книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

Если теперь взять отношение

то при больших л оно будет стремиться к нулю.

Отсюда напрашивается вывод, что дискретность, или раздель­ ность, энергетических уровней сказывается лишь для малых значе­ ний квантового числа. При больших же значениях л дискретность уровней утрачивается.

Точно так же, используя выражение (1.1.36), можно для неко­ торых значений л зарисовать графики волновой функции в случае электрона в потенциальной яме (рис. 3). Получение этих графиков

ские уровни будут возбужденными.

Выше мы рассмотрели одновременную или плоскую модель по­ тенциальной ямы. Совершенно аналогично можно было бы рассмот­ реть трехмерную задачу. В этом случае необходимо учитывать все три координаты х, у, z, а одномерная потенциальная яма как бы заменяется потенциальным ящиком, имеющим три измерения.

В такой трехмерной задаче решение волнового уравнения, оп­

20

Соответственно собственные значения энергии определяются фор­ мулой

Используя выражение (1.1.40), легко показать на примере этой трехмерной задачи вырождение энергетических уровней, о котором говорилось в пунктах 1.1.2 — 1.1.4.

Предположим, что

Хотя выражением (1.1.42) задан вполне определенный энерге­ тический уровень, однако условие (1.1.41) может быть выполнено тремя различными комбинациями квантовых чисел пх, п2, п3:

(1.1.38) будет свое значение волновой функции, то заданному энер­ гетическому уровню будут соответствовать три различных значе­ ния волновой функции. Другими словами, заданному энергетиче­ скому уровню будут соответствовать три различных состояния частицы, или этот уровень будет иметь трехкратное вырождение.

1.1.7. ПРОХОЖДЕНИЕ МИКРОЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

Пусть имеется потенциальный барьер высотой V в виде прямо­ угольного уступа, показанный на рис. 4. Будем рассматривать об­ ласть 1 — слева от барьера и область 2 — справа от барьера. При этом считаем, что частица массой т имеет энергию Е и движется к барьеру слева направо. Указанные ограничения аналитически могут быть записаны так:

V = V (х) при 0 < * < + оо (область 2).

21

Волновое уравнение (1.1.29!), соответствующее уравнению Шредингера, с учетом одной координаты х запишем отдельно: для области 1

(1.1.44)

для области 2

Общие решения уравнений (1.1.44) и (1.1.45) можно записать

ввиде: область 1

Проанализируем эти решения. В решении (1.1.47) первое сла­ гаемое представляет собой плоскую волну, бегущую в положитель­ ном направлении оси х, т. е. слева направо или к барьеру. Другими словами, это будет падающая на барьер волна. Точно так же легко видеть, что второе слагаемое в (1.1.47) определяет волну, распро­ страняющуюся в противоположном направлении (в отрицательном направлении оси х), т. е. волну, отраженную от потенциального барьера.

Аналогично этому в решении (1.1.48) первое слагаемое опреде­ ляет волну, бегущую в области 2 направо, т. е. волну, проходящую через потенциальный барьер. Из этих же соображений второе сла­ гаемое в (1.1.48) должно соответствовать волне, бегущей в области 2 справа налево, т. е. как бы отраженную волну. Однако в области 2 волне не от чего отражаться, и по смыслу такой волны не может быть. Поэтому в решении (1.1.48) из физических соображений не­

Для оценки по энергии коэффициентов отражения R и пропу­ скания D в случае заданного барьера используем то положение, что интенсивность волны прямо пропорциональна квадрату ее ам­ плитуды.

Тогда коэффициент отражения от потенциального барьера будет равен

22

Аналогично этому коэффициент пропускания или коэффициент прозрачности потенциального барьера запишется в виде:

а Х2 и — длины волн в областях 2 и 1. При этом в выражениях (1.1.49) и (1.1.50) в силу комплексности функций и ф2 взяты квадраты модулей соответствующих амплитуд. Необходимо также оговориться, что по закону сохранения энергии должно выпол­ няться соотношение

мнимой величиной. В самом деле, при V^>E

В данном случае волновая функция будет экспоненциально убы­ вающей

Однако квадрат ф2 по смыслу определяет вероятность проникно­ вения частицы за потенциальный барьер. Отсюда эта вероятность не равна нулю, а имеет вполне определенное конечное значение.

