книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

или

(5-1.11)

где E gn есть энергия, соответствующая донорному уровню, отсчи­ тываемая вниз от дна зоны проводимости. Если при этом nd — кон­ центрация электронов на донорных уровнях, то концентрация электронов в зоне проводимости за счет их перехода с донорных уровней, очевидно, равна Nd — nd.

Из рассмотрения (5.1.7), (5.1.9) и (5.1.11) следует, что если из­ вестен уровень Ферми р, ширина запрещенной зоны Eg и энергия E gn, то можно определить концентрацию электронов в зоне прово­ димости, концентрацию дырок в заполненной зоне и концентрацию электронов на донорных уровнях.

5.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРОВНЯ ФЕРМИ

Величина уровня Ферми р может быть определена из того ус­ ловия, что общее число свободных электронов в системе (полупро­ воднике) нам известно. В самом деле количество свободных электро­ нов в зоне проводимости определяется числом электронов, забро­ шенных (в основном вследствие теплового движения) из валентной зоны, и числом электронов, перешедших в зону проводимости с до­ норных уровней. Если учесть, что концентрация электронов, пере­ шедших из валентной зоны, равна концентрации дырок, оставшихся в валентной зоне [п из (5.1.7) равно р из (5.1.9)], то полная концен­ трация п свободных электронов будет:

Тогда, подставляя выражения (5.1.7), (5.1.9) и (5.1.10) в равен­ ство (5.1.12), получим уравнение для определения р:

(5.1.13)

Нетрудно проверить, что уравнение (5.1.13) является кубичеJL

ским уравнением относительно еkT :

(5.1.14)

140

где

Уравнение (5.1.14) в таком виде затруднительно для решения и исследования этого решения. Однако для практически интерес­ ных случаев преобладания в полупроводнике собственной или при­ месной проводимости уравнения (5.1.12) или (5.1.13) значительно упрощаются.

Случай собственной проводимости. Предположим, что темпера­ тура достаточно высока, так что за счет примесей концентрация электронов в зоне проводимости мала и преобладают переходы элек­ тронов из валентной зоны в зону проводимости. Тогда в (5.1.12)

Рffld—nd) и га — р, а (5.1.13) запишется так:

Из (5.1.15) видно, что если Т ^>0 и эффективные массы носителей тока равны (/га* = /га*), то р = — , т. е. уровень Ферми прохо­

дит точно посередине запрещенной зоны (рис. 54). Очевидно, что тот же самый результат будет при абсолютном нуле температуры (Т = 0). Если же Г > 0 и /га* ^ /га*, то уровень р изменяется с тем­

пературой по линейному закону, поднимаясь ко дну зоны прово­ димости. Подставляя теперь (5.1.15) в (5.1.7) и (5.1.9^, для концен­ трации электронов и дырок при собственной проводимости получим выражение

Из (5.1.16) видно, что концентрация носителей тока за счет собст­ венной проводимости практически растет с температурой по экспо­ ненциальному закону, так как предэкспоненциальный множитель в (5.1.16) растет с температурой значительно медленнее.

На основании (5.1.16) легко получить зависимость концентра­ ции носителей тока при собственной проводимости в логарифмиче­ ском масштабе. Действительно, обозначая предэкспоненциальный множитель в (5.1.16) буквой А, получим

1 2kT

141

На графике выражение (5.1.17) как зависимость In п = f (1/7) изобразится в виде прямой 1 (рис. 55) с угловым коэффициентом,

венную концентрацию носителей тока в германии при комнатной

Случай примесной проводимости. Если, наоборот, собственная проводимость мала, т. е. переход электронов из валентной зоны в зону проводимости незначителен, то можно рассматривать лишь примесную проводимость. Другими словами, когда электроны пе­ реходят в зону проводимости в основном с примесных донорных

In т

£

y, ■ ///////////,

t

c(

уровней, то концентрацией р дырок в уравнении (5.1.12) можно пренебречь [р <Д (Nd — пd)] и вместо (5.1.13) рассматривать урав­ нение

kT

Простым преобразованием (5.1.18) приводится к квадратному уравJL

нению относительно еьт :

142

Для выяснения смысла решения (5.1.20) рассмотрим его предель­ ные значения.

В области низких температур можно считать, что

( 2*

(5.1.21)

^2h3Nd

Тогда

>1 И

(2яяг* fe7’)3 2 (2nm*nk T f 2

На основании последних неравенств выражение (5.1.20) запишется в виде:

(2ntnnkT)3,2. Следовательно, в первом случае уровень р поднимается вверх к зоне проводимости, а во втором — опускается ниже при­ месного уровня (см. рис. 56). Точка перегиба кривой р = р (Т), показанная на рис. 56, очевидно, может быть определена из усло­ вия

h3Nd

- 1 ,

2 [2кm*nk T f :2

при котором логарифмы в (5.1.22) обращается в нуль. Если, напри­

143

Из (5.1.23) следует, что в области низких температур концентра­ ция электронов в полупроводнике за счет донорных примесных уров­ ней изменяется с температурой практически по экспоненциальному закону, ибо предэкспоненциальный множитель даст значительно

более слабую зависимость от температуры (—- Т и). На основании этого весь предэкспонент в выражении (5.1.23) можно обозначить постоянной величиной В и, прологарифмировав (5.1.23), получить в логарифмическом масштабе уравнение прямой

которая показана на рис. 55 (линия 2).

