книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

В итоге, искомая ошибка mw оказывается равной

графоаналитическим путем.

На рис. 35 изображена вспомогательная сфера единичного ра­ диуса, построенная вокруг точки 1 хорды. На этом же рисунке показаны направление хорды 1—2, плоскость синхронизации Р (в плоскости чертежа), единичные векторы щ и я2, направленные на спутник, и линии положения Д0, и La2 конечной точки век­ тора W, определяемые следами пересечения сферы плоскостями, перпендикулярными векторами щ и я2.

Полагая ошибки Да измеренных направлений на спутник ма­ лыми величинами, непосредственно из чертежа находим, что под

на направление вектора №). Отклонение вектора ДИ7 по направ­ лению хорды при этом будет равно

Перейдя по общим правилам теории ошибок от конечных при­ ращений к средним квадратическим ошибкам, найдем

Заметим, что точность определения топоцентрических коорди­ нат ИСЗ, при прочих равных условиях, зависит и от зенитного рас­

где цо— ошибка определения координат в зените. При равноточных измерениях на станциях

Результаты, получаемые по формулам (2.41) и (2.37), одно­ значны, но для анализа функции тлѵ при предельных значениях углов ß формула (2.37) более удобна. Уравнение (2.41) легко при­ водится к виду

90

]

где /'j и /'2 — расстояния до спутника от наблюдательных станций, L — длина хорды.

Остановимся на особенностях найденных соотношений.

1. При параллактическом угле ßc, равном 90°, и равноточных измерениях на станциях погрешность направления вектора W отражается на сфере круговой ошибкой радиуса р. Если и вторая пара синхронных наблюдений выполнена с той же точностью, а плоскости синхронизации перпендикулярны друг к другу, то ошибка направления искомого вектора ё будет равна значению р.

2. С геометрической точки зрения объект наблюдений (ИСЗ) выгоднее всего располагать на хорде или ее продолжении. Хоть

стремится к бесконечности, это не влияет на точность искомого направления хорды, так как смещение векторов W в плоскости, нормальной к вектору ё, не влияет на угловое положение этого вектора.

3. Влияние несинхронности наблюдений на ошибку углового положения вектора W уменьшается по мере уменьшения угла между траекторией спутника и плоскостью синхронизации.

Эти выводы, однако, нельзя считать окончательными, не рас­ смотрев других, альтернативных соображений.

Во-первых, наблюдать низкие спутники опасно из-за искажаю­ щего влияния рефракции (полагают, что предельное допустимое значение г0=75°); во-вторых, при заданной величине z0 область расположения подспутниковых точек, доступных наблюдению, резко снижается с уменьшением высоты спутника над . поверх­ ностью Земли; в-третьих, при небольшой высоте Н спутника на­ блюдать его будет трудно из-за большой угловой скорости дви­ жения.

Итак, для практических расчетов погрешностей направления хорды, при необходимом минимуме измерений, могут быть реко­ мендованы формулы (2.37), (2.41) и (2.32), а для неравноточных измерений на станциях — формулы (2.39) и (2.32). Эти соотноше­ ния в самом общем виде решают задачу оценки точности.

В недавней работе Г. А. Устинова [75] предложены более про­ стые формулы для оценки точности направления хорды для част­ ного случая равноточных измерений, когда углы ßi = ß2=ß, и плос­ кости синхронизации расположены симметрично относительно хорды. Вывод формул Г. А. Устинова можно повторить на основе

При условиях, поставленных Г. А. Устиновым,

91

В свою очередь, учитывая значения углов і, на основании (2.32) получим

По мнению Г. А. Устинова, формулы (2.43) и (2.44) должны отражать горизонтальную та и вертикальную гпп ошибки направ­ ления хорды. Однако пользоваться этими формулами можно толь­ ко при соблюдении трех условий:

а) равноточности измерений на станциях; б) равенстве расстоянии от наблюдателя до ИСЗ (ПВЦ);

в) симметричном (зеркальном) расположении плоскостей син­

Среди нескольких известных методов определения вероятней­ шего значения направления хорды из серии многократных наблю­ дений наибольшее распространение в работах Смитсонианской астрофизической лаборатории (SAO) получил способ Г. Вейса [71]. В этом методе решение трехмерной задачи о пересечении плос­ костей синхронизации сведено к двухмерной задаче пересечения линий — следов этих плоскостей — в плоскости со, перпендикуляр­ ной к хорде (рис. 36).

92

При этом предусматривается следующий порядок действий,

1.По приближенным координатам точек 1 и 2 хорды опреде­

ляется единичный вектор этого направления

IR t - R i I

2.Составляется уравнение плоскости геоцентрического сече­ ния хорды

и определяется угол наклона этой плоскости к экватору

93-

5. Определяются углы между векторами Wj и осью 7\

и отклонения векторов Wj от перпендикуляра к ветору Тг при­ ближенного направления хорды

6. Полагая, что все плоскости синхронизации при их нача ном положении проходят через точку 1 и пересекают координатную плоскость со по линиям, отстоящим от точки 2 на удалении ejL12 (рис. 37), составляют уравнения этих линий

и составляют для каждой пары синхронных наблюдений уравнений поправок

где гі и r%— удаление ИСЗ от наблюдательных станций' 1 и 2. Значение весов здесь согласовано с уравнением (2.39), выражаю­ щем ошибку углового положения вектора Wj по направлению хорды.

7. Решив систему уравнения (2.56) по способу наименьш квадратов, получают поправки ті и т2 к приближенному направ­ лению хорды и вычисляют поправки 6 к начальным значениям ее направляющих косинусов

Поправки ті и тг можно считать приближенно поправками к азимуту и вертикальному углу хорды.