С учетом (1.1.53) для случая высокого барьера коэффициент D прозрачности потенциального барьера толщиной d будет опреде­ ляться выражением

23

Из выражения (1.1.54) видно, что коэффициент прозрачности барьера убывает с увеличением толщины барьера по экспоненци­ альному закону. Ниже приводим расчетные значения коэффици­ ента D в зависимости от изменения толщины барьера d:

барьера соответствует атомным размерам.

На основании изложенного можно сделать вывод, что согласно квантовой механике через потенциальный барьер могут проникать даже те микрочастицы, энергия которых меньше высоты барьера. Частицы .как бы просачиваются через барьер, проходят через него в порядке туннельного перехода. Отсюда это явление и получило название туннельного эффекта.

§1.2. СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

1.2.1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕРМОДИНАМИКИ

И СТАТИСТИКИ

Если под системой понимать тело или совокупность тел, состоя­ щих из большого числа частиц, то макроскопические процессы в та­ кой системе, разумеется, будут зависеть от поведения ее частиц, т. е. от микроскопических процессов, происходящих с частицами. Однако термодинамика описывает макроскопические свойства си­ стем, не входя в детальное изучение микроскопических процессов. При этом термодинамика, хотя и не осуществляет микроскопическое рассмотрение процессов, относительно протекания их делает вы­ воды настолько достоверные, насколько достоверны законы, лежа­ щие в ее основе. В термодинамике, рассматривающей процессы (в основном, тепловые) с энергетической точки зрения, утверждается что тепло dQ, подводимое к системе, затрачивается на увеличение ее внутренней энергии dE и на работу dA против внешних сил, т. е.

Равенство (1.2.1), называемое первым началом термодинамики, является применением закона сохранения энергии к термодинами­ ческим системам и процессам.

В термодинамике также вводится понятие об энтропии S си­ стемы как о функции, которая для обратимых процессов опреде­ ляется согласно равенству

( 1.2.2)

Другими словами, энтропия для обратимого процесса является такой функцией состояния системы, полный дифференциал которой

24

равен dQ . Поэтому в термодинамике энтропию часто связывают

Т

сприведенным теплом, определяемым отношением — .

Вусловиях термодинамического равновесия, в которое прихо­ дит система, находящаяся в постоянных внешних условиях и пре­ доставленная самой себе, энтропия максимальна.

Второе начало термодинамики утверждает, что

(1.2.3)

т. е. что при обратимых процессах энтропия системы не изменяется, а необратимые процессы [знак неравенства в (1.2.3)] протекают с увеличением энтропии. В частности, превращение тепла в работу является необратимым, а второе начало рассматривается как ут­ верждение о невозможности осуществления в системе периодиче­ ского процесса, единственным результатом которого было бы по­ лучение работы за счет тепла, взятого от одного источника.1

Состояние равновесия системы для одних внешних условий (объем, давление, внешние поля и т. п.) не сохраняется при других внешних условиях. Следовательно, при изменении внешних усло­ вий для системы будет изменяться и ее состояние. Время, в течение которого система приходит к состоянию равновесия, называется временем релаксации. Очевидно, что время релаксации будет за­ висеть от величины отклонения параметров, характеризующих со­ стояние системы, от их равновесного значения.

Можно также представить себе и такой процесс, при котором внешние параметры изменяются настолько медленно, что система во всех промежуточных состояниях между начальным и конечным состояниями успевает приходить в равновесие. Такие процессы называются квазистатическими. Квазистатические, или медленно протекающие, процессы называются также равновесными процес­ сами. Очевидно, что все равновесные, или квазистатические, про­ цессы обратимы.

Входе процесса изменения состояния системы могут изменяться либо все параметры, либо некоторые из них остаются неизменными.

Всвязи с этим в термодинамике обычно рассматривают: изотерми­ ческий, адиабатический и политропический процессы.

