книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

В гранецентрированных кубических решетках (см. рис. 22, в) кроме восьми атомов по вершинам куба присутствуют шесть атомов в центрах всех шести граней куба. Следовательно, ^ решетках типа г. ц. к. расположение атомных плоскостей соответствует структуре

5—4—5.

В природных условиях часто встречается гексагональная гране­ центрированная плотноупакованная решетка со структурой 7—3—7 (см. рис. 26). При этом в центре только трех боковых граней (с че­ редованием через одну) располагаются дополнительные атомы (на рисунке они отмечены темными кружками).

3.2.2. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КУБИЧЕСКИХ РЕШЕТОК И РЕШЕТКИ АЛМАЗА

Теоретический расчет решеток обычно включает определение: атомного радиуса гл, числа атомов Na в элементарном кубе, коорди­

национного числа NK и плотности упаковки решетки Dyn. Определение атомного радиуса было дано выше, а параметры

NK и Dyn требуют уточнения.

Координационным числом для данного типа решетки называется число ближайших соседей к данному атому. Плотностью упаковки

Что же касается числа атомов N& в элементарном кубе, то его

необходимо определить отдельно для каждого типа решетки. Расчет параметров простой кубической решетки (п. к.). Из

рис. 31 видно, что каждый атом в вершине куба окружен шестью

соседями. Следовательно, координационное число /V*'15 == 6. Кроме того, из рис. 31 видно, что каждый атом в вершине куба

одновременно относится к восьми ячейкам. Поэтому каждый атом в данную ячейку вносит вклад в 1/8 атома, а все 8 атомов данной ячейки вносят в нее вклад, равный 1/8 х 8 = 1 атому. Отсюда для простой кубической решетки N ^'K = 1.

Из рис. 31 также следует, что расстояние d между соседями равно ребру элементарного куба, т. е.

-а.

Соответственно атомный радиус будет

^ П . К _ _ d а

¥2

90

Наконец, плотность упаковки на основании (3.2.1) будет

Пп к .

LSyn

т. е.

ЯупК= ^ - = 0,52.

Расчет объемноцентрированной кубической решетки. Поскольку центром симметрии такой решетки является атом в центре куба,

о —

постольку расстояние до соседних атомов должно отсчитываться от этого атома. Из рис. 32 видно, что

т. е.

й Г ' к = - у К 3,

а атомный радиус

а4

По сравнению с простой кубической решеткой для о. ц. к. в эле­ ментарную ячейку добавляется еще один атом в центре куба, по­ этому число атомов в элементарном кубе будет равно двум:

Na = 1 -f 1 = 2 атома.

Как следует из рис. 32 у центрального атома в решетке о. ц. к. имеется восемь соседей, отсюда координационное число оказывается равным

№к ц- к = 8.

91

На основании предыдущих расчетов и формулы (3.2.1) плотность упаковки для решетки о. ц. к. будет

8

Расчет гранецентрированной кубической решетки (г. ц. к.) Для этой решетки любой атом в центре грани (например, атом F на рис. 33) имеет 12 ближайших соседей, так как расстояния FB и FE одинаковы. Действительно,

FE = V «?+£ <?=]/ (-“ )!+ (т )’“ Др-

И

Отсюда координационное число будет

/V* ц' к= 12.

Соотйетственно для расстояния между ближайшими соседями можно записать:

(fa-ц' к = FE — F B ,

т. е.

а атомный радиус окажется равным

а4

По сравнению с простой кубической решеткой в г. ц. к. допол­ нительно имеется 6 атомов в центрах граней, причем каждый из них одновременно относится к двум элементарным ячейкам, а в данную ячейку вносит вклад, равный 1/2 атома. Следовательно, в элементарном кубе гранецентрированной кубической решетки будет число атомов:

Na"ц к= 1 + 6 - — = 4 атома.

2

92

На основании предыдущих рассуждений плотность упаковки для гранецентрированной кубической решетки определится вели­ чиной:

Расчет решетки алмаза. Эту решетку можно рассматривать на основе кубической гранецентрированной решетки, в элементарном кубе которого дополнительно имеется четыре атома. Одна из ячеек показана на рис. 34.

В этой ячейке каждый атом (на рис. 34 это белый кружок) ок­ ружен четырьмя соседями, расположенными на одинаковом рас­ стоянии da от него.

Как следует из рисунка,

<йлм=вс = угАв2+ ас2= ~\/(т)2+

а атомный радиус оказывается равным

В элементарный куб решетки алмаза, по сравнению с гранецен­ трированной кубической решеткой, дополнительно входят четыре атома, один из которых отмечен на рис. 34 белым кружком. По­

93

этому число атомов в элементарном кубе для решетки алмаза будет

yVa = 4 + 4 = 8 атомов.

