книги из ГПНТБ / Разумов, О. С. Пространственная геодезическая векторная сеть

РЧ

Суммирование по p ведется от 0 до /, а по q от —оо до + °о (практически от —4 до +4),

%= [(/ — 2р) а + (1 — 2р + q) М + т (Q— Ѳ)],

б (а, е, і ...) — медленно ■меняющиеся функции средних элементов, которые можно считать неизменными в течение нескольких недель

[71, с. 93]

[ ( Z - 2 p ) c o + ( / - 2 p + 9 ) n + m ( Q - è ) ]

« - Ф № х

Fim P Glpq [(Z — 2p) cos £ — m]

X

n V 1 — e2 sin t [(Z — 2p) со -j- (Z — 2p -j- q) n -(- m (Й — 0)

50

Для определения элементов якобиана необходимо вычис­ лить частные производные элементы орбиты по расчетным физи­ ческим параметрам. С этой целью следует обратиться к функцио­ нальным зависимостям между изменениями элементов орбиты и воздействиями возмущающих сил. Основная трудность при ре­ шении этой задачи возникает при оценке значения плотности атмосферы, которая изменяется с течением времени в довольно широких пределах. Вместе с тем можно иметь в виду, что гео­ дезические спутники обычно движутся на таких высотах, где со­ противлением атмосферы на небольшом отрезке времени можно пренебречь. Что же касается учета давления солнечной радиации, то он необходим лишь для легких спутников, а влияние Луны и Солнца на движение ИСЗ может быть учтено с любой задан­ ной точностью.

О. И. Ануфриев и Н. Г. Гусаков в [1] показали, что ошибки прогнозирования положения ИСЗ под влиянием ошибок опреде­ ления параметров начальной орбиты изменяются гармонически, с возрастающей амплитудой.

Так, для орбиты с параметрами а = 7500 км, і = 60°, е= 0,01 и ошибками исходного вектора положения г и вектора скорости ѵ

Вэтой связи при реализации метода короткой дуги интервал экстраполяции стараются по возможности уменьшить.

Взаключение заметим, что в методе коротких дуг ошибка прогнозируемых координат ИСЗ пока является определяющим сла­ гаемым в общей погрешности положения точки. Ошибки самой

привязки при современной точности непосредственных измерений составляют малую долю итоговой ошибки. Поэтому нужно при­ знать, что возможности метода коротких дуг для высокоточного определения положения пунктов пока ограничены.

Опыт практического применения этого метода показал, что из обработки 50—100 дуг средняя точность определения коорди­ нат пункта достигает 25—50 м.

Еще один своеобразный источник ошибок, действие которого одновременно сказывается как на оценке положения спутника, так и на точности результатов измерений, связан с регистрацией моментов наблюдений на станция^.

В первом приближении ошибка наблюденной позиции спутника

где т е — ошибка регистрации момента наблюдений.

Строгое решение этой задачи, связанное с нахождением про­ изводных координат ИСЗ по времени, выполняется следующим образом.

51

Согласно рис. 4, положение спутника в системе координат, связанной с вращающейся Землей, определяется формулами

52

Равенства (1.150) показывают, что при обработке наблюдений орбитальным методом, когда сравнивают вычисленные и наблю­ денные топоцентрические координаты спутника, невязки в урав­ нениях поправок могут возникнуть и за счет неточности регистра­ ции моментов наблюдений. И чтобы строго уравновесить резуль­ таты измерений, следует обращаться к методике уравнивания за­ висимых величин, так как корреляционная матрица непосредст­ венных измерений с учетом (1.150) потеряет диагональный вид.

В самом деле,, если на основе (1.150) найти соответствующие сдвиги поверхностей положения, определяемые измеренными вели­ чинами а', 8' и г', то

Найденные аналитические выражения для производных топоцентрических координат ИСЗ по времени необходимы не только

53

при математической обработке результатов измерений. Если эле­ менты орбиты спутника Земли известны, то значения этих произ­ водных могут быть использованы и при организации лазерного сопровождения ИСЗ с помощью автоматических устройств, удер­ живающих остронаправленный луч на спутнике.

