книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

объема V. Пусть вначале рассматривается одномерная цепочка ато­ мов длиной L. Очевидно, что наибольшая длина волны стоячих волн, возникающих в такой цепочке, будет равна Кт = L. Этой длине волны будет соответствовать наименьшее значение волнового числа

где v — скорость распространения волны в данной среде. Если также через а обозначить постоянную одномерной цепочки (посто­ янную решетки), то легко видеть, что па — L, где п — целое число. Поэтому дискретные значения волновых чисел будут удовлетво­

рять соотношению k = nkmirl = n ^ — или будут кратными от

В случае трехмерной решетки с кубической симметрией наимень­ шие значения волновых чисел (kx, ky, kz) собственных колебаний попадают в элементарный куб объема (2я/Ь)3 в пространстве волно­ вых чисел (^-пространстве). В таком пространстве каждая точка будет соответствовать определенному состоянию или собственному колебанию, но это пространство с учетом дискретности необходимо нормировать по отношению к размеру элементарного куба (2n/L)3.

Тогда очевидно, что число возможных состояний или число соб­ ственных колебаний Z с волновыми числами, меньшими | k |, будет приближенно равно отношению объема сферы радиуса | k | к объему элементарного куба в пространстве волновых чисел, т. е.

иV

Выражение (4.2.15) при переходе к частоте со перепишется в виде:

2л2 v3

Максимально возможную частоту сот собственных колебаний атомов решетки можно определить из того условия, что полное число колебаний решетки из N атомов, как уже указывалось выше,. равно 3N. Однако для этого необходимо (4.2.14) или (4.2.15) умно­ жить на 3, так как при данном | k \ упругие волны могут иметь три различные поляризации. В случае изотропной среды три такие по­

110

ляризации соответствуют двум волнам сдвига и одной продольной волне. Учитывая это и принимая во внимание (4.2.14), имеем

т. е.

(4.2.17)

где п — концентрация атомов твердого тела.

Из (4.2.17) видно, что максимальная частота собственных коле­ баний твердого тела определяется его упругими свойствами (о), а также структурой решетки тела и связанной с ней плотностью упаковки атомов (п). Соответственно, вводя в (4.2.16) коэффициент 3, учитывающий различные поляризации волн, перепишем это вы­ ражение так:

В результате приведенных рассуждений можно заключить, что для определения полной энергии Е твердого тела (его внутренней энергии) необходимо среднюю энергию одного колебания (осцилля­ тора) [см. (4.2.9) 1 умножить на число колебаний в интервале от со до со -f- day [см. (4.2.1601 и проинтегрировать все это по частоте от оз — 0 до со = сот :

где 0m— характеристическая температура Дебая, различная для различных тел. С учетом (4.2.19), (4.2.20) и (4.2.17) выражение (4.2.18) можно переписать в виде:

111

Дифференцирование энергии (4.2.18) или (4.2.21) по температуре Т и определяет в теории Дебая теплоемкость CVll.

Если продифференцировать (4.2.18) по температуре, то получим

или в обозначениях (4.2.19) и (4.2.20)

Проанализируем формулы, полученные на основании теории Дебая, в предельных случаях низких и высоких температур.

В области низких температур, когда Т 0т , величина xm> 1 и верхний предел в интеграле (4.2.21) можно заменить бесконеч­ ностью, т. е. энергия тела запишется в виде:

стремится к постоянному числу — . Поэтому энергия Е будет равна

15

Следовательно, по Дебаю, теплоемкость твердого тела при низ­ ких температурах изменяется по закону Т3. Последнее хорошо со­

в 1913 г., хорошо согласуется с экспериментом не только качест­ венно, но и количественно. Однако по формулам Дебая при абсолют-

112

ном нуле температуры стремится к нулю не только cV(X[см. (4.2.25) ], но и внутренняя энергия твердого тела [см. (4.2.24)]. Последнее, конечно, лишено здравого смысла, так как при Т ->■ Опрекращается лишь поступательное движение атомов.

Этот ошибочный вывод из теории Дебая объясняется тем, что для энергии квантового осцилЛятора Дебай использовал формулу

Е — tiki®.

Позднее квантовая механика уточнила, что энергия осциллятора

туры.

Однако легко видеть, что такое уточнение формулы для Е не влияет на результат определения теплоемкости cV(A, так как при переходе от Е к cVil (дифференцированием по Т) производная от вто­ рого слагаемого в (4.2.26) равна нулю.

§ 4.3. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

4.3.1. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ

Согласно представлениям классической физики электроны в ато­ мах движутся по замкнутым орбитам. Такое движение каждого электрона эквивалентно замкнутому току силой / = ev, где е — заряд электрона; v — частота обращения электрона по орбите. Магнитный момент рт электрического тока, вызванного движением электрона по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона; он численно равен

Рт

где S — площадь орбиты электрона; р0 — магнитная постоянная. Направление движения электрона и направление электрического тока / указаны на рис. 38.

Направление вектора рт образует с направлением тока право­ винтовую, а с направлением движения электрона левовинтовую

Движущийся по орбите электрон обладает также механическим моментом количества движения

где т — масса электрона.

Вектор рi называют орбитальным механическим моментом элек­ трона. Он образует с направлением движения электрона правовин­ товую систему. Следовательно, направление векторов рт и pt про­ тивоположно.

Сравнивая равенства (4.3.1) и (4.3.2), находим

(4-3.3)

2т

Тогда отношение магнитного момента электрона к его механи­

иназывается гиромагнитным отношением.

Вклассической физике предполагалось, что механический мо­ мент количества движения pt и его проекция ориентированы отно­

сительно внешнего поля произвольным образом. Однако такое пред­ положение было ошибочным. В соответствии с законами квантовой механики момент pt и его проекция на направление магнитного поля Н могут принимать только дискретные значения (см. § 1.1), а следовательно, и орбитальный магнитный момент рт и его проек­ ция на Н могут принимать лишь дискретные значения

Здесь I — побочное квантовое число; т г — соответствующее мо­ менту pt магнитное квантовое число, а выражение

называется магнетоном Бора.

У многоэлектронных атомов результирующий орбитальный маг­ нитный момент определяется суммированием моментов отдельных электронов. У атомов с заполненными электронными оболочками он равен нулю. Поэтому отличным от нуля орбитальным магнитным моментом могут обладать лишь атомы с частично заполненными электронными оболочками, например элементы группы железа.

Кроме орбитального момента количества движения электрон обладает собственным механическим моментом ps, называемым спи­ ном. Существование собственных моментов электрона пытались объяснить, рассматривая электрон как заряженный шарик, вращаю­

114

щийся вокруг своей оси. Однако такое представление о спине при­ водит к противоречию с теорией относительности. Оказывается, что для того чтобы вращающийся вокруг своей оси электрон-шарик приобрел магнитный момент, равный одному магнетону Бора, его угловая скорость вращения должна быть такой, что линейная ско­ рость на поверхности сферы должна в 300 раз превосходить скорость света в вакууме. Поэтому от гипотезы о «вращающемся» электроне пришлось отказаться. Спин электрона. следует рассматривать как неотъемлемое свойство электрона подобно тому, как ему присущи заряд и масса.

Предположение о существовании спина было высказано Гаудсмитом и Уленбеком в связи с трудностью истолкования резуль­ татов опытов Штерна и Герлаха. Сущность опыта состояла в сле­

Опыт Штерна и Герлаха показал, что маг­ нитные моменты атомов и молекул ориентируются по отношению

к магнитному полю и имеют дискретные значения. Число возможных значений проекции магнитного момента на направление магнитного поля для различных атомов различно. Например, для атомов серебра, натрия, калия она равна двум, для ванадия — четырем, для марган­ ца — шести, для железа — девяти (рис. 40) и т. д. Для некоторых ато­ мов (ртуть, магний) вообще не обнаруживалось раздвоения пучка, что указывает на отсутствие у них магнитного момента.

Объяснение физической причины расщепления атомных пучков было дано Гаудсмитом и Уленбеком (в 1925 г.), выдвинувшими гипотезу, что у электрона, помимо орбитального момента количе­ ства движения, имеется собственный механический и магнитный моменты ps.

Поясним это на примере атома водорода. На каждый атом, об­

dz

в направлении этой оси; F направлена в сторону возрастания поля, если ргЦ Н , и в сторону убывания поля, если рг Ц Н . Появление в вышерассмотренных опытах на пластине двух резких полосок свидетельствует о том, что относительно внешнего поля Я магнит­ ный момент атома водорода может ориентироваться только двумя способами, которым отвечает проекция момента на направление поля, равная + рг. Измерив расстояние между расщепленными

дН

полосами и определив градиент поля — , можно рассчитать вели- dz

nп чину магнитного момента рг. Он оказался равным одному магнитону Бора рг — цв .

Следует заметить, что в нормальном состоянии электрона в атоме водорода (/ = 0) его орбитальный магнитный момент равен нулю, а это означает, что магнитный момент рг не связан с орбиталь­ ным движением электрона, а является его собственным магнитным моментом ps, связанным со спином электрона ms.

Относительно направления внешнего поля ps может занимать лишь два возможных положения:

Гиромагнитное отношение для собственных моментов электрона равно

msH т

Из сравнения (4.3.4) с (4.3.9) видно, что оно в два раза больше гиромагнитного отношения для орбитальных моментов Г.

В многоэлектронных атомах отдельные спиновые моменты скла­ дываются как векторы и результирующий спиновый магнитный мо­

116

мент целиком заполненных электронных оболочек равен нулю. У элементов с наличием недостроенных внутренних электронных оболочек результирующий спиновый момент не равен нулю. Такими элементами являются переходные металлы группы железа, имеющие недостроенную З^-оболочку.

В табл. 4 приведены данные о конфигурации спинов электронов оболочки 3d свободных атомов элементов группы железа.

тирующий спиновый момент. Из проведенного анализа следует, что ответственными за магнитные свойства ферромагнетиков являются спиновые магнитные моменты электронов.

При изучении магнитомеханических свойств ферромагнетиков следует учитывать и влияние магнитных моментов ядер. Атомные ядра обладают спином и связанным с ним магнитным моментом. Следует иметь ввиду, что по порядку величины спин ядер такой же, как и спин электрона, но вследствие того, что масса ядра примерно в 103 раз больше массы электрона, магнитный момент ядра в соот­ ветствии с формулой (4.3.19) на три порядка меньше магнитного момента электрона. Поэтому влиянием магнитных моментов ядер на магнитные свойства тел можно пренебречь.

4.3.2. ДИАМАГНЕТИЗМ ТЕЛ

Диамагнетизм возникает вследствие появления индукционного магнитного момента атомов под действием внешнего магнитного поля. Диамагнетизм присущ всем телам, но в чистом виде встре­ чается у веществ, результирующий момент атомов которых равен

нулю.

Пусть электрон движется по круговой орбите радиуса г, пло­ скость которой перпендикулярна к вектору напряженности маг­ нитного поля (рис. 41). В отсутствие внешнего поля на электрон действует сила Еэл = еЕ притяжения его ядром, играющая роль центростремительной силы

m<sfa = E-e,

где (о0 — угловая скорость вращения электрона по орбите.

117

При наложении магнитного поля Я, перпендикулярного к пло­ скости орбиты, на электрон помимо силы Fe действует еще сила Лоренца Рд , которая в случае, представленном на рис. 41, направ­

лена в сторону, противоположную Fe. Под действием этой силы скорость электрона изменяется и становится равной v = аг; соот­ ветственно центростремительная сила, приложенная к электрону, будет

т а 2г = та$2г-\-еа0гВ0.

После сокращения на г это равенство можно переписать в таком

4 (x,y,z)

называется ларморовой угловой частотой. Очевидно, что по направ­

лению g)l совпадает с В0.

Если орбита электрона расположена произвольным образом от­ носительно вектора Н (рис. 42), то влияние поля оказывается более сложным: нормаль рт к плоскости орбиты описывает конус вокруг Н (прецессирует). Можно доказать, что угловая скорость такой прецессии выражается формулой (4.3.10!). Направление уг­ ловой скорости прецессии совпадает с Н.

118

Легко видеть, что изменение угловой скорости вращения элек­ трона или, в более общем случае, появление прецессии орбиты приводит к изменению орбитального тока на величину А/, т. е. к появлению дополнительного тока:

"Н.=

Знак минус в (4.3Л1) соответствует отрицательному заряду элек­ трона. Току AI соответствует орбитальный магнитный момент электрона Арт , численно равный

Алт

где 5 — площадь проекции орбиты электрона на плоскость, перпен­ дикулярную к направлению Н. При этом направление, вектора Дрт противоположно направлению вектора напряженности поля Н,

В соотношение (4.3.12) входит величина е2, которая всегда по­ ложительна. Поэтому антипараллельность Арт и Н не зависит от знака е вращающегося заряда. Это свойство атомных электронов при внесении создавать во внешнем магнитном поле дополнитель­ ный так называемый индуцированный магнитный момент, направ­ ленный против поля, носит название диамагнетизма.

Расчет показывает, что при S = — n r2 где г2— средний квад­

рат расстояния электрона от ядра, формулу (4.3.12) можно перепи­ сать в виде:

В атоме обычно имеется несколько электронов, движущихся по разным орбитам и с различными магнитными моментами рт< {. Маг­ нитный момент атома, содержащего г электронов, может быть най­ ден путем суммирования магнитных моментов отдельных электро­ нов

где гг-—средний квадрат расстояния t-ro электрона от ядра.

Сумму можно заменить произведением z-a2, где а2 — сред­ ний квадрат расстояния электронов от ядра. Тогда (4.3.14) прини­

119