Рассмотрим теперь для случая примесной проводимости область высоких температур, определяемых неравенством, противополож­ ным (5.1.21):

Заметим, что высокие температуры, определяемые (5.1.25), не должны быть такими, при которых заметную роль начинает играть собственная проводимость.

При условии (5.1.25) радикал под знаком логарифма в выраже­

ходу всех электронов с примесных донорных уровней в зону прово­ димости. Следовательно, в случае высоких температур примесная концентрация электронов в зоне проводимости не зависит от темпе­ ратуры и является постоянной (на рис. 55 это соответствует гори­ зонтальному участку ломаной линии).

Приведенные выше рассуждения говорят о том, что в области высоких температур уровень р опускается ниже донорных уровней, поскольку все они оказываются свободными.

Выводы, сделанные в отношении примесной проводимости элек­ тронного проводника, могут быть по аналогии получены и для ды­ рочного полупроводника. В случае дырочного полупроводника

144

Поскольку температура низкая, постольку в (5.1.27) основное значение имеет первое слагаемое, т. е. уровень р/ проходит почти точно посередине между верхом валентной зоны и акцепторным уровнем.

Если при этом концентрация акцепторных уровней равна Na, то концентрация дырок в валентной зоне определяется выражением

т. е. концентрация дырок с темпера­ турой меняется практически по экс­ поненциальному закону.

В области высоких температур концентрация дырок в валентной зоне становится постоянной: р -- Na.

Ход уровня Ферми при изме­ нении температуры от абсолютного

нуля в сторону увеличения показан на рис. 57 пунктирной кривой. За областью высоких температур дальнейшее повышение темпера­ туры приводит к тому, что основную роль начинает играть собст­ венная проводимость, и кривая р/ = f (Г) на рис. 57 стремится

ксередине запрещенной зоны.

Взаключение рассмотрим вопрос о возможности вырождения электронного газа в полупроводниках. Как говорилось в начале параграфа, обычно электронный газ в полупроводнике будет не­ вырожденным, т. е. для него справедливо распределение (5.1.2)

$ E fg (E )d E

Ё= — = °------------,

п°°

J f e ( E ) d E

о

на основании (5.1.2) и (5.1.6) запишется [см. получение (5.1.7) ] так:

Следовательно, средняя энергия электрона в зоне проводимости

пропорциональна температуре и определяется такой же формулой

з

— kT, как и средняя энергия молекул обычного газа.1

Строгий анализ показывает, что и для электронов в полупровод­ никах наблюдается частичное вырождение. В самом деле, мы ви­ дели, что при повышении температуры от Т = 0 уровень р повы­ шается, приближаясь к дну зоны проводимости (см. рис. 56). При этом, если энергия Egn мала, то уровень р может даже пересечь дно зоны проводимости, тогда нарушается условие /С С а следо­ вательно, теряют справедливость все рассуждения этого параграфа.

Такое частичное вырождение наблюдается в полупроводниках

с большой концентрацией примесей, когда Nd ~ 1019 — . Такие

см3

полупроводники ведут себя как полуметаллы. При этом вырожде­ ние сказывается при низких температурах по сравнению с комнат­ ной. При повышении температуры выше 400° К вырождение прак­ тически снимается. Следовательно, вырождение в полупроводниках имеет место лишь в случае большой концентрации носителей тока, причем при высокой температуре такое вырождение снимается.

5.1.3. ПОНЯТИЕ О КВАЗИУРОВНЯХ ФЕРМИ

Ранее мы ввели понятие об уровне Ферми (уровне химического потенциала) из рассмотрения равновесного распределения электро­ нов по энергиям, когда система находится в состоянии теплового равновесия. Так были получены формулы (5.1.7) и (5.1.9), связываю­ щие равновесные концентрации электронов и дырок с уровнем Ферми р. Однако и в случае неравновесных состояний неравно­ весную концентрацию носителей тока можно связать с величиной, аналогичной уровню Ферми. Такая величина получила название квазиуровня Ферми, причем для электронов и дырок будут различ­ ные квазиуровни Ферми.

Рассмотрим этот вопрос подробнее. Как указывалось в пунктах 5.1.1 и 5.1.2, электроны и дырки в невырожденном полупроводнике, т. е. практически всегда, подчиняются статистике Максвелла— Больцмана, для которой справедливо распределение (5.1.2) частиц по энергиям. На основании (5.1.2) и были получены формулы, (5.1.7) и (5.1.9) для равновесных концентраций электронов п0 и дырок р 0:

2 {2nmnkTj3 * kT

tig ~ —-----------— е ; h31

1 В металлах электронный газ всегда является вырожденным, что объяс­

няется в основном большой концентрацией электронов п ~ 10аз — (усло-

см3

вие I « 1 не выполняется).

