книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

Г л а в а 6

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ВЕКТОРНАЯ СЕТЬ

§ 16. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПОСТРОЕНИЯХ

Приступая к анализу основных построений векторной сети, будем полагать, что уравнивание результатов «непосредственных» измерений на станциях здесь отделено от общего уравнивания сети, н в качестве результатов «непосредственных» измерений при­ нимаются длины хорд L и их направляющие углы ф и Л.

Таким образом, в пространственной прямоугольной системе координат OXyZ основным элементом сети будет являться вектор, соединяющий наблюдательные станции. Приращения координат между ними будут равны

(2.203)

Отвечающие этим уравнениям дифференциальные зависимости имеют вид

(2.204)

Переходя по известным правилам от соотношений (2.204) к тен­ зору ошибок вектора L, получим

(2.205)

где Л42 ^ \ — тензорошибок непосредственно измеренных величин. При независимых результатах измерений составляющие эле­

менты тензора (2.205) равны

130

Если от некоторого начального пункта прокладывается век­ торный ход, состоящий из нескольких хорд, то погрешности на­ капливаются, и тензор ошибок положения конечного пункта хода найдется как

получим, что в свободном ходе положение конечной точки будет отягчено погрешностью

5* 131

Для равностороннего вектора хода, в котором длины сторон н направляющие углы измерены равноточно, ошибка положения конечной точки будет равна

В конечном итоге нас обычно интересуют погрешности урав­ новешенных значений измеренных элементов сети и ошибки урав­ ненных координат пунктов. Эти задачи для случая одиночного векторного хода, проложенного между твердыми пунктами и для простейших сетей, решаются с помощью приемов тензорной ал­ гебры.

Рассматривая г-товын пункт векторного хода как узловую точ­

весовых тензоров положения определяемого пункта элементы тен­ зоров ошибок исходных пунктов нужно сложить с соответствую­ щими элементами тензоров М2п и М]2.

зультатам остальных измерений в системе. Здесь рекомендуется следующий порядок вычислений.

132

1. Вычисляют тензор ошибок положения пункта / относительно пункта і по результатам непосредственных измерений в ходе

2. Опустив использованные измерения, тензор ошибок взаимного положения пунктов вычисляют вторично, как сумму тензоров ошибок конечных пунктов свободных ходов, направленных к пунк­ там і и / от исходных пунктов

Расчет погрешностей положения точек в простейших построе­ ниях векторных ходов с одной или несколькими узловыми точка­ ми может быть выполнен приемами метода эквивалентной замены с использованием тензоров ошибок и весовых тензоров положе­ ния пунктов.

Например, точность уравненного положения пункта В (рис. 49)

133

мъ л = Рв!.

Обратим внимание читателя еще иа одно обстоятельство. Предположим, что при производстве непосредственных изме­

рении соблюден принцип равенства влияний ошибок измеренных величии иа положение конечной точки вектора L, т. е. соблюдено условие

или с учетом (2.216)

Тогда расчеты точности систем векторных ходов в значитель­ ной степени упрощаются и тензор ошибок (2.212) приобретает вид

134

На основании соотношении (2.234), (2.235) и (2.227) опреде­ ляется и стандартный тензор ошибок совокупного положения всех вершин векторного хода, проложенного между твердыми пунк­ тами (рис. 50), с соблюдением условия (2.230)

где составляющие элементы квадратной матрицы АР («-го порядка) равны

Тензор (2.236) позволяет оценивать точность любой функции уравновешенных элементов хода. Анализируя составляющие эле­

сетях из векторных ходов произвольной формы, если в них по каж­ дой стороне хода соблюдается принцип равного влияния (2.230).

Соблюдение этого принципа при построении сетей значительно упрощает процесс их последующего уравнивания и работу по вычислению обратных матриц коэффициентов нормальных урав­ нений, так как эти матрицы приобретают особый квазидиагональ­ ный вид, позволяющий сократить их порядок втрое.

Кроме того, если в векторной сети ошибки положения исход­ ных пунктов описываются сферами, то такая форма сохраняется и у ошибок положения всех определяемых пунктов сети (при со­ блюдении ранее поставленных условий). А если в этой сети исход­

135

ные пункты расположены равномерно, то их ошибки распределя­

Для сравнения качеств векторной сети с другими геодезиче­ скими сетями приведем данные о точности положения определяе­ мых пунктов в элементарных фигурах триангуляции и трилатера-

Расчет погрешностей положения пунктов в обширных вектор­

схеме проекта космической триангуляции И. Д. Жонголовича [20]. При выполнении этого расчета не соблюдался в полной мере прин­ цип равного влияния (2.230), а были приняты следующие зна­ чения средних квадратических ошибок непосредственно измерен­ ных величин

mL = + 20 м; іп^ — + 0,5"; т"к — + 0,5" (L = 6400 км).

Расчет точности был выполнен методом обращения матрицы коэффициентов нормальных уравнений.

Данные, приведенные на рис. 26, а также ранее выполненный автором анализ родственных азимутальных построений [65], по­ зволяют сделать следующие выводы:

136

—абсолютные значения ошибок положения пунктов в сплош­ ной векторной сети в среднем уменьшаются пропорционально кор­ ню квадратному из числа векторов L, сходящихся в данном пунк­ те, независимо от углов между ними;

—в свободной векторной сети ошибки положения точек воз­ растают по мере удаления от исходного пункта;

—точность векторной сети повышается по мере уменьшения

длин ее сторон.

Опираясь на эти выводы, можно предусмотреть несколько ва­ риантов целесообразного применения векторных сетей:

1)проложение отдельных траверсов через труднодоступные районы для усиления существующих астрономо-геодезических се­ тей (АГС);

2)построение жесткого каркаса для континентальных АГС,

свободного от влияния уклонений отвесных линий и имеющего абсолютную ориентировку в пространстве (при достижении точно­ сти составляющих элементов 2-10-6 такой каркас со сторонами 100—200 км мог бы служить сетью так называемого нулевого класса);

3) объединение отдельными траверсами континентальных се­ тей в единую мировую геодезическую сеть.

§17. УРАВНОВЕШИВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ СЕТЕЙ

Взамкнутой фигуре из векторных ходов сумма составляющих

Поэтому условные уравнения поправок в векторных ходах, полу­ чаемые на основе соотношений (2.204), имеют вид

137

ваемому обобщенному принципу наименьших квадратов. В этом

Последняя форма записи (2.241) будет удобна. В ней веса измерений имеют одинаковые размерности и потому могут быть сопоставимы. Наложение принципа наименьших квадратов при

138

—[тл sin Л cos л ]

Е— [ т 2 sin гр cos гр cos Л] — [m(j, sin гр cos гр cos л ]

F = [ml sin op cos гр sin Л] — [m^ sin op cos op sin л]

Если результаты непосредственных измерений в сети отвечают принципу равного влияния (2.230), то

И тогда

139