книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

Если теперь умножим (4.3.15) на число атомов п в единице объема, то получим интенсивность намагничения

6т

Соответственно отношение интенсивности намагничения 1т к ин­ дукции поля в вакууме В 0 выражает магнитную восприимчивость

Если известно строение атома и средний радиус электронных орбит, то величинах для данного вещества может быть рассчитана

теоретически, например, для а = Ю-10 м, п = 5 -1028 м ~'3 получим

X = К Г6 z.

Из формулы (4.3.17) следует, что магнитная восприимчивость диамагнетиков не зависит от температуры Т, от напряженности поля Я и возрастает с увеличением порядкового номера элемента

zпо линейному закону.

Вотсутствие магнитного поля в металлах свободные электроны

впромежутках между соударениями движутся по прямолинейным траекториям. В магнитном поле электроны движутся по винтовым линиям, что неизбежно приводит к появлению диамагнетизма сво­ бодных электронов. Магнитная восприимчивость, обусловленная диамагнетизмом свободных электронов, может быть выражена сле­ дующей формулой:

(4.3.18)

3|х0Ц

где п — концентрация электронного газа; ps — магнетон Бора; /л — энергия Ферми.

4.3.3. ПАРАМАГНЕТИЗМ ТЕЛ

Рассмотрим вначале классическую теорию парамагнетизма. Па­ рамагнитные свойства обнаруживаются у элементов, атомы и мо­ лекулы которых имеют нечетное число электронов, а также у ато­ мов и ионов с незаполненной внутренней оболочкой. Подобные атомы представляют собой постоянные магнитные диполи и, следо­ вательно, обладают постоянным магнитным моментом р, возникаю­ щим вследствие неполной компенсации орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов.

Как известно, потенциальная энергия диполя во внешнем поле напряженностью Н (без учета взаимодействия диполей друг с дру­

где 0 — угол между направлением магнитного момента р и направ­ лением поля Н (рис. 43).

120

Под действием внешнего магнитного поля все диполи стремятся ориентироваться в направлении поля Н, тепловое движение стре­ мится разбросать их равномерно по всем направлениям. Резуль­ тирующее намагничивание определяется статистическим равнове­ сием между ориентирующим действием магнитного поля и дезори­ ентирующим действием теплового движения.

Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном в 1905 г. Он полагал, что магнитные моменты атомов могут ориентироваться в однородном магнитном поле произвольным обра­ зом, вследствие чего угол 0 [см. (4.3.19)] может принимать любые значения. Равновесное распределение моментов атомных диполей по направлениям должно подчиняться распределению Больцмана. По­

этому вероятность того, что атомный диполь будет ориентирован от­ носительно поля Я под углом, заключенным между 0 и 0 + dQ, т. е. будет заключен внутри телесного угла dQ (рис. 44), может быть задана в таком виде:

Выражая элементарный телесный угол dQ через плоский dQ = = 2л sin QdQ и подставив в (4.3.20) вместо потенциальной энергии Um ее значение из равенства (4.3.19), получим

где С — 2лСх — постоянная величина.

Среднее значение проекции магнитного момента атома на направ­ ление поля Я было найдено Ланжевеном в таком виде:

121

Ланжевен нашел также зависимость интенсивности намагничи­ вания парамагнетиков от параметра а:

где п — число атомов в единице объема.

Тогда с учетом (4.3.25) магнитная восприимчивость парамагне­ тика будет равна

Формула (4.3.28) выражает собой так называемый закон Кюри

где С — постоянная Кюри, зависящая от рода вещества

(4.3.29!)

Зц0А

В системе единиц СИ магнитный момент измеряется в в-сек-м. Следует заметить, что в ряде учебников и учебных пособий ис­

пользуется формула для магнитного момента в виде pm = IS (без

122

ц0) и рт измеряется в а-ж2, поэтому формулы для %и С имеют вид, отличный от формул (4.3.28) и (4.3.29!). Если же подставить вместо рт значение р = ц0рт , Т0 получим для магнитной восприимчиво­ сти такое же выражение

XпРтУо

3kT ’

какое дается в других источниках. При этом кажущееся несовпаде­ ние формул снимается.

В очень сильных полях или при очень низких температурах не­ равенство a<j(l перестает выполняться и линейная зависимость между L (а) от а нарушается

(рис. 45).

Из (4.3.23) также видно, что при 1 L (а)-5-1. Это предель­ ное значение функции Ланжевена физически соответствует магнитному насыщению, когда большая часть магнитных мо­ ментов атомов ориентирована вдоль направления напряжен­ ности внешнего магнитного поля.