146

При получении этих формул энергия электрона Е и значение р отсчитывались в одном направлении. Если, однако, уровень р от­ считывать в положительном направлении вниз от дна зоны прово­ димости (обычно отсчитывалась энергия электрона вверх от дна зоны проводимости), то в приведенных формулах нужно сменить знак у величины р. С учетом этого и в более компактном виде формулы (5.1.7) и (5.1.9!) могут быть записаны так:

где через v„ и vp обозначены величины

2ят* kTy 2

(5.1.32)

h3

и

(2nm*kT' 3/2

(5.1.33)

h3

Неравновесное состояние для носителей тока в полупроводнике можно вызвать, например, путем освещения кристалла. Такое воз­ действие света на полупроводник повысит в нем концентрацию электронов и дырок по сравнению с равновесной.

Как правило, в начальный момент электрон, выбитый светом, имеет кинетическую -энергию, значительно большую средней энер­ гии теплового движения электрона в полупроводнике и равную

[см. (5.1.29)] 3^ kT. Избыточную энергию электрон отдает решетке

2

кристалла при взаимодействии с тепловыми колебаниями решетки

(см. § 1.2).

Этот процесс передачи электроном избыточной энергии решетке осуществляется в среднем за время, в течение которого происходит

10~п сек. Следовательно, электрон примерно за время порядка К Г 11 — 10~13 сек отдает решетке избыточную энергию и приходит

втепловое равновесие.

Сдругой стороны, время жизни электронов до их рекомбинации

с дырками, как мы видели в § 2.6, будет порядка 10-7 — 10~3шс. Другими словами, время жизни избыточных носителей в десятки

тысяч раз больше времени установления теплового равновесия (времени т„).

Отсюда можно сделать вывод, что избыточные электроны и дырки подавляющую часть времени своего существования находятся в со­ стоянии равновесия с решеткой. Но это значит, что распределение носителей тока по энергиям и скоростям также должно описываться статистикой Максвелла—Больцмана, причем в таких распределе­ ниях нужно ввести вместо р для электронов квазиуровень Ферми р„, а для дырок — квазиуровень Ферми рр.

Тогда концентрация электронов в неравновесном состоянии по

где v„ определяется (5.1.32).

Точно так же по аналогии с (5.1.31) концентрация дырок в не­ равновесном состоянии должна определяться выражением

- где vp определяется (5.1.33).

Итак, можно сказать, что неравновесные концентрации элек­ тронов и дырок связаны с квазиуровнями р„ и рр такими же форму­ лами, какими их равновесные концентрации связаны с уровнем р.

На основании сказанного можно заключить, что чем больше от­ клонение неравновесной концентрации носителей от равновесной, тем дальше отстоят квазиуровни Ферми от уровня Ферми р в со­ стоянии теплового равновесия. Действительно, если поделить

(5.1.34) на (5.1.30) и (5.1.35) на (5.1.31), а результаты прологариф­ мировать, то получим

Из (5.1.36) и (5.1.37) также видно, что, если известны неравно­ весные концентрации носителей, то по этим формулам можно опре­ делить положение квазиуровней.

§ 5.2. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ И КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ

S.2.I. ТЕРМОЭЛЕКТРОННАЯ ЭМИССИЯ

Свободные электроны в полупроводнике, как отмечалось в § 2.1, притягиваются положительными ионами кристаллической решетки, поэтому энергия электрона в кристалле меньше, чем энергия элек­ трона в вакууме. Для того чтобы свободный электрон мог выйти за

146

пределы полупроводника, необходимо сообщить ему дополнитель­ ную энергию. Внешней работой выхода электрона из полупровод­ ника называется та дополнительная энергия Фп, которую нужно сообщить электрону, находящемуся на дне зоны проводимости, чтобы он мог выйти в вакуум (рис. 58). Следовательно, для выхода электрона из полупроводника ему необходимо преодолеть потен­ циальный барьер, равный Ф„.

Работа выхода Ф„ зависит от свойств кристаллической решетки и для полупроводников будет порядка нескольких электронвольт

Ф„ — 1 -г-6 эв.

Если температура полупроводника достаточно высокая, то за счет теплового движения средняя энергия электронов повышается

в 1 с.мАчисло электронов, энергии которых лежат в интервале от Е до Е + dE, запишется в виде:

Для того чтобы записать аналогичное распределение для элек­ тронов, скорости которых лежат в интервале (их, vx + dvx\ vy, vy + dvy; vz, vz -f- dvz), воспользуемся аналогией с классической статистикой, рассмотренной в § 1.2. Можно, очевидно, предпола­ гать, что коэффициент в искомом распределении электронов по ско­ ростям должен быть связан с коэффициентом распределения (5.2.1) по энергиям так же, как связаны между собой аналогичные распре­ деления (1.2.32]) и (1.2.33) в классической статистике. Там для пе­ рехода от (1.2.33) к (1.2.32]) необходимо было умножить коэффи­

хода от распределения (5.2.1).электронов по энергиям к распреде­

149