§7. ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ ПО СИНХРОННЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ ПВЦ

Вотличие от орбитального метода определения положения точек земной поверхности, где ИСЗ играл роль подвижного опор­ ного пункта, при создании на местности опорных геодезических сетей ставится другая задача: определение взаимного положения наблюдательных станций. В этой работе не нужно знать точную эфемериду спутника, так как ИСЗ (равно, как и ракета или шар-зонд) служит только подвижной визирной целью, доступной для наблюдений с нескольких станций. Необходимым условием для осуществления между этими станциями геодезической связи является синхронность наблюдений, а эфемеридные данные здесь

используются только для ориентирования измерительных систем в пространстве при подготовке к моментам синхронных наблю­ дений.

Следуя предложению И. Д^_ Жонголовича [18], условимся в дальнейшем называть вектор L(L, яр, X) взаимного положения наблюдательных станций геодезическим топоцентрическим векто­ ром, а вектор г (г, а, б), соединяющий наблюдательную станцию с ИСЗ, астрономическим топоцентрическим вектором1. Результаты наблюдений на станциях будут содержать в себе те или иные компоненты топоцентрических векторов.

В зависимости от состава наблюдений на станциях возможны три основные системы развития опорных геодезических сетей: триангуляция, трилатерация и векторная сеть. Каждой из этих систем свойственны свои характерные черты, и выбор одной из них зависит от поставленных задач и заданных конкретных усло­ вий. Главные достоинства и недостатки этих построений будут рас­ смотрены ниже.

Т р и л а т е р а ц и я

Наблюдаемая в настоящее время тенденция к более широкому использованию линейных измерений в пространственных геодези­ ческих сетях обусловлена возрастающей точностью работы далы-ю- мерных систем и возможностью их практического применения почти при любых погодных условиях. При измерении расстояний от наблюдательных станций до ИСЗ создаются условия для опре­

1 В ходе дальнейшего изложения не будут более использоваться геоцентри­ ческие экваториальные координаты ИСЗ, и для облегчения чтения формул мы опускаем знак штриха у топоцентрических координат.

54

деления взаимного положения точек земной поверхности путем построения сетей трилатерации.

На практике применяют две разновидности этого метода. В пер­ вой из них трилатерация строится с помощью длин хорд, соеди­ няющих наблюдательные станции. При этом длина хорды до 400 км может определяться методом пересечения створа измеряемой ли­ нии радиогеодезическими системами типа Хиран, Шорам, Аэродист и т. п. {16], [51], [54]; известны также опытные данные по измере­ нию длин хорд до 3600 км системой SECOR [43]. Этот метод опре­

треугольника определяется в этом методе пересечением трех сфер, радиусы которых равны измеренным длинам хорд до искомого пункта.

Построение пространственной трилатерации методом хорд при­ меняется редко. Это обусловлено тем, что в сети трилатерации, где основным элементом является хорда земной поверхности, а основной элементарной фигурой тетраедр, трудно достигнуть результатов высокой точности при определении пространственного положения наземных пунктов. Дело в том, что при средних дли­ нах хорд от 1000 до 2000 км углы между гранями тетраедров очень малы (1—2°), грани очень близко прилегают к поверхности Земли и потому ошибки положения искомых точек в радиальном направ­ лении получаются неизмеримо больше ошибок их «планового» положения. В этой связи сеть пространственной трилатерации, построенную по методу хорд, по традиции относят и уравнивают на отсчетной поверхности эллипсоида. Для определения пространст­ венных прямоугольных координат пунктов здесь нужны дополни­ тельные данные о высотах этих точек над отсчетной поверхностью.

Анализ подобных сетей дан в советской литературе [12], [57] и др.

Сеть трилатерации второго вида состоит из прямых и обрат­ ных линейных засечек ИСЗ. Элементарная фигура такой сети пред­ ставлена на рис. 15, где показано, что положение искомого пункта Р определяется из решения пространственной линейной засечки относительно трех положений ИСЗ, каждое из которых находят засечками с исходных пунктов.

Дальнейшее развитие трилатерации может продолжаться в том же порядке, охватывать значительные территории и даже носить глобальный характер.

Вторая разновидность пространственной трилатерации имеет много вариантов построения, например цепь чередующихся засечек из трех пунктов (рис. 16), цепь последовательных многократных засечек (рис. 17, 18) и др.