Координационное же число для алмаза принимает значение

]УкЛМ= 4,

так как в ячейке алмаза каждый атом углерода окружен четырьмя соседями.

Отсюда для плотности упаковки решетки алмаза на основании предыдущих расчетов имеем

В заключение этого пункта укажем, что рассмотрение решетки алмаза является особо важным потому, что, как известно, такого же типа решетку имеют наиболее распространенные полупровод­ ники — германий и кремний.

Интересно также отметить, что, как показывают расчеты и опыт, гексагональная гранецентрированная решетка, изображенная на рис. 26, имеет такую же плотность упаковки 0,72, которую мы по­ лучили для кубической гранецентрированной решетки.

Результаты расчетов п. 3.2.2 можно свести в табл. 3 параметров кубических решеток.

Т а б л и ц а 3

Из табл. 3 видно, что из кубических решеток наибольшую плот­ ность упаковки атомов имеет гранецентрированная, а наимень­ шую — простая кубическая. С другой стороны, из таблицы видно,

94

что решетка алмаза, в смысле плотности упаковки (применительно к элементарному кубу), является достаточно рыхлой. Между тем, известно, что в отдельных ячейках атомы углерода связаны весьма сильной связью и механическая прочность таких ячеек высокая.

3.2.3. РАСЧЕТ ПЛОТНОСТИ КРИСТАЛЛОВ

Легко видеть, что на основании результатов, полученных в 3.2.2, можно теоретически рассчитать плотность кристаллического твер­ дого тела. В самом деле, исходя из общего определения плотности, как массы единицы объема, в расчете на объем элементарного куба, можно записать:

где т &— масса одного атома.

С другой стороны, величина т а может быть определена через атомный вес А и число Авогадро N = 6,02-1023 Ммоль, т. е.

Тогда формула (3.2.2) перепишется в виде:

Однако при таких расчетах обычно бывает задано не ребро a элементарного куба, а расстояние da между соседними атомами (постоянная решетки). Разумеется, что может быть задан также

а элементарного куба определяется для конкретного типа решетки из табл. 3.

Если, например, кристалл имеет гранецентрированную кубиче­ скую решетку, то

Следовательно, плотность такого кристалла согласно формул

где, как известно, Na = 4.

Из сказанного можно заключить, что плотность кристалличе­ ского твердого тела легко рассчитывается теоретически, если из­ вестны параметры кристаллической решетки.

95

Г Л А В А 4

МЕТАЛЛЫ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 4.1. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

ИЯВЛЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

4.1.1.КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ

По классическим представлениям считалось, что металл состоит из положительно заряженных ионов, расположенных неподвижно в определенных местах кристаллической решетки, и из свободных электронов проводимости. Такие свободные электроны двигаются между ионами с небольшим сопротивлением, которое объясняется их слабым взаимодействием с ионами решетки. Предполагалось далее, что свободные электроны в металлах уподобляются молеку­ лярному газу, заполняющему решетку металла. Поэтому к такому электронному газу может быть применима классическая статистика Максвелла—Больцмана и может быть введено понятие о средней

длине свободного пробега электрона А. Классическая теория пола­

гает, что А не зависит от скорости электрона и по порядку величины сравнима с постоянной решетки металла.

Основываясь на представлениях классической электронной тео­ рии, предположим, что в металле на беспорядочное тепловое движе­ ние электронов накладывается направленное движение за счет

внешнего электрического поля” напряженности <§. Тогда на длине

свободного пробега А электрон с массой т и зарядом е приобретает скорость направленного движения, равную

где х — среднее время движения на пути А; а — ускорение за счет внешнего электрического поля

Очевидно, что средняя скорость направленного движения будет

1 '

равна v = — о, а среднее время

96

Поэтому, учитывая (4.1.3) и (4.1.2), вместо (4.1.1) может записать

С другой стороны, как известно (см. § 2.5), средняя скорость направленного движения электронов связана с их подвижностью и простой формулой

Сравнивая (4.1.4) и (4.1.5), получим выражение для подвижно­ сти электронов в металле

Если теперь учесть, что плотность тока у (см. § 2.6) связана с подвижностью и концентрацией п электронов выражением

/ = etiuS,

то на основании (4.1.6) получим

2т ^тепл

Известно также, что по закону Ома в дифференциальной форме

где а — удельная электропроводность металла, связанная с его удельным сопротивлением р — 1/а.