Остановимся кратко на кван­ товой теории парамагнетизма. Классическая теория парамаг­ нетизма, разработанная Ланжевеном, допускала возможность

любых ориентаций магнитных моментов атомов относительно поля Н. Квантовая же теория парамагнетизма учитывает то обстоятель­ ство, что возможны лишь дискретные ориентации магнитного мо­ мента атома относительно поля.

С учетом правил пространственного квантования (см. § 1.2) пол­ ный момент количества движения атома P j [см. (1.1.102) ) опреде­ ляется квантовым числом J:

P j = V J { J + \)hv

Относительно направления магнитного поля Н момент P j может ориентироваться только так, чтобы его проекция на это направ­ ление была кратной [см. (1.1.103)], начиная от величины /гд:

Р j h ~ M j h i ,

где rrij — магнитное квантовое число атома.

С учетом дискретности значений проекции P JH ее среднее зна­ чение P JH будет равно отношению сумм:

123

при записи которых учли, что в функции распределения Больцмана

_Vm

е кт потенциальная энергия атома в магнитном поле равна

Um= - P JHH.

Вычисление этих сумм приводит для среднего значения проекции

JgH„H

Здесь рв — магнетон Бора; fS — параметр, равный р = ----— ; kT

B j (Р) — так называемая функция Бриллюэна, g — фактор спек­ троскопического расщепления, определяемый по формуле Ланде

Численное значение фактора g за­ ключено между 1 и 2.

Интенсивность намагничения, очевидно, равна произведению

Р JH на число (п) атомов или моле­ кул в единице объема парамагне­

тика:

Рис. 46

Im==PjHn=ng\LBJB j($ ). (4.3.30)

Тогда магнитная восприимчивость парамагнетика будет

Формулы (4.3.30) и (4.3.31) для величин Im и х можно исследо­ вать для предельных значений параметра р.

В самом деле, при не слишком сильных магнитных полях и вы­ соких температурах параметр

JgpВН

« 1 -

kT

124

I

В этом случае разложение в ряд функции Бриллюэна приводит к приближенному выражению

(4.3.32)

Тогда, подставляя (4.3.32) и значение параметра р в (4.3.30) и (4.3.31), будем иметь:

а.)

где величина

p = g V J ( j + 1)

определяет эффективное число магнетонов Бора, приходящихся на один атом.

Из формул (4.3.33) и (4.3.34) видно, что в случае высоких темпе­

что и подтверждается опытом.

Хорошее согласование квантовой теории с опытом показано на кривых (рис. 46), выражающих зависимость среднего магнитного

125

момента, приходящегося на ион хрома (Сг3+), железа (Fe3+) и кад­

мия (Cd3+), от отношения — .

Следует заметить, что у всех ионов имеются нескомпенсирован-

Рассмотрим парамагнетизм свободных электронов. Если бы элек­ троны проводимости в металлах вели себя так, как классический электронный газ, то магнитная восприимчивость такого газа под­ чинялась бы закону Кюри, т. е. была бы обратно пропорциональна абсолютной температуре. Однако исследования показали, что у ряда металлов был обнаружен парамагнетизм, не зависящий от температуры. Объяснил это явление Паули, показавший, что па­ рамагнетизм вызывается магнитными моментами, связанными со спинами электронов проводимости. Поэтому его назвали парамагне­ тизмом свободных электронов.

В соответствии с принципом Паули электроны проводимости попарно заполняют свободные энергетические уровни в зоне прово­ димости металла. На каждом занятом уровне размещаются по два электрона с антипараллельными спинами (рис. 47, а). Для нагляд­ ности на рис. 47, б зона проводимости представлена в виде двух полузон: одна из них содержит электроны со спинами, направлен­ ными вверх, другая — со спинами, направленными вниз. Поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля суммарный магнитный мо­ мент электронов проводимости равен нулю.

При наложении внешнего магнитного поля картина изменяется. Свободный электрон, имеющий спин, направленный вдоль внеш­ него магнитного поля Я, будет обладать меньшей потенциальной энергией, чем электрон с противоположно направленным спиновым магнитным моментом, вследствие чего первая полузона опускается вниз на — рвЯ (рис. 47, в); у электрона же, имеющего спин, направ­ ленный противоположно внешнему полю Я, энергия увеличивается, вследствие чего вторая полузона поднимается вверх на + рвЯ. Между верхними уровнями этих полузон возникает разность, рав­ ная 2р вЯ. Возникновение этой разности приводит к переходу элек­ тронов из второй полузоны в первую до тех пор, пока верхние уровни полузон не сравняются (рис. 47, г). В результате действия на металл магнитного поля число электронов, спины которых на-, правлены параллельно полю, будет больше числа электронов со спинами, направленными противоположно полю.

126

4.3.4. ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ТЕЛА

Согласно теории Бора, как уже говорилось в п. 4.3.1, электрон, движущийся по орбите, образует круговой ток. Орбитальный маг­ нитный момент рт , обусловленный движением электрона по орбите, имеет противоположное направление вектору рг, называемому ор­ битальным механическим моментом электрона. Отношение магнит­ ного момента электрона к его механическому моменту называется гиромагнитным отношением:

Тесная связь механического и магнитного моментов электрона на орбите говорит о том, что механическим движением тела можно выз­ вать его намагничение и, наоборот, намагничение должно приво­ дить к появлению механического движения.

Появление момента количества движения при намагничении тела было впервые установлено в опытах Эйнштейна и де Гааза и получило название магнитомеханического эффекта. В основу опыта были положены следующие соображения. Если намагнитить стер­ жень из ферромагнетика, то орбитальные магнитные моменты элек­ тронов установятся по направлению поля, а механические мо­

Механическую модель этого опыта можно осуществить, поста­ вив человека на скамейку Жуковского и дав ему в руки вращаю­ щееся велосипедное колесо. Поворачивая колесо вверх, человек вместе со скамейкой приходит во вращение в сторону, противопо­ ложную направлению вращения колеса.

В опыте Эйнштейна и де Гааза ферромагнитный стержень, под­ вешенный на тонкой кварцевой нити, помещался внутри вертикаль­ ного соленоида вдоль его оси (рис. 48). При пропускании тока через соленоид стержень намагничивался и приобретал соответствую­ щий вращательный импульс, под действием которого он поворачи­ вался на некоторый угол, закручивая кварцевую нить. Это наблю­ далось с помощью светового луча, отражающегося от зеркала 3, закрепленного на нити.

Для усиления эффекта был применен метод резонанса. Соленоид питался переменным током, частота которого подбиралась равной частоте собственных механических колебаний системы. Периодиче­ ски изменяя направление намагниченности с частотой собствен­ ных крутильных колебаний стержня, удается вызвать его крутиль­ ные колебания с измеримой амплитудой.

Обратный опыт — возбуждение намагниченности при закручи­ вании ферромагнетика — был произведен Барнетом (1915 г.).

127

Из этих опытов было определено гиромагнитное отношение

Г = — . Величина этого отношения оказалась в два раза больше ожи-

Pi

даемого значения по теории. До открытия спина электрона в 1926 г. причина этого расхождения оставалась неизвестной. После откры­ тия магнитного момента электрона и половинного значения спино-

ными моментами, т. е. ферромагнетизм обусловлен спиновыми маг- ’ нитными моментами электронов.

Выясним роль обменного взаимодействия в возникновении ферро­ магнетизма. Естественно было бы предполагать, что между спино­

выми магнитными моментами проявляется обычное магнитное взаи­ модействие, которое обеспечивает самопроизвольное намагничение внутри домена или области спонтанного намагничения. Однако рас­ чет показывает, что энергия магнитного взаимодействия спинов настолько мала, что уже при температуре минус 200° С энергия теп­ лового движения атомов оказалась бы достаточной для разруше­ ния этих связей.

Наблюдения за прохождением |3-лучей через тонкие слои ферро­ магнетиков показали, что взаимодействия в ферромагнетиках имеют немагнитную природу. Эти силы электрического взаимодействия в системе электронов подчиняются квантовым законам.

Было показано, что ферромагнетизм возникает вследствие об­ менного взаимодействия электронов недостроенных оболочек сосед­ них атомов. Когда атомы ферромагнетика образуют кристалличе­ скую решетку, то их валентные электроны обобществляются, а волновые функции электронов недостроенных оболочек соседних атомов перекрываются, вследствие чего обменное взаимодействие

128

становится достаточно большим. Наличие обменного взаимодейст­ вия приводит к изменению энергии системы, которая может быть рассчитана по формуле

где 2Е 0 — энергия двух изолированных атомов водорода; К — энер­ гия электростатического взаимодействия зарядов, входящих в со­ став атомов; 5 — интеграл неортогональности; А — обменная энер­

гия или обменный интеграл, учитывающий обмен атомов с электро­ нами.

Если обменный интеграл отрицательный, то устанавливается антипараллельная ориентация спинов (ковалентная связь), возни­ кает антиферромагнетизм. Положительному интегралу отвечает параллельная ориентация спинов, что имеет место при самопроиз­ вольном намагничении ферромагнетика (рис. 49). В этом случае под действием обменных сил спины электронов внутренних недо­ строенных оболочек ориентируются параллельно друг другу.

Знак обменного интеграла А зависит от отношения постоянной кристаллической решетки d к диаметру незаполненной электронной оболочки атома а для переходных металлов группы железа.

Зависимость величины и знака обменного интеграла А от отно­

леза, марганца и других элементов этой группы (поэтому они не­ ферромагнитны).

Основываясь на этом, можно сформулировать следующие усло­ вия возникновения ферромагнетизма:

129