книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

альные координаты а, б, г ИСЗ._Тогда, в соответствии с рис. 13, искомый геодезический вектор L будет определен по разности двух астрономических топоцентрнческих векторов г

При этом дальность г до спутника может определяться лазер­ ным методом,, а угловые координаты а и 6, — одним из методов фотографической астрометрии.

Вообще говоря, на станциях можно выполнить комбинирован­ ные наблюдения по одной из программ, помещенных в табл. 6.

Наблюдения, выполненные по программе Г, соответствуют только что рассмотренному сочетанию наблюдений и позволяют определять длину и направление хорды из одной серии измере­ ний; при осуществлении программ 2 и 3 для решения той же задачи требуются многократные наблюдения (см. рис. 27 и 28). Программа 4 позволяет определить только направление хорды (она рассмотрена на стр. 79), а программа 5, если она не отно­ сится к методу пересечений, где требуется дополнительное изме­ рение высоты ИСЗ, не дает информации ни о длине, ни о направ­ лении хорды.

Рассмотрим распределение погрешностей при определении длины и направления хорды по программе 1.

Дифференцируя (2.157), найдем

(2.158)

120

Следуя правилу (1.85),. получим выражение для среднего квадратического тензора ошибок положения конечной точки век­ тора г относительно его начала

Если результаты измерений независимы друг от друга, то со­

tn2z = sin 6cos sin tin2— r2 sin 6 cos 6 sin im2

Геодезический вектор L определяется как сумма (разность) астрономических векторов г, и при строгой синхронности наблю­ дений на станциях средний квадратический тензор ошибок поло­ жения конечной точки вектора L относительно начала будет равен сумме тензоров (2.159)

(2.161)

Если синхронность работы двух станций нарушается некоторой ошибкой А0, то чтобы учесть влияние этой ошибки на общую погрешность вектора L, необходимо знать возможный сдвиг спут­ ника по орбите за время ДѲ. В соответствии с (1.149) имеем

(2.162)

а совокупное влияние ошибки несинхронности наблюдений найдем как

наблюдений на станциях.

В итоге, для одной серии наблюдений будем ішеть

(2.164)

121

При этом средняя квадратическая ошибка конечной точки вектора окажется равной

т~г = т;-х + т~ии+ т;: \т~гХ\ + [/'2 /гг5І Т+ ]r2cos26m?]r +

а при условии, что т&=m tcos 6= р.

В формулах (2.165 и 2.166) сдвиг спутника определялся по сред­ ней скорости его движения п; а — большая полуось орбиты ІІСЗ.

Имея тензор ошибок взаимного положения наблюдательных станций, можно получить, используя (1.100 и 1.103), средние квад­ ратические ошибки составляющих элементов вектора L. Заметим, что задача оценки точности в значительной степени упростится, если ошибка несинхрониостн пренебрегаемо мала и результаты непосредственных измерений отвечают условиям

Соотношения (2.168) и (2.169) показывают, что при прочих равных условиях итоговая ошибка положения конечной точки векторов L относительно его начала возрастает с увеличением топоцентрических дальностей г. И если не принимать во внимание искажающих воздействии рефракции, то оказывается, что для уменьшения ошибки т - спутник выгоднее всего наблюдать на

малых высотах в моменты пересечения его траекторией геоцентри­ ческого сечения хорды (е= 0°).

При равноточных измерениях минимальная ошибка конечной точки вектора L составит

т = m2tx + т1у nVzz = 6рѴ2, если rx — r2 — r, (2.170)

122

а принимая во внимание зависимость точности непосредственных измерений от зенитного расстояния (2.40), можно записать

(например, для хорды длиной L = 2800 км, -^-=12°,6, минималь­

ная средняя квадратическая ошибка будет при ß= 41°,8 и 2 = 60°,8). Опираясь на уравнения (2.172), (2.103) и (2.108), можно рас­ считать оптимальную высоту ИСЗ над поверхностью Земли, при использовании его в качестве визирной цели в рассматриваемой программе наблюдений, и при заданной точности окончательного

результата подсчитать необходнмое_число измерений.

Для оценки точности вектора L по результатам нескольких серий синхронных измерений необходимо и достаточно подсчитать весовые тензоры в каждой из серий

п найдя их сумму сделать обратный переход

Заканчивая разбор программы 1, следует заметить, что нару­ шение синхронности наблюдений может привести и к системати­ ческим ошибкам в элементах вектора L. Тогда, чтобы уменьшить значения этих ошибок, спутники целесообразно наблюдать при различных прохождениях через хорду. Из геометрической сущ­ ности метода следует, что если траектория ИСЗ будет пересекать хорду примерно посредине и под прямым углом к ней, то при нарушении синхронности наблюдений более надежно будет опре­ деляться длина хорды, а при пересечении под острым углом — ее направление.