Отсюда, сравнивая (4.1.7) и (4.1.8), для удельной электропровод­ ности металлов получаем выражение

2т Втепл

Проанализируем теперь выражение (4.1.9), к которому приводит классическая электронная теория металлов.

Так как для свободных электронов в металле применима ста­ тистика Максвелла—Больцмана, то средняя скорость теплового движения (см. § 1.2) может быть представлена формулой

Если также учесть, что К и я не зависят от температуры, то зави­ симость а от температуры согласно (4.1.9) будет определяться лишь

величиной Охепл» т- е- формулой (4.1.10). Следовательно, по клас­

97

сической теории, удельная электропроводность

Однако такой вывод противоречил опыту, согласно которому

удельное сопротивление проводника пропорционально не У~Т, а первой степени температуры, т. е. р ~ Т.

Это была первая неудача классической электронной теории. Классическая электронная теория не смогла также подтвердить опытные данные по значению молекулярной теплоемкости метал­ лов в законе Дюлонга и Пти (см. § 4.2).

Эти неудачи классической электронной теории, развитой Друде, объясняются тем, что электроны в металле нельзя рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся статистике Максвелла—Больц­ мана. Исследования показали, что электроны в металле необходимо рассматривать не как идеальный газ, а как вырожденный элек­ тронный газ, к которому применима квантовая статистика Ферми— Дирака, а не статистика Максвелла—Больцмана.

Однако следует заметить, что еще до появления квантовой ста­ тистики классическая теория электропроводности была развита несколько дальше Лоренцом.

Лоренц фактически решил ту же задачу, что и Друде, но более строгим методом. Он использовал распределения Максвелла—Больц­ мана, причем учитывал не только столкновения свободных элек­ тронов друг с другом, но и столкновения этих электронов с поло­ жительными ионами решетки (последние рассматривались как идеально твердые неподвижные шарики).

В результате для удельной электропроводности о Лоренцом была получена формула

2 е2п %

(4Л.11)

3 m 1>тепл

которая отличается от (4.1.9) лишь численным коэффициентом 4/3, который был назван поправкой Лоренца.

Следовательно, более строгое решение Лоренца в рамках клас­ сической теории также не привело к нужным результатам.

4.1.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ

В квантовой теории электропроводности, как указывалось, элек­ троны в металле считаются сильно вырожденным электронным га­ зом, подчиняющимся распределению Ферми—Дирака (см. § 1.2).

98

Используя это распределение, Зоммерфельд, следуя логической схеме Лоренца, получил для электропроводности о выражение

тСтепл (Ц) ’

совпадающее по внешнему виду с классической формулой (4.1.9). Однако в (4.1.12) ряд величин имеет другое значение, а именно:

К (р) — средняя длина свободного пробега электрона, обладаю­

щего энергией Ферми, а итепл (р) — средняя скорость этого элек­ трона (см._§ 1.2). При этом, если в классической формуле (4.1.9)

^тепл ' ■ l/"Т > т0 в формуле (4.1.12) отепл (р) практически не за­ висит от температуры, так как энергия р почти не изменяется с изг менением температуры Т.

Кроме того, квантовая теория другой смысл вкладывает в по­ нятие о средней длине свободного пробега, считая, что в основном сопротивление металла объясняется рассеянием электронов на не­ однородностях решетки. Поэтому квантовая теория не может счи­

тать X величиной порядка постоянной решетки.

Хотя по формулам Зоммерфельда в законе Видемана—Франца (см. § 4.2) получился коэффициент л2/'3, который хорошо согласо­ вался с опытом, однако непосредственное использование классиче­ ского метода Лоренца с привлечением распределения Ферми—Ди­ рака не было оправданным и правильным.

Последовательное и правильное применение квантовой теории к расчету электропроводности металлов, как показали дальнейшие исследования, заключалось в применении к электронам в металлах статистики Ферми—Дирака, но с учетом структуры их энергетиче­ ских зон. При таком рассмотрении часто встречается величина, равная отношению энергии кванта излучения hv к средней энергии kT теплового движения

имеет размерность температуры, поэтому такую температуру стали называть характеристической температурой (см. § 4.2).

Введение температуры 0 имеет тот смысл, что температура твер­ дого тела обычно сравнивается с 0. Например, область низких температур будет определяться неравенством Т 0, а область вы­ соких температур Т > 9- Такое сравнение целесообразно еще и потому, что при рассмотрении колебательных процессов энергия квантового осциллятора будет кратной величине hv.

Расчет электропроводности для случая высоких температур (Т > 0). При рассмотрении рассеяния электронов на неоднородно-

99