Вслучае изотермического процесса не изменяется температура системы или температура системы поддерживается постоянной,

причем при Т = const и йТ = 0 величина dQ Ф 0. При политропическом процессе меняются и температура (6.Т Ф 0) и теплосодержа­ ние (dQ Ф 0) системы.

Адиабатическим называется процесс, протекающий без тепло­ обмена с окружающей средой (dQ = 0). Адиабатический процесс

1 В термодинамике доказывается, что при периодическом процессе (для периодического двигателя) тепло, отбираемое от нагревателя, частично пре­ вращается в работу, а частично идет на нагревание холодильника.

25

в системе будет, например, в том случае, когда система теплоизоли­ рована от других тел или когда изменение параметров произошло настолько быстро, что практически теплообмен не имел места.

Из определения адиабатического процесса и выражения (1.2.1) следует, что при таком процессе

т. е. работа может совершаться за счет убыли внутренней энергии системы.

При квазистатическом процессе, который, как указывали выше, является обратимым, справедливо равенство (1.2.2), поэтому ш а основании (1.2.1) и (1.2.2), в случае наличия теплообмена с окру­ жающей средой работа, производимая системой, будет:

Следовательно, работа, совершаемая системой, обменивающейся теплом с окружающей средой при условии постоянства темпера­ туры, равна убыли функции

называемой свободной энергией системы. Так как из (1.2.6) энергия Е — F TS, то можно заключить, что энергия системы равна сумме свободной энергии F, которая при изменении внешних усло­ вий может быть превращена в работу, и энергии связанной (беспо­ лезной) TS, превращающейся в тепло.

Согласно выражению (1.2.1) энергия системы может изменяться вследствие совершаемой работы или за счет обмена теплом:

Однако энергия системы может также изменяться за счет изменения в ней числа частиц N1. Поэтому в самом общем виде закон сохранения энергии (1.2.7) можно записать в виде:

а в случае квазистатического процесса с учетом (1.2.2) в виде:

Введенная в выражения (1.2.8) и (1.2.9) величина р называется химическим потенциалом. Для выяснения смысла р рассмотрим совместно полный дифференциал связанной энергии d (TS) — = TdS + SdT и выражение (1.2.9). В результате этого и с учетом

(1.2.6) получим

1 Применительно к полупроводникам такое изменение может быть, на­ пример, при переходе электронов из одного полупроводника в другой, из полупроводника в металл или в вакуум.

26

Согласно (1.2.11) химический потенциал есть свободная энергия системы, приходящаяся на одну частицу при постоянстве темпера­ туры и внешних параметров среды (dA = 0). В применении к элек­ тронам в полупроводниках р определяет свободную энергию, при­ ходящуюся на один электрон.

На основании (1.2.11) и (1.2.6) можно также записать:

Каково же необходимое условие для термодинамического равно­ весия тел при контакте двух тел, например, при контакте двух по­ лупроводников или полупроводника и металла. Выше мы указы­ вали, что для изолированной системы равновесию соответствует максимум энтропии. Тогда на основании этого и (1.2.6) можно за­ ключить, что при изотермическом процессе (система в термостате) свободная энергия соответствует минимуму. Если теперь для кон­ такта двух тел обозначить их химические потенциалы, свободные энергии и числа частиц через p lt F lt Л/ф, р 2, F 2, N 2, то свободную энергию системы из двух тел можно записать:

Из (1.2.13) следует, что для равновесия этих двух тел необхо­ димо равенство их химических потенциалов. Действительно, при равновесии свободная энергия системы должна быть минимальной, а это выполняется при р х = р 2, так как, если р х =f= р 2, имеет место переход электронов из одного тела в другое, что, однако, должно сопровождаться уменьшением свободной энергии этого тела, т. е. такое состояние тогда не будет равновесным.

Введенная выше величина р, названная нами химическим по­ тенциалом, фактически имеет размерность энергии, соответствую­ щей химическому потенциалу. Поэтому сам химический потенциал для электрона (обозначим его через р0) будет

]£

Ро = е

где е — заряд электрона.

1.2.2. НЕКОТОРЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБЩЕЙ ФИЗИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Понятие об энтропии. Энтропия S, формально введенная в тер­ модинамических соотношениях пункта 1.2.1 как функция состоя­ ния системы, получает физическое истолкование лишь в статиче­ ской физике.

