровне. Поскольку при таком механизме рекомбинации электрон отдает решетке излишек своей энергии, равный Eg, не сразу, а частями в два этапа, постольку при широкой запрещенной зоне (при большом Eg) физически такой процесс будет более веро­ ятным, чем непосредственная рекомбинация в один прием. Указан­ ный процесс рекомбинации на примесном уровне имеет место даже при концентрации примесей меньше 1012 1 /см3.

Считается, что роль примесных центров рекомбинации обычно играют примесные уровни, расположенные примерно посередине запрещенной зоны. Однако при малом отклонении от равновесной концентрации, т. е. при Ар = Ап < п 0 + р0, число рекомбинирую­

79