книги из ГПНТБ / Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие

подставляя сюда (2.2.12), получим

F d2E

(2.2.130

~ h\ dk2

Из (2.2.13!) следует, что среднее ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе (второй закон Ньютона), а коэффициентом пропорциональности является величина

1 d2E _ 1 Aj dk2 т* ’

равная эффективной массе электрона (2.2.11 х). Таким образом, эф­ фективная масса электрона вводится как коэффициент пропорцио­ нальности между внешней силой и средним ускорением, при этом энергия электрона с использованием эффективной массы записы­ вается как квадратичная функция волнового числа. Опыты пока­ зали, что введенная таким образом эффективная масса электрона не отражает ни инертных, ни тяготеющих свойств электрона, т. е. ни в коем случае ее нельзя считать действительной массой элек­ трона.

2.2.3. ДЫРКИ КАК ДРУГОЙ ВИД НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

Известно, что вторая производная от функции по аргументу определяет кривизну кривой, изображающей эту функцию. На ос­ новании рис. 10 можно заключить, что кривизна кривых Е = Е (k) в каждой зоне изменяет знак, причем для начала или нижнего края

d2E

изводная — ■ входит в выражение (2.2.11х) для эффективной массы dk2

электрона. Отсюда можно сделать интересный вывод, что для верх­ них краев энергетических зон (для верхних энергетических уров­ ней зон) эффективная масса электрона отрицательна. Если при этом

массу т * электрона для начала зон, то сказанное выше можно за­ писать в виде:

для нижних краев зон т * ^ > 0;

(2.2.15)

для верхних краев зон т * * < 0.

малая величина. Поэтому

cos а/г = cos (я —аб) = —cos (аб),

т. е. в начале и на краях зон эффективные массы имеют противопо­ ложные знаки. Это и подтверждает условия (2.2.15).

Так как для верхних краев зон т * * < 0, то выходит, что внеш­ няя сила замедляет электрон в направлении своего действия. Сле­ довательно, электрон, энергия которого соответствует энергетиче­ ским уровням, расположенным в верхних краях зон, замедляется внешней силой, которая ускоряет обычный электрон.

Такой парадоксальный вывод трудно осмыслить на основании классической механики. В квантовой же механике выход найден на основании следующего. Пусть электрон в кристалле находится

под воздействием внешнего электрического поля &, действующего

—>

на него с силой е&. Согласно теореме Эренфеста (из квантовой ме­ ханики) для средних величин справедливы классические уравнения движения и, в частности, второй закон Ньютона, который для среднего импульса электрона будет выражен так:

На основании (2.1.13) левую часть уравнения (2.2.21) можно пе­ реписать в виде:

52

поэтому (2.2.24) окончательно перепишется так:

Из рассмотрения (2.2.25) следует, что при значениях энергии электрона, соответствующих верхним уровням зон (верхним краям зон), электрон ведет себя так, как если бы его заряд был равен не е, а

Учитывая, что заряд электрона е<^0 и что т **< С 0, на основании

(2.2.26) имеем е'>-0.

Отсюда можно сделать вывод, что электрон на энергетических уровнях в верхних краях зон ведет себя как положительно заря­ женная частица, которая была названа «дыркой». Так в теории по­ лупроводников кроме электронов стали рассматриваться дырки как другой вид носителей тока.

Движение электронов и дырок под влиянием внешнего электри­ ческого поля вызывает в полупроводниках электронную и дыроч­ ную проводимость. Например, опыты по исследованию эффекта Холла (см. п. 4.4.2) показали, что полупроводники обладают элек­ тронной и дырочной проводимостью, причем некоторые из них

53

имеют проводимость преимущественно электронную или преиму­ щественно дырочную. Так, один из первых полупроводников, при­ меняющийся для создания твердых выпрямителей,— закись меди (Си20) обнаруживает дырочную проводимость.

Мы рассмотрели поведение электрона на нижних и верхних уров­ нях энергетических зон и ввели понятие об эффективной массе но­ сителей тока. Однако эти понятия не применимы для всей энергети­ ческой зоны. В самом деле (см. рис. 10), где-то в середине зоны

d2E

имеется точка перегиба, в которой ----= 0, а эффективная масса dk2

обращается в бесконечность, т. е. как будто бы в этом случае движе­ ние электрона и дырки невозможно. Однако на практике электроны могут находиться на любых энергетических уровнях в зоне, и внеш­ нее поле будет ускорять их. Поэтому понятие об эффективной массе электрона и дырки имеет смысл лишь для узких областей энергии электрона, соответствующих нижнему и верхнему краям зоны.

Для чего же нужно было вводить понятие об эффективных мас­ сах носителей тока, если они имеют столь ограниченное примене­ ние? Это объясняется тем, что, как мы увидим дальше, практиче­ ское значение имеют перемещение валентных электронов на нижних уровнях верхней зоны (зоны проводимости) и дырок на верхних уровнях нижней или валентной зоны.

Необходимо заметить, что, вводя понятие об эффективной массе носителей тока, мы рассматривали одномерную кристаллическую решетку и считали, что электрон движется в одном направлении вдоль оси х, а эффективную массу можно определять через прямую производную. В более общем виде, для трехмерной решетки, а также считая энергию функцией от различных компонент волно­ вого вектора, эффективную массу электрона в кристалле можно определять через частную производную

_]_ &Е_ h\ ' dk2

В простейшем случае изотропного кристалла, свойства кото­ рого одинаковы по всем направлениям, эффективная масса является скалярной величиной. Если же кристалл анизотропен, то расчеты приводят к тому, что эффективная масса электрона в этом случае

выражается тензором второго ранга, компоненты которого имеют вид:

I___

д2Е ’

(2.2.28)

Л21 dki-dkj

где i, j — 1, 2, 3 определяют составляющие волнового вектора k. Однако и в случае анизотропного кристалла на практике пользуются

54

вместо (2.2.28) средней скалярной массой

вкоторую входят диагональные компоненты тензора.

Взаключение этого параграфа укажем, что введение в теорию полупроводников формального понятия об эффективной массе но­ сителей тока является в настоящее время удобной рабочей гипоте­ зой, позволяющей весьма сильно упростить расчеты по рассмотре­ нию движения электрона в кристалле. При этом с точки зре­ ния аппарата квантовой механики электрон и дырка выступают как вполне равноправные частицы, хотя мы знаем, что физически реальным является электрон, а дырку можно рассматривать как особое состояние электрона, соответствующее движению электрона на верхних уровнях заполненной зоны. Кроме этого, необходимо отметить, что, так как выражение для эффективной массы электтрона содержит вторую производную от энергии Е = Е (k) по вол­ новому числу, само понятие эффективной массы связано с зонной структурой энергетического спектра электрона в кристаллическом полупроводнике. Последнее говорит о том, что понятие эффектив­ ной массы носителей тока в теории полупроводников такое же при­ ближенное, как и сама зонная теория. Поэтому не исключена воз­ можность, что дальнейшее развитие физики твердого тела приведет к изменению взглядов на характер процессов, происходящих в кри­ сталлическом теле.

§2.3. ПОНЯТИЕ ОБ УРОВНЕ ХИМИЧЕСКОГО ПОТЕНЦИАЛА, УРОВНЕ ФЕРМИ

2.3.1.ПРОВОДНИКИ, ИЗОЛЯТОРЫ И ПОЛУПРОВОДНИКИ

В§ 2.1 мы видели, что отдельные энергетические уровни для электрона в изолированном атоме переходят в энергетические зоны, если атомы объединяются в кристалл. Здесь приведем общее каче­ ственное рассмотрение отличия диэлектриков и полупроводников от проводников с точки зрения структуры их энергетических зон.

Поскольку в электропроводности тел принимают участие лишь валентные электроны, постольку наибольший интерес представляет рассмотрение двух энергетических зон, соответствующих возмож­ ным энергиям валентных электронов. Такими зонами являются: нижняя, почти заполненная зона, называемая валентной зоной, и верхняя, почти пустая зона, называемая зоной проводимости. На­ пример, для диэлектриков и полупроводников такие зоны показаны на рис. 12, а и б, а для металлов — на рис. 12, в.1 Зона проводимо­ сти для диэлектриков и полупроводников отделяется от валентной

1Здесь и в дальнейшем заполненную, или валентную, зону будем отме­ чать двойной штриховкой, а пустую зону, или зону проводимости,—одно­ кратной штриховкой.

55

зоны запрещенной зоной ширины E g электронвольт, а для метал­ лов, как правило, обе зоны перекрываются.

Поясним физический смысл названия зон, а также отличие диэлектриков и полупроводников от металлов. Связь между от­ дельными атомами в кристаллической решетке полупроводника осуществляется валентными электронами. При этом для полупро­ водников типа германия (Ge) и кремния (Si) такие связи будут пар­ ноэлектронными, или валентными, так что каждый атом германия связан со своими соседями парноэлектронными связями (на рис. 10 каждый электрон, участвующий в связях, изображается черточкой).

Когда температура германия (рис. 13, а) равна абсолютному нулю (Т = 0), то все валентные электроны заняты в валентных свя­ зях, свободных электронов нет и проводимость полупроводника

(германия) равна нулю. В этом случае с точки зрения зонной тео­ рии валентные электроны полностью заполняют нижнюю валент­ ную зону, в которой не остается ни одного свободного уровня, а верхняя зона будет совсем пустой.

Однако уже при обычной температуре 1 (Т>> 0) тепловое движе­ ние атомов решетки (рис. 13, б) приводит к тому, что часть элек­ тронов, получив дополнительную энергию, отрывается от валент­ ных связей и становится свободной. Такие свободные электроны уже могут участвовать в электропроводности подобно электронам металлов, что приводит к возникновению в полупроводнике элек­ тронной проводимости. Но при отрыве электронов от валентных связей на их местах образуются незаполненные свободные места— дырки. Эти дырки могут заполняться другими валентными элек­ тронами, причем дырки перемещаются тогда на те места, откуда ушли электроны. Легко видеть, что если под влиянием внешнего электрического поля валентные электроны, заполняющие дырки, перемещаются в одном направлении, то дырки перемещаются при этом в прямо противоположном направлении. Отсюда можно сде­ лать вывод, что дырки движутся так, как если бы они обладали

1 Под обычной температурой в физике принято понимать комнатную тем­ пературу, которая по абсолютной шкале будет Т = 293 — 300°.

56

положительным зарядом. Следовательно, движение дырок как по­ ложительно заряженных частиц должно вызывать в полупровод­ нике дырочную проводимость.

С точки зрения зонной теории рассматриваемый здесь второй случай (Т^>0) соответствует тому, что тепловое движение будет скачком, через запрещенную зону, забрасывать электроны с верх­ них уровней нижней валентной зоны на нижние уровни в верхнюю пустую зону. При этом в верхней зоне электроны будут вести себя почти как свободные электроны, потому что в этой зоне очень много свободных энергетических уровней и внешнее ускоряющее элек­ трическое поле сможет свободно перебрасывать электроны на бо­ лее высокие энергетические уровни. Поэтому движение электронов в верхней зоне вызывает в полупроводнике электронную проводи­

и будут вести себя как частицы, обладающие положительным зарядом, т. е. как дырки. Действи­

тельно, если внешнее ускоряющее электрическое поле будет пере­ двигать электроны в валентной зоне снизу вверх или на более вы­ сокие энергетические уровни, то свободные уровни (дырки) будут при этом перемещаться сверху вниз, т. е. в противоположном на­ правлении. Следует заметить, что свободные электроны и дырки в полупроводниках могут создаваться не только под влиянием на­ гревания кристалла, но также и благодаря воздействию квантов электромагнитного излучения (света, у-излучения и др.).

Очевидно, что в чистых полупроводниках свободные электроны и дырки должны появляться в одинаковом количестве. Поэтому проводимость чистых полупроводников, осуществляемая одинако­ вым числом свободных электронов и дырок, получила название, собственной проводимости.

Ширина запрещенной зоны у полупроводников значительно меньше, чем у диэлектриков, поэтому полупроводники уже при обычных условиях обнаруживают заметную электропроводность. Измерения показывают, что у полупроводников, обладающих собст­ венной проводимостью, таких, как-Ge и Si v ширина запрещенной зоны E g <П эв. В то же время у диэлектриков ширина запрещенной зоны порядка нескольких электронвольт. Последнее и объясняет тот факт, что диэлектрики имеют ничтожное количество свободных электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне, а сле­ довательно, ничтожную проводимость.

На основании вышеизложенного в этом параграфе легко объяс­ нить хорошую проводимость металлов. В самом деле, как видно

57

из рис. 12, в, перекрытие в металлах валентной зоны и зоны прово­ димости приводит к тому, что в металлах всегда имеется большое количество свободных электронов, обеспечивающих хорошую элек­ тронную проводимость металлов. Кроме того, поскольку в случае металлов нет резкого разделения зон и имеется непрерывная струк­ тура энергетических уровней, постольку можно не учитывать в ме­ таллах дырочную проводимость и считать, что металлы имеют чисто электронную проводимость (уточнение этого вопроса будет сделано

вследующем пункте).

2.3.2.ПОНЯТИЕ ОБ УРОВНЕ ФЕРМИ

Впредыдущих параграфах было рассмотрено движение в кри­ сталлическом полупроводнике одного электрона, но на самом деле

вкристалле большое множество электронов, поведение которых подчиняется определенным статистическим закономерностям.

Вообще говоря, при изучении вопроса о заполнении электро­ нами энергетических зон необходимо учитывать не только валент­ ные, но и все другие электроны оболочек атомов. Тогда у кристалла, состоящего из G атомов, будет GZ электронов, где Z — порядковый номер данного элемента в периодической системе Менделеева. Со­ гласно принципу Паули (см. § 1.2) в каждой зоне, включающей G уровней, может находиться не более 2G электронов. Однако, учиты­ вая то, что основные физические процессы в полупроводниках свя­ заны с поведением в них валентных электронов, достаточно пояс­ нить заполнение зон валентными электронами.

Известно, что при температуре абсолютного нуля (Т -- 0) каж­ дая система стремится к минимуму энергии, так что электроны бу­ дут занимать наиболее низкие зоны и уровни. В частности, элек­ троны внутренних слоев оболочки целиком заполнят ряд нижних зон. При заполнении валентными электронами более высоких энер­ гетических зон возможны два случая в зависимости от четности числа валентных электронов.

Если число валентных электронов N является четным, то эти электроны заполнят GN/2G — N12 — m зон, где m — целое.

Следовательно, ряд зон будет целиком заполнен, а еще более - высокая зона окажется совсем свободной. Очевидно, что в этом слу­ чае проводимость невозможна и кристалл ведет себя как диэлек­ трик.

Если же N число нечетное (N = 2m -\- 1), то валентными элек­

зона окажется заполненной наполовину. В этом случае кристалл ведет себя как проводник, так как в верхней зоне (зоне проводимо­ сти) много свободных уровней и поэтому возможно движениеэлек­ тронов.

Отсюда, казалось бы, можно сделать вывод о том, что все веще­ ства, атомы которых имеют четное число валентных электронов,

58

должны быть диэлектриками, а с нечетным числом валентных элек­ тронов — хорошими проводниками. Но из этого правила много исключений, так как для целого ряда веществ (проводников) энер­ гетические зоны перекрываются.

Так обстоит дело при абсолютном нуле температуры. Когда же температура выше абсолютного нуля, то тепловое движение может забрасывать электроны с нижних уровней на более высокие уровни, и при тепловом равновесии устанавливается статистическое распре­ деление электронов по энергиям или по энергетическим уровням. Для электронов (а следовательно, и дырок), имеющих полуцелый спин и подчиняющихся принципу Паули, как мы видели в § 1.2, справедлива квантовая статистика Ферми—Дирака. Согласно этой статистике функция распределения электронов по энергиям опреде­

электрона и р — энергия, соответствующая химическому потен­ циалу р0, причем энергия р связана с химическим потенциалом про­ стым выражением (см. § 1.2):

где е — заряд электрона. Эта энергия р определяет уровень хими­ ческого потенциала для электрона в кристалле, или, как его еще называют, уровень Ферми.

Для электронов в кристаллическом теле уровень Ферми имеет наглядный смысл, в особенности при абсолютном нуле температуры.

ских уровней, лежащих выше р, равна нулю, а уровней, лежащих ниже р, равна единице или достоверности. Другими словами, уро­ вень р разделяет нижние заполненные электронами энергетические'

уровень Ферми аналогичен уровню свободной поверхности жидко­

можно сказать, что уровень Е = р (уровень Ферми) разделяет нижние энергетические уровни, которые с подавляющей вероят­ ностью заполнены, от верхних уровней, которые с подавляющей вероятностью свободны. Сам уровень Ферми — это такой уровень,

59