книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

или порядка числа Авогадро = 6,02• 1023мол1)')* постольку ко­

личество подуровней будет очень большим и каждый энергетиче­ ский уровень переходит в практически сплошную энергетическую полосу или зону возможных значений энергии. Считают, что в 1 си8 твердого тела содержится примерно 102а атомов.

Очевидно, что чем глубже расположен энергетический уровень в атоме (см. рис. 5), тем меньше на нем сказывается возмущающее действие других атомов. Поэтому такие более глубокие или более низкие энергетические уровни расщепляются в более узкие энерге­ тические зоны. При этом во всех энергетических зонах число под­

уровней (или просто уровней) одина­ ково и равно числу атомов в кристалле. Следует заметить, что, вообще говоря, общее число возможных состояний для электрона в любой зоне кристалла равно числу атомов кристалла G, умноженному на кратность вырождения энергетичес­ кого уровня, образовавшего зону.

Энергетические зоны, или зоны до­ зволенных значений энергии, разделены запрещенными зонами, или зонами за­ прещенных значений энергии. Очевидно, что запрещенные зоны сужаются при переходе к энергетическим зонам с боль­ шим номером.

Мы рассмотрели качественную картину образования энергетических зон для электрона в кристалле как сплошных областей раз­

решенных значений энергии, причем исходили из атомов. Однако к такому же представлению можно прийти, если изучить поведение электрона в кристалле с точки зрения теории.

2.1.2. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ КРИСТАЛЛА

Задача о движении электрона в кристалле твердого тела пред­ ставляет собой чрезвычайно трудную многоэлектронную задачу, точное решение которой невозможно. Это объясняется тем, что на данный электрон в кристалле действуют положительные ионы кри­ сталлической решетки и все остальные электроны. Так как потен­ циальное поле, в котором движется электрон, не представляется возможным задать строго аналитически, то и уравнение Шредингера для этого электрона не может быть строго записано и решено. Поэтому возможно лишь приближенное решение такой многоэлек­ тронной задачи.

В настоящее время существует достаточно большое число мето­ дов приближенного решения указанной многоэлектронной задачи.

40

К таким приближенным методам следует отнести метод почти сво­ бодных электронов и метод сильно связанных электронов. При даль­ нейшем развитии теории кристаллов были введены более точные методы: метод ячеек, метод ортогонализированных плоских волн

и др.

Однако в первом приближении основные выводы о поведении электрона в кристалле можно сделать на основании рассмотрения более простой одноэлектронной задачи о движении одного электрона в периодическом поле положительных ионов решетки кристалла. Исторически такая задача впервые была поставлена и решена Бло­ хом в 1927 г., причем рассматривалась одномерная периодическая цепочка атомов (ионов). Впоследствии этот метод при помощи ана­ логичных рассуждений был распространен и на трехмерную перио­ дическую решетку.

Итак, предположим, что имеется одномерная периодическая цепочка положительных ионов, расположенных вдоль оси Ох, (рис. 6), причем период решетки равен а. При условии, что центры атомов, образующих кристалл, лежат на оси Ох в точках — 2а,

— а, 0, а, 2а, . . . , ход потенциальной энергии V электрона в функ­ ции от координаты х будет соответствовать сплошным кривым на рис. 6. Физически такой ход V = V (х) объясняется тем, что при удалении от атома (положительного иона) потенциальная энергия электрона, соответствующая силам притяжения, возрастает, где-то посередине между атомами имеет максимальное значение и затем снова убывает при приближении к соседнему атому. Следовательно, по условию поставленной задачи, потенциальная энергия является периодической функцией

где а — период решетки и п — целое число.

В этом случае для электрона в кристалле уравнение Шредин-

причем сама волновая функция ф = ф (х).

41

Решение уравнения (2.1.2) позволяет определить возможные (собственные) значения энергии Е и соответствующие им собствен­ ные функции. Не останавливаясь на подробном решении уравнения (2.1.2), укажем основную идею, такого решения и проанализируем результаты.

Так как потенциальная энергия V является периодической функ­ цией, то ее можно разложить в ряд Фурье

+00

_ - 2лпх

где Vn — коэффициенты Фурье.

С другой стороны, согласно квантовой механике произвольное волновое поле ф (х) можно представить в виде суперпозиции (нало­ жения) волн де Бройля (плоских волн). Поэтому волновую функцию ф электрона, считая за переменную импульс рх, можно искать вдоль

где волновое число kx = — . h

На^основании (2.1.3) и (2.1.4) уравнение (2.1.2) запишется в виде:

В результате периодичности С (к) уравнение (2.1.6) представ­ ляет собой систему алгебраических линейных однородных уравне­ ний для бесконечного числа неизвестных. Такая система уравнений

42

имеет отличные от нуля решения, если определитель системы ра­ вен нулю:

числа к. Отсюда следует, что энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле кристалла твердого тела, со­ стоит из отдельных областей (полос)

причем в каждой области энергия есть непрерывная функция вол­ нового числа k. Такие энергетические области называются зонами разрешенных значений энергии или энергетическими зонами. Энер­ гетические зоны разделены между собой зонами запрещенных значе­ ний энергии.