8. Оценку точности окончательных результатов выполняю помощью обратной матрицы коэффициентов нормальных уравнений

Э4

где ошибка единицы веса

а іпа и nih — суть горизонтальная и вертикальная составляющая ошибки направления хорды.

Для отыскания средних квадратических ошибок и mvcos ij)

направляющих углов хорды тензор [2.59] необходимо подвергнуть преобразованию

COSy40 —-sin^0j ’

Ао—-угол отстояния плоскости геоцентрического сечения хорды от

Метод Вейса обычно применяют тогда, когда в дальнейшей математической обработке пространственной сети используются значения направляющих косинусов хорды. Для непосредственногоотыскания сферических координат ф и Л хорды из серии синхрон­ ных наблюдений более удобны другие методы.

Сп о с о б И . Д. Ж о и г л о в и ч а

В основу этого способа [5], [19] легло уравнение компланар­ ности векторов в треугольнике, образованном наблюдательными станциями и ПВЦ

можно перейти методом линеаризации к уравнению поправок функ-

95-

ции ряда измеренных величин и составить такие уравнения для каждой пары синхронных наблюдений

( 2. 66)

где

с 5чВ0^°'^і1ыв ІІлен уравнения, получаемый после подстановки в (2.64) приближенных значений направляющих углов хорды и из­

-г cos я|з cos бх cos fi3 sin (4 — 4),

=cos яр cos Öx sin 62 COS (4 — Л) -f- COS яр cos ö2 sin 6XCOS (4 — Л),

sin 0|) COS fix sin Ö2 sin (4 — 4) — COS яр cos öx cos ö3sin (A.— 4) + + cos яр sin 6Xsin ö2sin (4 — Л),

cos яр sin 8, cos 62COS (4 —1Л) -j- sin яр COS 8, COS Ö2COS (4 — 4),

= COS t cos 63 sin öx cos (4 — Л) — sin яр cos 6Xcos ö2 cos (4 — 4).

96

Для вычисления значений производных функций F по перемен­ ным ф, Л, б;, 4 достаточно заменить в определителе (2.64) соот­ ветствующую строку строкой матрицы (2.70) и вычислить этот определитель.

Вычисление весов по (2.67) и (2.68) требует громоздких рас­ четов; но если корреляционная матрица непосредственных измере­ ний, полученная после астрометрической обработки снимков, имеет диагональный вид, а сами ошибки топоцентрических коор­ динат ПВЦ равны между собой, так что іт = т а cos6= p,, то для получения весов уравнений поправок можно предложить более простое решение.

Дело в том, что веса Pj должны характеризовать собой точ­ ность определения свободных членов уравнений поправок. В рас­ сматриваемом случае определитель (2.64) формально равен объе-

Дифференцируя (2.71) и переходя к конечным приращен ням, получим

представляет собой малую величину второго порядка, и будет зна­ чительно меньше первого члена. Поэтому, переходя к средним

В [5] аналогичное выражение получено более сложным путем. После совместного решения уравнении (2.66) по способу наимень­ ших квадратов определяются поправки к приближенным значе­ ниям направляющих углов хорды. Точность окончательных ре­ зультатов характеризуется тензором ошибок

В геодезической литературе известно несколько модификации способа И. Д. Жонгловнча. В некоторых из них [32], [99] вместо условия компланарности, выражаемого равенствами (2.64) или (2.65), иногда приравнивают нулю выражение, заключенное в фигурных скобках уравнения (2.65), пли, как сделано в [99], при­ равнивают нулю определитель

Это уравнение получено путем сокращения на постоянные множители направляющих косинусов единичных векторов в (2.64).

Лианеризируя (2.77) можно составить уравнение поправок функций ряда измеренных величин вида

98

Уравнения (2.78) решают относительно поправок пд и по

способу наименьших квадратов.

Здесь, однако, следует заметить, что подобные «упрощения» основного способа не всегда будут целесообразны, а в некоторых случаях могут привести к нежелательным последствиям. Дело в

И если угол ф принимает значения, близкие к л/2 в редких слу­ чаях, то топоцеитрические склонения 5і и 62 будут близки к 90° каждый раз, когда ПВЦ наблюдается на фоне зоны близполюсных звезд. Между тем при использовании для целей уравнивания основного соотношения (2.64) эти опасения не возникают.

При обработке результатов наблюдений по способу И. Д.- Жонгловнча или Г. Вейса отдельно не рассматривается влияние оши­ бок регистрации моментов наблюдения на окончательные резуль­ таты. Здесь предполагается, что при современной точности ра­ боты служб времени основное влияние на итоговую погрешность направления хорды оказывают ошибки определения топоцентрическнх координат ПВЦ. Однако если ошибкам регистрации мо­ ментов наблюдений на станциях свойствен систематический ха­ рактер, то они могут привести к нарушению синхронности наблю­ дений и к искажению окончательного результата. Методику учета таких ошибок рассмотрим при описании еще одного оригинального приема уравнивания наблюдений, предложенного И. Вяйсяля

[ 102].

Спо с о б В я й с я л я

Этот, пожалуй, наиболее простой способ уравнивания наблю­ дении рассмотрим с небольшими изменениями, внесенными в него автором [64].

Следуя методу Вяйсяля, задачу определения вероятнейшего направления хорды решают в следующем порядке.

1. Определив тем или иным способом приближенные значения направляющих углов фо и Л0 хорды, вычисляют по (2.50) и (2.51) для каждого момента синхронных наблюдений значения направ­ ляющих косинусов векторов Wj, нормальных к плоскостям синхро­

При отсутствии ошибок наблюдений углы ш должны быть равны 90°, а их косинусы равны нулю. Поэтому приравненное нулю уравнение (2.81) принимается в качестве условного урав­ нения при отыскании наиболее надежного значения направления

4* 99