Распределение ошибок в сети пространственной трилатерации имеет сложный характер и анализируя этот вопрос, обратимся вна­ чале к ее элементарной фигуре (см. рис. 15). Для простоты будем

55

считать, что результаты измерений строго синхронны и отягчены в основном ошибками случайного характера. Предположим также, что погрешности взаимного положения исходных пунктов пренебре­ гаемо малы по сравнению с ошибками измерений.

Решая поставленную задачу, примем во внимание, что поло­ жение искомого пункта здесь определяется косвенным путем; поэтому, во-первых, найдем ошибки положений ИСЗ С; а во-вто­ рых, с учетом погрешностей положения этих промежуточных точек

оценим точность, с которой будут найдены координаты определяе­ мого пункта Р. Решение самой засечки может быть выполнено одним из известных в литературе способов [42], [95], [96].

Для оценки точности положения ИСЗ воспользуемся исходным уравнением (1.66) и, дифференцируя его, найдем для точки 1

К (.Xх - Xi) dX1+ (Y, - Y t) dYx + (Zx - Zt) dZi = ndr,; i = I, И, HL

( 1. 152)

56

Разделив каждое из этих уравнений на множитель г,-, запишем ■систему в матричной форме

нусы единичных векторов äi измеренных топоцентрических расстоя­

где D — определитель матрицы направляющих косинусов, Ai} — алгебраические дополнения этой матрицы.

Переходя в уравнениях (1.154) от дифференциалов к конеч­ ным приращениям, а затем к квадратам средних квадратических ошибок, получим

(1.155)

Алгебраические дополнения Ац в уравнениях (1.Щ4) и (1.155; представляют собой проекции векторных произведений {ähXäi) единичных векторов на оси пространственной системы коорди­ нат, т. е.

А \(\ ,2,з) = (ап Х а т )х у 2

А3(і , 2,з) = (Oj X an)xyz

ив силу единичности этих векторов справедливы равенства

Кроме того, определитель D матрицы направляющих косину­ сов равен объему и параллелепипеда, построенного на единичных векторах ä,-,

57

С учетом этих соотношений формула для итоговой ошибки определяемого положения ИСЗ точки может быть представлена в виде

двумя другими векторами, получим модификацию формулы (1.159)

Итоговый теизор ошибок положения точки получим по общим пра­ вилам, опираясь на соотношения (1.154)

X tnn + (Ah cos2an -f Л22cos2ß„ + А $3cos2yn+ 2A21A22cos ancos ß„ -f-

+ 2Л22Л зcos ßn co sy ^) m):,, + (Ah cos2a„ + A232cos2ß„ +

H- ^33 COS2 yn 4- 2A31A3i cos ancos ß„ 4- 2A31A33cos yncos an 4-

Переходя, наконец, к оценке точности положения искомого пункта Р, будем учитывать в соответствии с (1.109—1.112) помимо ошибок измерений сторон линейной засечки, ошибки независимо

58

.определенных позиций ИСЗ по направлениям измеренных линий. Тогда, согласно формуле (1.155), получим

Обратимся теперь к вопросу о выгоднейших условиях опре­ деления координат пространственной линейной засечкой.

Рассматривая формулы (1.161) и (1.166), видим, что макси­ мальное значение знаменателя этих выражений равно единице,

•если углы между векторами засечки равны 90° и если все стороны засечки измерены равноточно, то для положений ИСЗ имеем

2 о 2

ті — 3тг.

При этих условиях ошибка положения ИСЗ по любому направ­ лению будет равна тг.

Полагая в гипотетичном плане, что три засечки положений ИСЗ примерно отвечают этим данным и в свою очередь векторы, определяющие положение искомого пункта Р, также составляют прямоугольную тройку, по (1.166) найдем, что mP= 6m2,., а ошибка положения пункта по любому направлению составит при­ мерно 1,43 т,-

Для средних условий, когда углы между векторами засечек близки к 60°, ошибка положения определяемого пункта составит

4 /п,-Ч-5 тг.

Практически при определении положения искомых пунктов трилатерации пользуются многократной засечкой, а положения исходных пунктов не считают безошибочными. При уравнивании такой развернутой сети трилатерации по способу наименьших квадратов используются уравнения поправок вида

cos ö°ik cos 4 (vXk - vx.) + cos 8°ik sin 4 (vn - v y.) +

+ sinö;*(0* * -° * t)+ *™ = sr(ft.

59