Кроме рассмотренной программы наблюдений 1, для опреде­ ления длины и направления хорды, соединяющей наблюдательные станции, могут применяться программы 2 п 3; в этих программах распределение ошибок подчинено более сложным^ закономерно­ стям, так как положение конечной точки вектора L определяется линейной или угловой засечкой относительно позиции ИСЗ, за­ данных топоцентрическими векторами (см. рис. 27 и 28). Надеж­ ность определения элементов вектора L такими способами зависит

123

от геометрической формы засечек и точности непосредственных измерений. Для расчета погрешностей положения конечной точки здесь могут применяться формулы оценки точности засечек с уче­ том ошибок положения промежуточностью позиций ИСЗ.

Вместе с тем некоторые исследователи [18], [91] справедливо полагая, что проведение фотографических наблюдений ИСЗ проще организации лазерных измерений, предлагают определять длину хорды уже после нахождения ее направления в пространстве. Тогда искомую длину отыскивают из решения треугольника (см. рис. 13), в котором измерена одна или две стороны, а приближен­ ную оценку точности этого результата осуществляют по формулам: для программы 1

Обозначая в этих уравнениях символами А и В члены, зави­ сящие от формы наблюденных треугольников, для общего случая

измерений (пгг—1—2 м; р = ± 1 —2") влияние второго члена на итоговую погрешность длины хорды значительно больше влияния первого члена, то для более точного определения длины L выгод­ нее наблюдать низкие спутники в плоскости геоцентрического се­ чения хорды.

для наблюдений по программе 1 будут определяться соотноше­ ниями (2.172) и (2.103), при Гі = г2 и е= 0°.

Выгоднейшие условия для определения длины хорды по про­ грамме 3 создаются при прохождении ИСЗ через зенит второго пункта (на котором определяется направление на ИСЗ а2) на

124

предельно допустимом зенитном расстоянии первого пункта (т. е.

при zmax= 60° и е= 0°).

В этом случае

Наилучшпе условия для выполнения программы 2 создаются при прохождении 11С3 через середину хорды, при е= 0° и -ßi= ßs= = 45°.

Рис. 47. Номограмма для определения ко­ эффициентов А и В для программы 1

Рис. 48. Номограмма для определения ко­ эффициентов А и В для программы 2

В одном цикле наблюдений получить длину хорды с высокой точностью нельзя. Расчет по формулам (2.175) показывает, что для хорды длиной 3000 км при ßi = ß2= 45°, т,=2 м, |.і= 2", ошиб­

125

зультата высокой точности требуются многократные наблюдения. В этой связи может исчезнуть целесообразность раздельного оп­ ределения длины хорды и ее направления и встанет вопрос о не­ обходимости совместного уравнивания угловых и линейных изме­ рений, выполненных для определения геодезического вектора L.

§ 15. УРАВНИВАНИЕ НАБЛЮДЕНИЙ

Рассмотрим общий случай математической обработки резуль­ татов комбинированных наблюдений по методу условий с дополни­ тельными неизвестными, когда совместно определяется длина и направление хорды. В качестве дополнительных' неизвестных бу­ дем отыскивать поправки к приближенным значениям элементов вектора L, соединяющего наблюдательные станции

sin ßj = I E0 X ax I:

COS ßo — E0Go.

Уравнения составляются на моменты 0j синхронных наблю­ дений.

Условные уравнения поправок, получаемые путем линеариза­ ции уравнений (2.178—2.181), в общем случае имеют вид

где а и b — значения частных производных функций F по изме­ ренным величинам и искомым параметрам, at// = t>(cos б и АА'о=

= A A qCOS фо-

126

-)- r, sin 6„sin tp6_— r2cos tpt _— cos i|>0 sin Л0 AL0 + L0 sin ip0 sin A0 A i|’0 —

127

дополнительными неизвестными получим нормальные уравнения вида

После этого определяем значения поправок к приближенным значениям элементов искомого вектора Lq

и корреляционную матрицу неизвестных

Так как нормальные уравнения (2.193)соответствуют матрице уравнений поправок функций ряда измеренных величин с весом Р

128

то ошибку единицы веса можно получить по формуле

Если же в конкретном случае практики определение длины хорды выполняется после определения ее направления в прост­ ранстве, то при уравнивании наблюдений по приведенной выше схеме сферические координаты ф и Л хорды можно формально представить как непосредственно измеренные величины и придать им веса в соответствии с их корреляционной матрицей. Вектор

только поправка к длине хорды АЦ.

Заметим также, что при строгом подходе к математической обработке наблюдений, для ослабления влияния несинхронности измерений на станциях на искомые величины, при уравнивании следует учитывать и систематические ошибки регистрации момен­ тов наблюдений.

Для решения этой задачи в исходную матрицу условных урав­ нений поправок потребуется ввести новые дополнительные неиз­ вестные а с коэффициентами, равными значениям производных функции F (условных уравнений) по времени

где значения производных топоцентрических координат ИСЗ по

*