книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

Наиболее простое и лаконичное выражение, определяющее на­ правление хорды в пространстве, имеет вид векторного соотно­ шения

справедливость_которого можно видеть на рис. 24; в формуле (2.4) векторы W\ и W2 представляют собой нормали к плоскостям син­ хронизации.

Поскольку векторное произведение формально можно предста­ вить в виде определителя третьего порядка, то

Проекции вектора е на оси прямоугольной системы координат равны

ex = WlyW2z — W2yWlz = l )

ег = — Wly\V2x = а \

Величины I, т, п представляют собой угловые коэффициенты прямой, соединяющей наблюдательные станции. Направляющие углы этой прямой (сферические координаты хорды) ф и Л опреде­ ляются из соотношений

Приведем вывод строгой формулы для оценки точности направ­ ления хорды при минимально необходимом числе измерений на станциях.

80

+ a g Wu dag + a g Wlydag — (аЦ) Wu + a g Wly) dag. (2.14}

Так как, согласно (2.1)

dag = cos ög ddg

f

или

то подставляя эти соотношения в (2.12; 2.13; 2.14) и используя блочные матрицы при записи уравнений, получим

82

83

= A ^döi1’ + N&)dötf) + N(62)dö[2) + N^döi2) + N ^ d a S0 4-

Обозначив в двух последних уравнениях произведения матриц буквами А, В и С, будем иметь

j_

di|) = — {[A^da] -f [ß^dö] + [СфгіѲ]}

е

(2.22)

cos я];dА ~ — {[Ал da] [ß\f/6] А !С,\dB])

Получив формулы для дифференциальных изменений направ­ ляющих углов хорды и зная тензор ошибок непосредственных из­

мерений Мд д 0 , итоговый тензор ошибок направления хорды, по­

Средние квадратические ошибки направляющих углов хорды при этом будут равны

1

т\ = — [\A\nia\ + [В%тІ] + 2 [A^B^ml^] -f [С%т\]\

е-

(2.24)

т \ cos2 ф = -і- {[Ля та2] 4- [В\ пц] + 2 [ЛЛ Вх т%&] 4- [Сл тЦ

Найденные формулы выведены из предположения, что наблюде­ ния ИСЗ были синхронны, а момент наблюдений Ѳ фиксировался на каком-то одном пункте (этот случай отвечает методу фотогра­ фических наблюдений вспышек ламп, установленных на спутнике). При наблюдениях пассивных спутников, когда синхронизация

84

наблюдений выполняется косвенным путем, и фактические моменты наблюдений фиксируются на обоих наблюдательных пунктах, последние члены уравнений (2.22) могут быть опущены, а вели­ чины а заменены значениями часовых углов /, в которые, как со­ ставляющие элементы, входят величины 0. Однако при строгом решении задачи здесь следует принимать во внимание возмож­ ность нарушения синхронности наблюдений из-за ошибок опре­ деления моментов времени.

Поэтому дифференциальные зависимости (2.22) должны учиты­ вать возможность сдвига спутника за время dQ, и производным исследуемых функций по времени следует придать вид

Фигурирующие здесь значения производных топоцентрических координат ИСЗ по времени могут быть получены по формулам (1.150), если на моменты наблюдений известны элементы оскулирующей орбиты спутника. Но обычно эти величины получают эмпи­ рически, путем соотнесения наблюденных изменений координат ИСЗ (ПВЦ) к соответствующим отрезкам времени, т. е.

С учетом последних равенств уравнения (2.22) приобретают вид

dij) = — ([Л,|, da] + [/Зф dö] 4- [(Сф -J- Ифg -j- B^f) dQ]J

e

(2.27)

dA cos Ф= — {[Ал da] -f [ßA dö] + [(Сл + AAg -f BAf) d0]} e

а последующий необходимый переход к тензору ошибок направ­ ления хорды осуществляется по той же стандартной фор­ муле (2.23).

Следует заметить, что эта формула приспособлена для машин­ ного счета и не обладает наглядностью. Поэтому при оценке выгод­ нейших геометрических условий наблюдения ПВЦ, для решения той же задачи целесообразнее использовать графоаналитический метод анализа.

Построим с этой целью вокруг начальной точки хорды вспомо­ гательную небесную сферу единичного радиуса (рис. 32) и при­ ведем координатные оси: 1Z — параллельно оси вращения Земли, \Х — в плоскости параллельной плоскости экватора и параллельно плоскости гринвичского меридиана, а ось 1Y направим к востоку. На этом же чертеже покажем единичные векторы щ и я2 (век­ тор а2 параллельно перенесен в точку 1), направленные на спут­

85

ник; плоскости синхронизации Pi{äi, ä2) и Р->, их углы наклона к экватору і, вектор TFi, нормальный к плоскости Рі, и углы ф и Л, определяющие положение искомого вектора ё в пространстве.