На основании (2.1.6) легко показать, что в пределах системы уравнений для каждой зоны энер­ гия является периодической функ­ цией волнового числа k с периодом

E , f k ± ? f j = E j {k). (2.1.9)

Ход периодической функции Е,- (к) для двух первых зон показан на рис. 7.

В этом случае физически различными будут лишь состояния электрона в пределах одного периода. В силу периодичности энер­ гии Ej (k) она может быть разложена в ряд Фурье

N = 0

где коэффициенты EjN определяются видом потенциальной энергии V (х). При этом в силу четности Vn ряд (2.1.10) содержит только cos (Nak).

Такие достаточно простые рассуждения приводят к следующему выражению для собственных волновых функций электрона (блоховских функций):

4-00

(2. 1. 11)

Л=-*-00

43

или

где

ujk (х + п а ) = ujk {х),

т. е. амплитудная часть выражения (1.2.11!) представляет собой периодическую функцию переменной х.

Таким образом, собственная волновая функция для электрона

ему волновая функция (блоховская функция) как бы будет «раз­ мазана» по всему кристаллу.

Из (2.1.11) и (2.1.11!) видно, что в данной /-й зоне будет иметь место целая группа состояний, определяемая волновыми функ­ циями (волнами) фуд,. Цели также учесть, что зависимость от вре­ мени функций фуд,, определяющих стационарные состояния, будет

Е ’ (k')

гармонической с частотой со = ■ ' { - , то для движения такой группы hi

в периодическом поле можно было бы повторить обычный вывод выражения групповой скорости, введенной в § 1.1. В частности, легко найти, что центр или середина такой группы волн движется с групповой скоростью

которая одновременно является скоростью или, точнее, средней скоростью движения электрона в данной зоне. В самом деле, как мы видели в § 1.1, для свободного электрона мгновенная скорость его движения равна групповой скорости группы плоских волн (волн де Бройля). Очевидно, что в периодическом поле имеет смысл го­ ворить лишь о средней скорости движения электрона.

44

На основании (2.1.12) средний импульс группы (электрона) будет

Выражение (2.1.13) с учетом (2.1.10) для состояний в /-й зоне за­ пишется в виде:

Из (2.1.13!) можно сделать существенный вывод о том, чта на границах зон, где k — + — , средний импульс группы, а следова­

тельно, и средний импульс электрона равны нулю (нулю также бу­ дет равна средняя скорость электрона). При этом в самой зоне, где

k ф ± , средний импульс, вообще говоря, не равен нулю и, как

показывает исследование движения группы, он сохраняется. Сле­ довательно, возможными, или дозволенными, состояниями с опреде­ ленной энергией электрона в периодическом поле будут состояния со средним импульсом, отличным от нуля. Необходимо заметить, что средняя скорость электрона, определяемая выражением (2.1.12), так же связана с энергией электрона в периодическом поле, как и мгновенная скорость свободного электрона с его кинетической энер­ гией. Действительно, для свободного электрона кинетическая энер­

Сравнение (2.1.14) с (2.1.12) и подтверждаёт высказанное замеча­ ние.

Итак, на основании рассмотрения движения электрона в перио­ дическом потенциальном поле кристалла следует, что возможные, или разрешенные, значения энергии электрона образуют энергети­ ческие зоны, разделенные зонами запрещенных значений энергии

(рис. 8).

45

§ 2.2. ПОНЯТИЕ ОБ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЕ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

2.2.1. ГРАФИК ФУНКЦИИ Е = Е (к )

ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ

Для свободных электронов, как мы видели в § 1.1, энергия яв­ ляется квадратичной функцией волнового числа

р2 _ h\k2

(2.2. 1)

2т 2т

на рис. 9 она изображена параболой. Это соответствует тому, что в случае свободного движения электрона его импульс р и, следо­

вательно, волновое число & = — могут принимать любые значе-

ния. Иначе обстоит дело в случае движения электрона в кристалли­ ческом полупроводнике (в кристалле твердого тела). В § 2.1 было вы­ яснено, что возможные значения энергии электрона в кристалле со­ ставляют энергетические зоны, причем в пре­ делах зоны энергия электрона является непре­ рывной периодической функцией волнового числа. Как же в этом случае изобразится на графике зависимость энергии электрона от волнового числа? Для ответа, на этот вопрос еще раз проанализируем результаты §2.1, причем для простоты продолжим рассмот­

рение одномерной решетки кристалла.