27

Статистическая физика, изучая свойства макроскопических си­ стем, исходит из свойств и поведения составляющих ее частиц (ато­ мов, молекул, а также электронов и других элементарных частиц). При этом статистическая физика рассматривает равновесные со­ стояния систем, используя в математическом отношении статисти­ ческий метод.

Как показывается в физической статистике, энтропия системы связана с логарифмом термодинамической вероятности WTформулой

где k — постоянная Больцмана.

Если учесть, что термодинамическая вероятность количественно равна числу микросостояний, выполняющих данное макроскопиче­ ское состояние системы, то формула (1.2.14) определяет энтропию как логарифм этого числа. Часто говорят также, что энтропия си­ стемы есть количественная мера неопределенности макросостояния этой системы, осуществляемого через совокупность микросостоя­ ний ее частей.

При равновесном состоянии, которое является наиболее веро­ ятным, вероятность WT, а следовательно, и энтропии имеют макси­ мальное значение. Если, например, объем, занятый молекулами газа разбить на одинаковые части, то наиболее вероятным будет такое распределение молекул по объему, при котором в одинако­ вых частях объема в среднем будет одинаковое число молекул. Наоборот, наименьшей вероятностью будет обладать такое распре­ деление молекул газа, когда они все соберутся в одной ячейке объема.

Выражение для термодинамической вероятности легко записать на основании следующих соображений. Если представить себе, что

перестановок из этих N частиц, т. е. АП. Если далее данное макро­ скопическое состояние системы из N частиц определяется тем, что частицы распределены по группам (N x частиц в 1-й группе, . . . , N t частиц в г'-й группе), то число микрораспределений, не нарушаю­ щих данное макросостояние, будет

В выражении (1.2.15) буква П означает произведение, а знамена­ тель в (1.2.15) учитывает тот факт, что перестановка частиц 1 в груп­ пах не нарушает макросостояние системы.

В заключение этого вопроса проанализируем, подходит ли функ­ ция In WT в качестве количественной меры неопределенности мак­ росостояния системы, т. е. в качестве энтропии (1.2.14)»

1 Известно, что число перестановок из N[ одинаковых частиц равно N(\.

28

неопределенности нет, т. е. неопределенность этого макросостояния

Во-вторых, по физическим соображениям, с ростом числа воз­ можных микросостояний, осуществляющих данное макросостояние системы, т. е. с ростом Wr, должна возрастать неопределенность обнаружить систему именно в данном состоянии. Легко видеть, что функция In Wт или формула (1.2.14) подходит и в этом случае, так как с ростом аргумента №т логарифмическая функция воз­ растает, а значит растет и энтропия S. Следовательно, энтропия, определяемая по формуле (1.2.14), действительно является коли­ чественной мерой неопределенности макроскопического состояния системы.

Необходимо заметить, что постоянная Больцмана k вводится в формулу (1.2.14) для энтропии из соображений размерности.

Функция распределения. Получим теперь в рамках классиче­ ской статистики функцию канонического (наиболее вероятного) распределения частиц по состояниям или по энергиям, определяю­ щим эти состояния. Для этого из N частиц системы выберем N ( ча­ стиц, обладающих полной энергией E it тогда вероятность того, что одна частица обладает энергией E h запишется в виде:

(1.2.16)

Если рассматриваемое распределение частиц считать наиболее вероятным, т. е. соответствующим термодинамическому равнове­ сию, то энтропия 5 такого распределения будет максимальной, а ее вариация (вариация, как известно, есть операция, аналогичная дифференцированию) равной нулю (бS = 0). Однако условие 65 = 0 на основании (1.2.14) соответствует условию

Кроме этого, заданными и постоянными величинами будут: пол­ ная энергия системы

Но тогда вариации этих постоянных величин также будут равны нулю, т. е. 6Д = 0 и 6jV = 0. (1.2.20)

При раскрытии вариаций (1.2.17) и (1.2.20) будем учитывать, что для заданной E t вариация бЕ{ = 0, а, исходя из определения математической вероятности wh согласно (1.2.16), сумма

29