Пересечением дуг КіО и К2О (которые можно считать ли­ ниями положения) определяется на сфере позиция точки О, сфери­ ческие координаты которой равны значениям направляющих углов вектора ё; поэтому ошибку направления искомого вектора будем

отыскивать как ошибку положения на сфере точки О в зависимости от ошибок углового положения плоскостей Р\ и Р2, их расположе­ нием относительно часового круга (определяемого углом А р), и в зависимости от угла у между плоскостями синхронизации.

Наши рассуждения будут сводиться к следующему.

Известно, что ошибка углового положения любой плоскости определяется погрешностью углового положения вектора W, нор­ мального к ней. Эту последнюю ошибку покажем на севере в виде некоторого эллипса, параметры которого найдем впоследствии из анализа функции вектора W.

В зависимости от ошибок углового положения плоскостей Рі и Р2, отвечающие им линии положения Li и Ь2 испытывают колеба­ ния относительно средней позиции, причем максимальное отклоне­ ние каждой линии от точки О равно средней квадратической

ошибке mw вектора W по направлению хорды (т. е. по дуге WO). А так как эта ошибка мала, то будем считать, как это делается в графических методах, что в окрестностях точки О линии поло­ жения перемещаются параллельно сами себе, а кривые заменим прямыми, касательными к ним.

86

Тогда, согласно рис. 33, где показаны линии положения L и их средние квадратические отклонения погрешность направления искомого вектора ё будет определяться средним квадратическим эллипсом ошибок, вписываемым в четырехугольник 1—2—3—4, причем, погрешность в определении угла г]з

При этом направление большой полуоси а относительно на­ правления большей векториальной ошибки к определяется углом q>, откладываемым внутри острого угла у

l\

— + cos 2у

Вместе с тем известно, что для получения результата совмест­ ного действия двух векториальных ошибок по некоторому направ­ лению достаточно сложить квадраты их проекций на это направ­ ление и из суммы извлечь квадратный корень. Поэтому проектируя величины Іі и k на оси вспомогательной системы координат и суммируя квадраты проекций, получим

іщ

mw2cos2 APl + "4/, cos2 Ap2

sin2 у

(2.31)

sin2 i4pi + m\Vt sin2 Лр2

m~ACOS2 i|)

sin2 у

87

Учитывая, что sin Ар. = - s- ’ , формулы (2.31) приведем к виду

sin2 Y

Анализируя найденные выражения можно сделать следующие выводы.

1. При одинаковой величине ошибок /п1Г выгоднейшие условия для отыскания направления вектора ё создаются в том случае, когда угол у между плоскостями синхронизации равен 90°; при этих условиях sin/lp, =cos/lp„ и ошибка вектора ё по любому направлению окажется равной іщѵ-

2. При прочих равных условиях точность определения угла Л повышается и достигает среднего значения, равного іщѵ при углах наклона плоскостей Pj к экватору близких к 90° (независимо от

угла у). Однако в этих условиях ошибка в определении склоне-

;nw

ния ф может резко возрасти и достигнуть значения s-n -.

3. Лучшими условиями для определения угла ф является равен­ ство экваториальных наклонностей і плоскостей Pj и ф век­ тора ё.

Обратимся теперь к вопросу определения погрешностей угло­ вого положения нормалей W.

В общем случае тензор ошибок М£. сферических координат

вектора Wj можно получить в виде произведения матрицы Nw частных производных его сферических координат по измеренным элементам и корреляционной матрицы результатов непосредст­ венных измерений

где

sin ф

cos Aw

sin ij

88

Но эту задачу можно в значительной степени упростить, если пред­ положить, что средние квадратические ошибки измеренных на ■станциях направлений равноточны и равны некоторой величине^.

Из рис. 34 (часть рис. 32) видно, что направление вектора Wi ■фиксируется на сфере пересечением дуг больших кругов, плос­ кости которых нормальны векторам щ и ф>. Эти дуги можно считать линиями положения точки W\ по аналогии с предыдущими рас­ суждениями полагаем, что эти линии под воздействием ошибок р.

I

испытывают колебания относительно средней позиции, и общая погрешность направления вектора W отразится на сфере в форме среднего квадратического эллипса; полуоси этого эллипса на осно­ вании (2.29) будут равны

ниями на наблюдательные станции, равный углу между линиями положения.

Так как большая полуось эллипса здесь проходит по биссек­ трисе острого угла между линиями положения (2.30), то ее откло­ нение ф относительно направления хорды можно получить по более простой формуле

Ф = 2 2 Р1 (2.36)

где ßi,2 — углы между хордой и направлениями на спутник на станциях.

89