На границе зон, как мы видели в § 2.1, волновое число

Физически это означает то, что при значениях, соответствующих (2.2.2), должно происходить полное отражение электронных волн. В самом деле, как мы видели в § 1.1, движение электрона в кристалле можно рассматривать через совокупность (группу) электронных волн в этом кристалле. Тогда очевидно, что в каждой из зон наибольшее значение волнового числа k определяется посто­ янной решетки а (различимо движение электрона лишь в пределах одного периода, а затем периодически повторяется). Если при этом учесть, что электронные волны могут интерферировать, то может иметь место ослабление, а также частичное и полное отражение волк от решетки. В этом отношении распространение электронных волн в кристаллической решетке полупроводника аналогично распро­ странению рентгеновских волн (лучей) в такой решетке. Однако для последнего случая известно условие полного отражения волн от кристалла, или условие Брэггов—Вульфа:

46

решетки (кристаллической решетки) и 0 — угол падения волны на решетку.

Если теперь в (2.2.3) положить 0 = 0, я, что соответствует рас­ сматриваемому движению электрона вдоль решетки, то условие полного отражения электронных волн запишется в виде:

-I- — ,

— а '

что еще раз подтверждает условие (2.2.2) и поясняет его физический смысл.

Следовательно, выражение (2.2.2) определяет пределы возмож­ ных значений k, так как при значениях k из (2.2.2) волны, описы­ вающие движение электрона, из бегущих переходят в стоячие. Не­ обходимо заметить, что в силу периодичности кристаллической ре­ шетки целое число п, вве­ денное в выражение (2.2.2), не влияет на волновое число (импульс электрона), и в пределах каждой зоны волновые числа электронов можно считать изменяющи-

2я

— свойства электронов повторяются, то в каждой зоне достаточно

рассмотреть лишь один период (см. рис. 7). При этом следует учесть, что, хотя значение k в зонах повторяется (или растет), значение энергии Е = Е (k) при переходе от одной зоны к следующей изме­ няется скачком на величину Egj, соответствующую скачку в энер­ гии (см. рис. 8), имеющую место при перескоке электрона в атоме с одного квантового уровня на более высокий следующий уровень.

Все вышеизложенные соображения о характере зависимости Е от k для движения электрона в периодическом поле кристалла по­ зволяют изобразить эту зависимость в виде графика, показанного на рис. 10. В квантовой теории твердого тела разрывность функции Е = Е (k) и ее ход, изображенный на рис. 10, обосновывается бо­ лее строго путем использования метода возмущений. График

47

рис. 10 можно согласовать с графиком рис. 7 следующим образом. В силу периодичности энергии Е как функции волнового числа можно ограничиться рассмотрением в каждой зоне одного периода

хотя ход изменения энергии во всех зонах за этот период одинаков, энергия при переходе к следующей зоне изменяется скачком через запрещенную зону и затем возрастает. Поэтому для первой зоны ход энергии за один период будет соответствовать рис. 11, а, а для второй зоны — рис. 11, б, причем пунктирной кривой на рис. 11,6 показан период, соответствующий второй зоне рис. 7. Аналогично можно рассуждать и при изображении хода Е = Е (k) в третьей и других зонах.

Из рис. 10 видно, что для электрона в кристалле зависимость

Е= Е (k) в первом приближении состоит из участков разрывной параболы, так как пунктирная кривая соответствует самой пара­ боле (см. рис. 9). При этом легко показать, что непрерывные кривые

Еj = Ej (k) в каждой зоне на границах зон переходят в прямые ли­ нии, т. е. в этих точках участки кривых идут так, что горизонталь­ ные линии будут для них касательными. Действительно, на грани­ цах зон средний импульс электрона [см. (2.1.13)] и, следовательно, его средняя скорость [см. (2.1.12)] равны нулю, т. е.

v = — — = 0 hi dk

или

Последнее равенство и подтверждает то, что в точках, соответст­ вующих границам зон, касательные к кривым Еi = Е/ (k) идут параллельно оси абсцисс.

48 >

2.2.2.ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА

Если для электрона в кристалле считать, что вместо обычной массы он имеет так называемую эффективную массу, то к его движе­ нию применимы те же законы, которые справедливы для движения свободного электрона в вакууме. В задачу пункта 2.2.2 и входит обоснование такого вывода.

Рассмотрим разложение в ряд энергии (2.1.10) электрона в лю­ бой /-й зоне и ограничимся двумя первыми членами этого разложе­

Если в (2.2.6) вследствие малости k оставить лишь первые два сла­ гаемых в скобках, т. е. положить

Переход от (2.2.6) к (2.2.60 фактически соответствует тому, что энергию как функцию волнового числа считаем квадратичной. Тогда коэффициент Eji как постоянную величину можно включить в пер­ вое слагаемое (2.2.60 и переписать это выражение так:

Ej (k) —const —Eji

или на основании (2.2.7)

С другой стороны, для свободного электрона [см. (2.2.1)] имели

Выражение (2.2.9) по сравнению с (2.2.1) содержит постоянную величину, что отражает тот факт, что в классической физике энергия всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого.